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'''幂平均'''（{{lang-en|power mean}}），又稱'''广义平均'''（{{lang-en|generalized mean}}）或'''赫尔德平均'''（{{lang-en|Hölder mean}}），是一族從數列到實數的函數。幂平均函數的特殊情況包括[[毕达哥拉斯平均]]（[[算术平均|算术]]、[[几何平均|几何]]、[[调和平均|调和]]平均），因此可視為毕达哥拉斯平均的一種推廣。

[[File:Generalized means of 1, x.svg|400px|thumb|right|數個不同冪平均 <math>M_p(1, x)</math> 的圖表。]]

==定义==

若 <math>p</math> 是一非零[[实数]]，可定义非負实数 <math>x_1,\dots,x_n</math> 
'''的''p''次幂平均'''为
:<math>
M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{\frac{1}{p}}\,
</math>
冪平均在<math>p=0</math>等於幾何平均（冪平均函數<math>p</math>[[收斂]]於0時的[[均勻收斂|收斂]]於幾何平均）

:<math>
M_0(x_1,\dots,x_n) = \left( \prod_{i=1}^n x_{i} \right)^{\frac{1}{n}}\,
</math>

==性质==
* 和所有[[平均#性质|平均]]一样，幂平均是各参数 <math>x_1,\dots,x_n</math> 的一次[[齐次函数]]。即若 <math>b</math> 是一个正实数，则 <math>b\cdot x_1,\dots, b\cdot x_n</math> 指数为 <math>p</math> 的幂平均等于 <math>b</math> 倍 <math>x_1,\dots, x_n</math> 的幂平均。
* 与[[几何算术平均]]一样，这种平均的计算可以分解成同样大小的子块来计算。

:: <math>
M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
  M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),
      M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
      \dots,
      M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))
</math>

=== 幂平均不等式 ===

一般地，如果 <math>p < q</math>，则 <math>M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)</math> 且这两个平均相等当且仅当 <math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math>。这由事实

: <math>\forall p\in\mathbb{R}\ \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0,</math>

得出，上述不等式可由[[琴生不等式]]证明。

特别地，对 <math>p\in\{-1, 0, 1\}</math>，幂平均不等式蕴含了[[毕达哥拉斯平均]]不等式以及[[算术几何平均不等式]]。

== 特例 ==
[[File:MathematicalMeans.svg|280px|thumb|right|特例<math>n=2</math>时的图形描述。]]
{| style="border:none; padding:20px"
|<math>M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}</math>
|style="padding-left:20px"| [[最小值]]
|-
|<math>M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}</math>
|style="padding-left:20px"| [[调和平均]]
|-
|<math>M_0(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}</math>
|style="padding-left:20px"| [[几何平均]]
|-
|<math>M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math>
|style="padding-left:20px"| [[算术平均]]
|-
|<math>M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}</math>
|style="padding-left:20px"| [[平方平均]]{{anchor|Quadratic}}
|-
|<math>M_3(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[3]{\frac{x_1^3 + \dots + x_n^3}{n}}</math>
|style="padding-left:20px"| 立方平均
|-
|<math>M_{+\infty}(x_1,\dots,x_n) = \lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}</math>
|style="padding-left:20px"| [[最大值]]
|}

==幂平均不等式的证明==

=== 不同符号的不等式之等价 ===
假设指数 <math>p</math> 与 <math>q</math> 的幂平均间有不等式：
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>
则
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}</math>.
我们在两边取倒数（正实数上的严格递减函数，不等号反向）：
:<math>\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}</math>,
我们得到了关于 <math>-p</math> 与 <math>-q</math> 的幂平均不等式，同样的推理可以倒推，从而证明了两个不等式等价，这在后面的证明中将用到。

===几何平均===
对任何 ''<math>q</math>''，指数为 ''<math>q</math>'' 的幂平均与几何平均之间的不等式为：
:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>
:<math>\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} </math>
（第一个不等式对正数 ''<math>q</math>''，第二个对负数）

我们在两边取 ''<math>q</math>'' 次幂：
:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>
两种情形我们都得到关于 <math>x_i^q</math> 的加权算术几何平均不等式，这可以用[[琴生不等式]]证明，利用[[对数函数]]是凸函数的事实：
:<math>\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)</math>
:<math>\log\left(\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}\right) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)</math>
两边取[[指数函数]]（严格递增），我们得到了不等式：
:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i.</math>

从而对任何正数 ''<math>q</math>''，下式成立：
:<math>\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}.</math>
因为此不等式对任何 ''<math>q</math>'' 成立，足够小同样成立，可以将证明（利用[[洛必达法则]]），当 ''<math>q</math>'' 趋于 0 时，左右两边趋于几何平均，''<math>q</math>'' 趋于 0 时的幂平均是几何平均：
:<math>\lim_{q\rightarrow 0}\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{q}}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}</math>

===幂平均不等式===
我们将证明对任何 <math>p<q</math> 如下不等式成立：
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}.</math>
如果 ''<math>p</math>'' 是负数且 ''<math>q</math>'' 是正数，不等式等价于上面已证过的
:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>
对正数 ''<math>p</math>'' 与 ''<math>q</math>'' 的证明如下：定义函数 <math>f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+}</math>， <math>f(x)=x^{\frac{q}{p}}</math>。 <math>f</math>是一个幂函数，所以有二阶导数：<math>f''(x)=\left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{q}{p}-1\right)x^{\frac{q}{p}-2}</math>，在 <math>f</math> 的定义域内严格正，因为 <math>q>p</math>，从而我们知道 ''<math>f</math>'' 是凸的。 

利用这一点以及琴生不等式，我们得到：
:<math>f(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p)\leq\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)</math>
:<math>\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>
两边取 <math>\frac{1}{q}</math> 次幂（递增函数，因 <math>\frac{1}{q}</math> 为正数）我们得到了欲证之不等式：

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>。

最后使用先前证过的等价性，我们得到了关于负数 ''<math>p</math>'' 与 ''<math>q</math>'' 的不等式，证毕。

==最小值与最大值==
此段最后将证明当指数 ''<math>p</math>'' 趋于 <math>-\infty</math> 与 <math>+\infty</math>，其幂平均的幂平均分别趋于最小值与最大值。定义指数为 <math>-\infty</math> 与 <math>+\infty</math> 的幂平均为最大值与最小值。从而应该有：
:<math>\min (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \max (x_1,x_2,\ldots ,x_n)</math>
对最大值证明如下：[[不失一般性]]假设序列 <math>x_i</math> 非减且全不为零。则不等式等价于：
:<math>\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq x_1</math>
两边取 ''<math>q</math>'' 次幂，我们得到不等式（取决于 ''<math>q</math>'' 的符号）：
:<math>\sum_{i=1}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq}  x_1^q</math>
若 <math>q>0</math> 为 ≤，<span style="color: red"> 若 <math>q<0</math> 为 ≥</span>。

两边同时减去 <math>w_1x_1^q</math> 我们得到：
:<math>\sum_{i=2}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq} (1-w_1)x_1^q</math>
除以 <math>(1-w_1)</math>：
:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}x_i^q\leq {\color{red} \geq} x_1^q</math>
<math>1-w_1</math> 不为零，从而：
:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}=1</math>
减去 <math>{x_1}^q</math> 剩下：
:<math>\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}(x_i^q-x_1^q)\leq {\color{red} \geq} 0</math>
这是显然的，因为 <math>x_1</math> 大于或等于任何 ''<math>x_i</math>''，从而
:<math>x_i^q-x_1^q\leq {\color{red} \geq} 0</math>

对最小值证明几乎相同，只不过将 <math>x_1</math>、<math>w_1</math> 换作 <math>x_n</math>、<math>w_n</math>，证毕。

另一方面，当 ''<math>q</math>'' 大于零时，由简单的推理以及上面的不等式有
:<math>\sqrt[q]{w_1x_1^q} < \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q} \leq x_1,</math>
令 <math>q</math> 趋于 <math>+\infty</math> 时，左边同样趋于 <math>x_1</math>，由[[夹逼定理]]知中间项幂平均趋于 <math>x_1</math>。最小值的证明完全类似。

== 广义 ''f''-平均 ==
{{main|广义 f-平均}}

幂平均可以推广到更一般的{{link-en|广义 f-平均|Quasi-arithmetic mean|广义 ''f''-平均}}：
:<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left[{\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right] </math>

例如这包括了几何平均而勿需使用极限。幂平均是由 <math> f\left(x\right)=x^p </math> 得到的。

== 应用 ==

=== 信号处理 ===
幂平均作为一个非线性[[移动平均]]。对於小 <math>p</math> 值，幂平均比较偏重小信号值，对於大 <math>p</math> 值，幂平均则会强调大信号值。给予一个高效率[[低通滤波器|移动算术平均]]的实施函数，称为 <tt>smooth</tt> ，工程师可以按照下述 [[Haskell]] 代码，设计一个'''移动幂平均'''实施函数：
  powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
  powerSmooth smooth p =
     map (** recip p) . smooth . map (**p)

* 对於大 <math>p</math> 值，这可作为一个[[整流器|整流]]信号的[[包封檢測器]]（{{lang|en|envelope detector}}）。
* 对於小 <math>p</math> 值，这可作为一个[[質譜|質量譜]]的[[基线侦测器]]（{{lang|en|baseline detector}}）。

==参见条目==
* [[平均]]
* [[平方平均]]
* [[算术平均]]
* [[几何平均]]
* [[调和平均]]
* [[海伦平均]]（Heronian mean）
* [[莱默平均]]（Lehmer mean）——也是一个与[[幂]]有关的平均数。
* [[算术几何平均不等式]]

==外部链接==
*[http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html Power mean at MathWorld] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html |date=20081020075325 }}
*[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Generalized%20mean.html Examples of Generalized Mean] {{Wayback|url=http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Generalized%20mean.html |date=20080708192939 }}
*[http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ProofOfGeneralMeansInequality A proof of the Generalized Mean] {{Wayback|url=http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&name=ProofOfGeneralMeansInequality |date=20111110171410 }} on [[PlanetMath]]
*[http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d284/28406.pdf 平均論] {{Wayback|url=http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d284/28406.pdf |date=20210508140215 }}
[[Category:不等式]]
[[Category:平均数]]