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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{线性代数}}

'''幂零矩阵'''（{{lang-en|'''nilpotent matrix'''}}）是一个''n''&times;''n''的[[方块矩阵]]''M''，满足以下等式：
:<math>M^q = 0\,</math>
对于某个正整数''q''。类似地'''幂零变换'''是一个[[线性变换]]''L''，满足<math>L^q = 0</math>对于某个整数''q''。

幂零矩阵是[[幂零元]]──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。

==例子==

考虑以下的矩阵：

:<math> 
N = \begin{bmatrix} 
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{bmatrix} 
</math>

这是一个4&times;4的幂零矩阵的例子（实际上，这种形式的矩阵称为[[转移矩阵]]）。注意非零的[[超对角线]]。这个矩阵的特征为：

:<math>
N^2 =   \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 1 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 1\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
                 \end{bmatrix} 

;\ 
N^3 =   \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 0 & 1\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
               \end{bmatrix}

;\ 
N^4 =  \begin{bmatrix} 
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0\\
                    0 & 0 & 0 & 0 
               \end{bmatrix} 
</math>

超对角线不断向右上角“移动”，直到完全消失，得到[[零矩阵]]。

对应的幂零变换''L'' : '''R'''<sup>4</sup> → '''R'''<sup>4</sup>由下式定义：
:<math> L(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_2,x_3,x_4,0) \ </math>

有一个分类定理证明这是典型的：幂零矩阵与[[分块矩阵]]是[[相似矩阵|相似]]的，其对角线上的区块推广了这种类型，而其它区块为零。

==性质==

设''M''为''n''&times;''n''的幂零矩阵。

* 满足''M''<sup>''q''</sup> = 0的最小整数''q''小于或等于''n''。
* 在代数封闭域上，矩阵''M''是幂零的，当且仅当它的所有[[特征值]]为零。因此，''M''的[[行列式]]和[[迹]]都为零，所以幂零矩阵必為[[奇異方陣]]。
* 假设''A''和''B''是两个矩阵。如果''A''是可逆矩阵，则<math>A^{-1} B</math>是幂零矩阵，当且仅当<math>\det(A+tB)</math>与''t''无关。这是因为：
::<math>\det(A+tB)=\det A \cdot \det (I+t A^{-1}B)=\det A \cdot \prod_k (1+\lambda_k t)</math> 
:其中<math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>是<math>A^{-1}B</math>的特征值。
* ''M''的[[特征多项式]]为λ<sup>''n''</sup>。
* 每一个严格的[[上三角矩阵]]或[[下三角矩阵]]都是幂零矩阵。
* 每一个[[奇异方阵]]都可以写成若干个幂零矩阵的乘积。<ref>R. Sullivan, Products of nilpotent matrices, ''Linear and Multilinear Algebra'', Vol. 56, No. 3</ref>

==分类定理==

以上的例子是典型的，这是因为以下的结果。每一个幂零矩阵都与以下的[[分块对角矩阵|分块矩阵]]相似： 
:<math> \begin{bmatrix} 
   N_1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 
   0 & N_2 & 0 & \ldots & 0 \\
   0 & 0 & N_3 & \ldots & 0 \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & N_k 
\end{bmatrix} </math>
其中区块<math>N_i</math>在超对角线上为一，在其它地方为零：
:<math> N_i = \begin{bmatrix} 
   0 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
   0 & 0 & 1 & \ldots & 0 & 0 \\
   \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 \\
   0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0
\end{bmatrix} </math>

这可以从[[若尔当标准形]]，以及每一个与幂零矩阵相似的矩阵也是幂零的事实推出。

==参考文献==
<references />

==外部链接==
* [[PlanetMath]]上的[http://planetmath.org/encyclopedia/NilpotentMatrix.html 幂零矩阵] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/NilpotentMatrix.html |date=20080829202453 }}和[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1961 幂零变换] {{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=1961 |date=20110514053345 }}。

{{DEFAULTSORT:nilpotent matrix}}
[[Category:矩阵]]