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在[[数学]]中，'''幂集公理'''是[[公理化集合论]]的[[Zermelo-Fraenkel公理]]之一。

在Zermelo-Fraenkel公理的[[形式语言]]中，这个公理读做：
:<math>\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff(\forall y: y \in x \implies y \in A)</math>
或简写为：
:<math>\forall A, \exists\; {\mathcal{P}(A)}, \forall x: x \in {\mathcal{P}(A)} \iff x \subseteq A</math>

换句话说：
:[[全称量化|给定任何]][[集合 (數學)|集合]]''A''，[[存在量化|有着]]一个集合<math>\mathcal{P}(A)</math>使得，给定任何集合''x''，''x''是<math>\mathcal{P}(A)</math>的成员，[[当且仅当]]''x''是''A''的子集。

通过[[外延公理]]可知这个集合是唯一的。我们可以称集合<math>\mathcal{P}(A)</math>是''A''的[[冪集|幂集]]。所以这个公理的本质是：
:所有集合都有一个幂集。

幂集公理一般被认为是无可争议的，它或它的等价命題出现在所有[[可替代的集合论]]的公理化中。

== 推论 ==

幂集公理允许定义两个集合<math>X</math>和<math>Y</math>的[[笛卡儿积]]：  

:<math> X \times Y = \{(x, y) : x \in X \land y \in Y \}</math>。

笛卡儿积是个集合因为

:<math> X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y))</math>。

你可以[[递归定义]]集合的任何[[有限集合|有限]]的[[类 (数学)|搜集]]的笛卡儿积： 

:<math> X_1 \times \cdots \times X_n =(X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n </math>。

注意笛卡儿积的存在性在不包含幂集公理的{{link-en|Kripke-Platek集合论|Kripke–Platek set theory}}中是可证明的。

== 引用 ==
*Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
*Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier.  ISBN 0-444-86839-9.
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{{planetmath|urlid=axiomofpowerset|title=Axiom of power set}}

[[Category:集合论公理]]

==注释==
<references />

{{集合论}}
[[de:Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#Die Axiome von ZF und ZFC]]