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{{Unreferenced|time=2014-05-28T09:56:18+00:00}}
{{Expand English|constant function}}
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{{各種函數}}

在[[数学]]中，'''常数函数'''（也称'''常值函数'''）是指[[值]]不发生改变（即是[[常数]]）的[[函数]]。例如，我们有函数<math>f(x)=4</math>，因为<math>f</math>[[映射]]任意的值到4，因此''<math>f</math>''是一个常数。更一般地，对一个函数<math>f:A\rightarrow B</math>，如果对<math>A</math>内所有的<math>x</math>和<math>y</math>，都有<math>f(x)=f(y)</math>，那么，''<math>f</math>''是一个常数函数。其中<math>f(x)=0</math>的常數函數稱為'''零函數'''，圖形為[[x軸]]；值不為零的常數函數則可稱為'''零次函數'''，圖形為一[[平行]]x軸的水平線。

请注意，每一个[[空函数]]（[[定义域]]为[[空集]]的函数）[[平凡 (數學)|无意义地]]满足上述定义，因为''<math>A</math>''中没有<math>x</math>和<math>y</math>使<math>f(x)</math>和<math>f(y)</math>不同。然而{{who|有些人}}认为，如果包括空函数的话，那么常数函数将更容易定义。

对于[[多项式|多项式函数]]，一个非零常数函数称为一个零次多项式，而零函数对应只能叫零多项式。

== 性质 ==
常数函数可以通过与[[复合函数]]的关系，从两个途径进行描述。

下面这些是等价的：

# ''<math>f:A\rightarrow B</math>''是一个常数函数。
# 对所有函数<math>g, h: C \to A, f \circ g = f \circ h</math>（“<math>\circ</math>”表示[[复合函数]]）。
#''<math>f</math>''与其他任何函数的复合仍是一个常数函数。

上面所给的常数函数的第一个描述，是[[范畴论]]中[[常数态射]]更多一般概念的激发和定义的性质。

根据定义，一个函数的[[导函数]]度量自变量的变化与函数变化的关系。那么我们可以得到，由于常数函数的值是不变的，它的导函数是零。例如：

* 如果''<math>f</math>''是一个定义在某一[[区间]]、[[变量]]为实数的[[实数]]函数，那么当且仅当''<math>f</math>''的[[导函数]]恒为零时，''<math>f</math>''是常数。

对[[预序关系|预序集合]]间的函数，常数函数是[[保序]]和[[倒序]]的；相反的，如果''f''既是保序的也是倒序的，如''<math>f</math>''的[[定义域]]是一个[[格 (数学)|格]]，那么''<math>f</math>''一定是一个常数函数。

常数函数的其他性质包括：

* 任一[[定义域]]和[[陪域]]相同的常数函数是[[等幂]]的。
* 任一[[拓扑空间]]上的常数是[[连续函数|连续]]的。

在一个[[连通空间|连通集合]]中，当且仅当''f''是常数时，它是[[局部常数]]。

==參見==
*[[代数式]]
*[[因式分解]]

== 参考文献 ==
* Herrlich, Horst and Strecker, George E., ''范畴论（Category Theory）'', Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
* {{planetmath reference|id=4727|title=常数函数（Constant function）|urlname=constantfunction}}

{{多項式}}
[[Category:函数|C]]
[[Category:初等数学|C]]