查看“︁平凡 (數學)”︁的源代码

{{unreferenced|time=2016-11-23T00:45:10+00:00}}
[[数学]]中，术语'''平凡'''或'''平凡的'''（{{lang-en|trivial}}）经常用于描述结构非常简单的[[范畴论|对象]]（比如[[群]]或[[拓扑空间]]）。有時亦會用'''明顯'''或'''乏趣'''這兩個詞代替，但对非数学工作者来说，它们有时可能比其他更复杂的对象更难想象或理解。

==平凡解==
'''平凡'''也用于一个[[方程]]具有非常简单结构的解，但是为了完整性不能省略。这种解称为'''平凡解'''。例如，考虑[[微分方程]]

:<math>y'=y</math>
这里 <math>y = y(x)</math> 为一個[[函数]]， <math>y' = \frac{dy}{dx}(x)</math> 為其[[导数]]。
: [[0|0 函数]] <math>y(x) = 0</math> 是一個平凡解；
: [[指数函数]] <math>y(x) = e^x</math> 是一个'''非平凡'''解。

类似地，数学家经常将[[费马大定理]]描述为方程 <math>a^n + b^n = c^n</math> 对 <math>n > 2</math> 没有非平凡解。

这个方程對任意 <math>n</math> 都有解，如 <math>(a, b, c) = (0, 0, 0)</math> 以及 <math>(a, b, c) = (1, 0, 1)</math> 。但是这种解是显然而无趣的，从而称为'''平凡'''。

==數學推理==
'''平凡'''也经常指证明中容易的[[穷举法|情形]]，为了完整性而不能省略。比如，[[数学归纳法]]证明分为两部分：“奠基步驟”是对一个特殊起始值比如 ''n'' = 0 或 ''n'' = 1 证明定理；然后归纳步骤证明如果定理对特定值 ''n'' 成立，那么对 ''n''+1 也成立。奠基情形经常是显然的。（但是，也有归纳步骤是平凡的而奠基情形却困难的例子。关于多项式的定理经常是这种类型，证明对变元的个数用归纳法。证明如果系数环 ''A'' 是唯一分解整环那么 ''A''[''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''n''</sub>] 是[[唯一分解整环]]，归纳步骤只要简单的写成 ''A''[''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''n''</sub>] = ''A''[''X''<sub>1</sub>,...,''X''<sub>''n''-1</sub>][''X''<sub>''n''</sub>]，而一个变元的奠基情形是困难的。）类似地，我们可能想证明某种性质对一个集合中所有元素都成立。证明的主要考虑非空集合，详细检验其元素是否具有該性質；但如果集合是空集，則性质对其所有元素都成立，因为没有元素需要檢驗。（参见{{le|空洞的事實|Vacuous truth}}）
  
数学界一个常见的笑话是说“平凡”和“已被[[证明]]”是[[同义词]]——这就是说，任何定理如果已知成立就可以认为是“平凡”的。另一个笑话是关于两个数学家讨论一个定理。第一个数学家说某个定理是“平凡的”。另一个要求一个解释，然后他进行了 20 分钟的解说。解说完了之后，第二个数学家同意这个定理是平凡的。这个笑话指出对平凡性判断的主观性。举个例子，对[[微积分]]熟练的人，会认为这个定理

:<math>\int_0^1 x^2\, dx = 1/3</math> 
是平凡的。但对初学者来说，可能一点也不显然。

值得注意的是，平凡性也取决于语境。[[泛函分析]]中的证明可能会给出一个数，平凡地假设存在这样的大数。在[[初等数论]]中证明自然数的基本结论时，证明也许會與「每個自然数都有一个后继」息息相關，但此點需加以證明，或者将其作为一个[[皮亚诺公理|公理]]。

== 例子 ==
* 平凡[[因數]]：對於每個正整數 <math>n</math> ， <math>1</math> 、 <math>-1</math> 、 <math>n</math> 和 <math>-n</math> 都是它的因數，因此又稱為平凡因數。
* [[空集]]：不包含任何元素的[[集合_(数学)|集合]]；
* [[平凡群]]：只含[[单位元]]的[[群]]；
* [[平凡拓撲]]：僅有[[空集]]和整個空間作為[[開集]]的[[拓撲空間]]。
* {{le|平凡环|Zero ring}}：定义于[[单元素集合]]的环。 

==相關條目==
*[[退化 (數學)]]
*[[始对象和终对象]]
*[[病態 (數學)]]
*[[瑣碎論]]

==外部链接==
* [http://mathworld.wolfram.com/Trivial.html Trivial entry at MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Trivial.html |date=20141009083124 }}



[[Category:数学术语]]