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角平分线（英语：Angle Bisector）是几何学中的一个基本概念。它指的是从角的顶点出发，将角分成两个相等角的线段或射线。角平分线在几何问题中起着重要作用，无论是在理论证明中，还是在实际应用中，都能帮助我们理解和解决各种几何问题。

== 角平分线的定义 ==
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

== 角平分线的性质 ==

1.角平分线把角分成两个一样角度的小角，都等于该角的一半

=== 该性质的应用 ===

[[File:Geo AngleBesector.PNG]]

<math>\because\ OM \text{ 平分 } \angle AOB</math>

<math>\therefore\ \angle AOM = \angle MOB</math>

2..角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。


即如图所示：

<math>OM</math>平分<math>{\angle}AOB,P</math>为<math>OM</math>上一点<math>,PE{\perp}OA</math>于<math>E,PF{\perp}OB</math>于<math>F,</math>

则<math>PE=PF</math>。

[[File:Geo AngleBesector.PNG]]

=== 该性质的证明 ===

利用三角形全等，可以很容易推得此结论。

下面作一下简单推导。

<math>{\because\quad}OM</math>平分<math>{\angle}AOB,</math>

<math>{\therefore\quad\angle}POE={\angle}POF.</math>

<math>{\because\quad}PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB,</math>

<math>{\therefore\quad\angle}OEP={\angle}OFP=90^{\circ}.</math>

在<math>{\triangle}OEP</math>与<math>{\triangle}OFP</math>中<math>,</math>

<math>\begin{cases}
{\angle}OEP={\angle}OFP, \\
{\angle}POE={\angle}POF, \\
OP=OP,
\end{cases}
</math>

<math>{\therefore\quad\triangle}OEP{\;\cong\triangle}OFP(\mbox{AAS}).</math>

<math>{\therefore\quad}PE=PF.</math>

[[证毕]]。

== 角平分线的判定 ==

=== 判定 ===

与其性质相对应的，就是角平分线的判定：

若有一點至角两边距离相等，則該點在該角的角平分线上。

即：

已知<math>{\angle}AOB,P</math>为<math>OM</math>上一点<math>,\;PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB.</math>

如果<math>PE=PF,</math>那么<math>OM</math>平分<math>{\angle}AOB.</math>

[[File:Geo AngleBesector.PNG]]

=== 证明 ===

<math>{\because\quad}PE{\perp}OA,\;PF{\perp}OB,</math>

<math>{\therefore\quad\angle}OEP={\angle}OFP=90^{\circ}.</math>

在<math>\mathrm{Rt}{\triangle}OEP</math>与<math>\mathrm{Rt}{\triangle}OFP</math>中<math>,</math>

<math>\begin{cases}
OP=OP, \\
PE=PF,
\end{cases}</math>

<math>{\therefore\quad}\mathrm{Rt}{\triangle}OEP\;{\cong}\mathrm{Rt}{\triangle}OFP(\mathrm{HL}).</math>

<math>{\therefore\quad\angle}POE={\angle}POF,</math>

<math>{\therefore\quad}OM</math>平分<math>{\angle}AOB.</math>

证毕。

== 內心 ==

[[任意三角形]]ABC中，<math>{\angle}ABC</math>、<math>{\angle}BCA</math>、<math>{\angle}CAB</math> 角平分線交於一點I，則我們稱此點I為三角形ABC的[[內心]]。

三角形的內心恆在圖形內部，且到三角形之三邊距離等長。

== 參見 ==
* [[角平分線長公式]] 
* [[垂直平分線]]
* [[中线]]
* [[高线]]

[[Category:几何术语]]
[[Category:几何学]]