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'''平均数不等式'''，或称'''平均值不等式'''、'''均值不等式'''，是[[数学]]上的一组[[不等式]]，也是[[算术-几何平均值不等式]]的推广。它是说：

<math>x_1, x_2, \ldots, x_n \in \mathbb{R_{+}}\Rightarrow\dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i} \le \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} \le \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i ^2}{n}}</math>



即<math>H_n \le G_n \le A_n \le Q_n</math>

其中：
<math>H_n = \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{x_i}} = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}</math>

<math>G_n=\sqrt[n]{\prod_{i=1}^nx_i}=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}</math>

<math>A_n = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i }{n} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>

<math>Q_n = \sqrt{\dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n}} = \sqrt{\dfrac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}}</math>

[[当且仅当]] <math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math> ，等号成立。

即对这些正实数：[[调和平均数]] &le; [[几何平均数]] &le; [[算术平均数]] &le; [[平方平均数]]（方均根）

简记为：“'''调几算方'''”

== <math>n=2</math>时的情形 ==

* 第一个不等号

:{|
|-
|align=right|<math>\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>||<math>\ge 0\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>||<math>\ge 4 x_1 x_2\,\;</math>
|-
|align=right|<math>1\,\;</math>||<math>\ge \frac{4 x_1 x_2}{\left( x_1 + x_2 \right) ^2}\,\;</math>
|-
|align=right|<math>1\,\;</math>||<math>\ge \frac{2 \sqrt{x_1 x_2}}{ x_1 + x_2 }\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\sqrt{x_1 x_2}\,\;</math>||<math>\ge \frac{2 x_1 x_2}{ x_1 + x_2 } = \frac{2}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} }\,\;</math>
|}

* 第二个不等号

:{|
|-
|align=right|<math>\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>||<math>\ge 0\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\;</math>||<math>\ge 4 x_1 x_2\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2\,\;</math>||<math>\ge x_1 x_2\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\frac{x_1 + x_2}{2}\,\;</math>||<math>\ge \sqrt{x_1 x_2}\,\;</math>
|}

* 第三个不等号

:{|
|-
|align=right|<math>(\frac{ x_1 - x_2 }{2}) ^2 = \frac{x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2}{4}\,\;</math>||<math>\ge 0\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1^2 + x_2^2}{4}\,\;</math>||<math>\ge \frac{2 x_1 x_2 + x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}\,\;</math>
|-
|align=right|<math>\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}\,\;</math>||<math>\ge \frac{x_1 + x_2}{2}\,\;</math>
|}

==证明方法==

关于均值不等式的证明方法有很多，[[数学归纳法]]（第一数学归纳法或反向归纳法）、[[拉格朗日乘数]]法、[[琴生不等式]]法、[[排序不等式]]法、[[柯西不等式]]法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法证明n维形式的均值不等式的方法：

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设<math>A\ge 0</math>，<math>B\ge 0</math>，则<math>\left(A+B\right)^n\ge A^n+nA^{n-1}B</math>，且仅当<math>B=0</math>时取等号。

引理的正确性较明显，条件<math>A\geq 0</math>，<math>B\geq 0</math>可以弱化为<math>A\geq 0</math>，<math>A+B\geq 0</math>，可以用数学归纳法证明。

原题等价于：<math>\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}} \right )^{n} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{n}</math>，当且仅当<math>a_1=a_2=\cdots=a_n</math>时取等号。

当<math>n=2</math>时易证；

假设当<math>n=k</math>时命题成立，即<math>\left ( {\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k}} \right )^{k} \ge a_{1}a_{2} \cdots a_{k}</math>，当且仅当<math>a_1=a_2=\cdots=a_k</math>时取等号。

那么当<math>n=k+1</math>时，不妨设<math>a_{k+1}</math>是<math>a_1</math>、<math>a_2 \cdots a_{k+1}</math>中最大者，则<math>ka_{k+1} \ge a_1+a_2+\cdots+a_{k}</math>

设<math>S = a_1 + a_2 + \cdots + a_{k}</math>，
<math>\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1} = \left[\frac{S}{k}+\frac{ka_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right]^{k+1}</math>，根据引理

<math>\left[\frac{S}{k}+\frac{ka_{k+1}-S}{k\left(k+1\right)}\right]^{k+1} \ge \left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k+1}+(k+1)\left ( {\frac{S}{k}} \right )^{k}\frac{ka_{k+1}-S}{k(k+1)} = \left(\frac{S}{k}\right)^{k}a_{k+1} \ge a_1a_2 \cdots a_ka_{k+1}</math>，当且仅当<math>ka_{k+1}-S=0</math>且<math>a_1=a_2=\cdots=a_k</math>时，即<math>a_1=a_2=\cdots=a_k=a_{k+1}</math>时取等号。

此外，人教版高中数学教科书《选修4-5 不等式选讲》也介绍了一个运用数学归纳法的证明方法<ref>{{Cite book|title=普通高中课程标准实验教科书 数学 选修4-5 不等式选讲|last=|first=|publisher=人民教育出版社|year=2007|isbn=978-7-107-18675-2|location=|pages=52}}</ref>。

先运用数学归纳法证明一个引理：若<math>n</math>（<math>n</math>是正整数）个正数<math>a_{1},a_{2},...,a_{n}</math>的乘积<math>a_{1}a_{2}...a_{n}=1</math>，则它们的和<math>a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geqslant n</math>，当且仅当<math>a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=1</math>时等号成立。

此引理证明如下：

当<math>n=1</math>时命题为：若<math>a=1</math>，则<math>a\geqslant1</math>，当且仅当<math>a=1</math>时等号成立。命题显然成立。

假设当<math>n=k</math>时命题成立，则现在证明当<math>n=k+1</math>时命题也成立。

若这<math>k+1</math>个数全部是1，即<math>a_{1}=a_{2}=...=a_{k+1}=1</math>，则命题显然成立。

若这<math>k+1</math>个数不全是1，则易证明必存在<math>i\neq j</math>使<math>a_{i}>1, a_{j}<1</math>。不妨设<math>a_{1}>1, a_{2}<1</math>。由归纳假设，因为<math>(a_{1}a_{2})a_{3}...a_{k+1}=1</math>，所以<math>a_{1}a_{2}+a_{3}+...+a_{k+1}\geqslant k</math>，记此式为①式。由<math>a_{1}>1, a_{2}<1</math>，知<math>a_{1}-1>0, 1-a_{2}>0</math>，则<math>(a_{1}-1)(1-a_{2})=a_{1}+a_{2}-a_{1}a_{2}-1>0</math>，整理得<math>a_{1}+a_{2}>1+a_{1}a_{2}</math>，记此式为②式。①+②得<math>a_{1}+a_{2}+a_{1}a_{2}+a_{3}+...+a_{k+1}> k+1+a_{1}a_{2}</math>，整理得<math>a_{1}+a_{2}+...+a_{k+1}> k+1</math>（此时等号不成立），命题成立。

综上，由数学归纳法，引理成立。

现在为了证明平均值不等式，考虑<math>n</math>个正数<math>\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}, \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}, ... ,\frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}</math>，它们的积为1，由引理，它们的和<math>\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}\geqslant n</math>，当且仅当<math>\frac{a_{1}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}= \frac{a_{2}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}= ... =\frac{a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}</math>即<math>a_1=a_2=\cdots=a_n</math>时等号成立。

整理即得：<math>\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geqslant \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}</math>，当且仅当<math>a_1=a_2=\cdots=a_n</math>时等号成立。于是<math>G_n \le A_n</math>得证。

利用<math>G_n \le A_n</math>，易证<math>H_n \le G_n</math>。考虑<math>n</math>个正数<math>\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},...,\frac{1}{a_n}</math>，有<math>\frac{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}{n}\geqslant \sqrt[n]{\frac{1}{a_1}\cdot\frac{1}{a_2}\cdot...\cdot\frac{1}{a_n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}}</math>，当且仅当<math>\frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}=...=\frac{1}{a_n}</math>即<math>a_1=a_2=\cdots=a_n</math>时等号成立。两边取倒数整理得<math>\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\leqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 ... a_n}</math>，当且仅当<math>a_1=a_2=\cdots=a_n</math>时等号成立，即<math>H_n \le G_n</math>。

<math>A_n \le Q_n</math>等价于<math>Q_n^2-A_n^2 \ge 0 </math>。事实上，<math>Q_n^2-A_n^2 </math>等于<math>a_1, a_2, \ldots, a_n</math>的[[方差]]，通过这个转化可以证出<math>Q_n^2-A_n^2 \ge 0 </math>，证明如下。

<math>Q_n^2-A_n^2=Q_n^2-2A_n^2+A_n^2=\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots +a_n^2}{n}-\frac{2a_{1} A_{n}+2a_{2} A_{n}+ \ldots +2a_{n} A_{n}}{n}+\frac{nA_{n}^2}{n} </math>

<math>=\frac{(a_{1}^2-2a_{1}A_{n}+A_n^2)+(a_{2}^2-2a_{2}A_{n}+A_n^2)+\ldots +(a_{n}^2-2a_{n}A_{n}+A_n^2)}{n} </math>

<math>=\frac{(a_{1}-A_n)^2+(a_{2}-A_n)^2+\ldots +(a_{n}-A_n)^2}{n} </math>

<math>\geqslant 0 </math>，

当且仅当<math>a_1=a_2=\cdots=a_n = A_{n}</math>时等号成立。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等方法。

==参见==
* [[算术-几何平均值不等式]]
* [[幂平均不等式]]

[[Category:代数不等式|P]]
[[Category:代数|P]]
[[Category:平均数]]