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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{微積分學}}

在[[数学分析]]中，'''常微分方程'''（{{lang-en|ordinary differential equation}}，簡稱{{lang|en|ODE}}）是未知函数<nowiki>只</nowiki>含有一个自变量的[[微分方程]]。对于微积分的基本概念，请参见[[微积分]]、[[微分学]]、[[积分学]]等条目。

很多[[科学]][[问题]]都可以表示为常微分方程，例如根据[[牛顿第二运动定律]]，[[物体]]在[[力]]的作用下的[[位移]]<math>s</math>和[[时间]]<math>t</math>的关系就可以表示为如下常微分方程：
:<math>m\frac{\mathrm{d}^2s}{\mathrm{d}t^2}=f(s)</math>；
其中<math>m</math>是物体的[[质量]]，<math>f(s)</math>是物体所受的力，是位移的[[函数]]。所要求解的未知函数是位移<math>s</math>，它只以时间<math>t</math>为自变量。

== 精确解总结 ==
一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中，<math>P(x), Q(x); P(y), Q(y)</math>和<math>M(x,y), N(x,y)</math>是任意关于<math>x,y</math>的[[可积系统|可积]]函数，<math>b,c</math>是给定的实常数，<math>C,C_1 , C_2 \ldots </math>是任意常数（一般为复数）。这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中，<math>\lambda </math>和<math>\epsilon </math>是积分变量（求和下标的连续形式），记号<math>\int^x F(\lambda )\mathrm{d}\lambda </math>只表示<math>F(\lambda )</math>对<math>\lambda </math>积分，在积分以后<math>\lambda{} = x</math>替换，无需加常数（明确说明）。

:{| class="wikitable"
|-
! width="200" scope="col" | 微分方程
! width="100" scope="col" | 解法
! width="400" scope="col" | 通解
|-
! colspan="3" | 可分离微分方程
|-
| 一阶，变量<math>x </math>和<math>y</math>均可分离（一般情况,下面有特殊情况）<ref name= "MHFT" >Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISC_2N 978-0-07-154855-7</ref>

<math> P_1(x)Q_1(y) + P_2(x)Q_2(y)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \,\!</math>

<math> P_1(x)Q_1(y)\,\mathrm{d}x + P_2(x)Q_2(y)\,\mathrm{d}y = 0 \,\!</math>
|| 分离变量（除以<math>P_2 Q_1</math>）。
|| <math> \int^x \frac{P_1(\lambda)}{P_2(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda + \int^y \frac{Q_2(\lambda)}{Q_1(\lambda)}\,\mathrm{d}\lambda = C \,\!</math>
|-
| 一阶，变量<math>x</math>可分离<ref name= "EDEBVP" />
<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(x)\,\!</math>

<math>\mathrm{d}y= F(x) \, \mathrm{d}x\,\!</math>
||直接积分。
|| <math>y= \int^x F(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda + C \,\!</math>
|-
| 一阶自治，变量<math>y</math>可分离<ref name="EDEBVP">Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th Edition), W.E. Boyce, R.C. Diprima, Wiley International, John Wiley & Sons, 1986, ISBN 0-471-83824-1</ref>

<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(y)\,\!</math>

<math>\mathrm{d}y= F(y) \, \mathrm{d}x\,\!</math>
|| [[分离变量]]（除以<math>F</math>）。
|| <math>x=\int^y \frac{\mathrm{d}\lambda}{F(\lambda)}+C\,\!</math>
|-
| 一阶，变量<math>x</math>和<math>y</math>均可分离<ref name= "EDEBVP" />

<math>P(y)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x)= 0\,\!</math>

<math>P(y)\,\mathrm{d}y + Q(x)\,\mathrm{d}x =0\,\!</math>
|| 整个积分。
|| <math>\int^y P(\lambda)\,{\mathrm{d}\lambda} + \int^x Q(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda = C\,\!</math>
|-
! colspan="3"| 一般一阶微分方程
|-
| 一阶，齐次<ref name= "EDEBVP" />

<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F \left( \frac{y}{x} \right ) \,\!</math>
|| 令<math>y = ux</math>，然后通过分离变量<math>u</math>和<math>x</math>求解。
|| <math> \ln (Cx) = \int^{\frac{y}{x}} \frac{\mathrm{d}\lambda}{F(\lambda) - \lambda} \, \! </math>
|-
| 一阶，可分离变量<ref name= "MHFT" />

<math> yM(xy) + xN(xy)\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0 \,\!</math>

<math> yM(xy)\,\mathrm{d}x + xN(xy)\,\mathrm{d}y = 0 \,\!</math>

|| 分离变量（除以<math>xy</math>）。
||
<math> \ln (Cx) = \int^{xy} \frac{N(\lambda)\,\mathrm{d}\lambda}{\lambda [N(\lambda)-M(\lambda)] } \,\!</math>

如果<math>N = M</math>,解为<math>xy = C</math>。
|-
| 正合微分，一阶<ref name= "EDEBVP" />

<math> M(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0 \,\!</math>

<math> M(x,y)\,\mathrm{d}y + N(x,y)\,\mathrm{d}x = 0 \,\!</math>

其中<math> \frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial y} \, \! </math>

|| 全部積分
|| <math> \begin{align}
F(x,y) & = \int^y M(x,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda + \int^x N(\lambda,y)\,\mathrm{d}\lambda \\
 & + Y(y) + X(x) = C 
\end{align} \,\!</math>

其中<math>Y(y)</math>和<math>X(x)</math>是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数<math>F(x, y)</math>满足初始条件。
|-
| {{le|非正合微分|Inexact differential equation}},一阶<ref name= "EDEBVP" />

<math> M(x,y) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + N(x,y) = 0 \,\!</math>

<math> M(x,y)\,\mathrm{d}y + N(x,y)\,\mathrm{d}x = 0 \,\!</math>

其中<math> \frac{\partial M}{\partial x} \neq \frac{\partial N}{\partial y} \, \! </math>
|| [[积分因子]]<math>\mu (x, y)</math>满足

<math> \frac{\partial (\mu M)}{\partial x} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial y} \, \! </math>
|| 如果可以得到<math>\mu (x, y)</math>：

<math> \begin{align}
F(x,y) & = \int^y \mu(x,\lambda)M(x,\lambda)\,\mathrm{d}\lambda + \int^x \mu(\lambda,y)N(\lambda,y)\,\mathrm{d}\lambda \\
& + Y(y) + X(x) = C \\
\end{align} \, \! </math>
|-
! colspan="3"| 一般二阶微分方程
|-
| 二阶，自治<ref>Further Elementary Analysis, R. Porter, G.Bell & Sons (London), 1978, ISBN 0-7135-1594-5</ref>

<math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = F(y) \,\!</math>
|| 原方程乘以<math>\frac{2\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}</math>，代换<math>2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}^2y}{dx^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^2 \,\!</math>，然后两次积分。
|| <math> x = \pm \int^y \frac{ \mathrm{d} \lambda}{\sqrt{2 \int^\lambda F(\epsilon) \, \mathrm{d} \epsilon + C_1}} + C_2 \, \! </math>
|-
! colspan="3"| 线性微分方程（最高到<math>n</math>阶）
|-
| 一阶线性，非齐次的函数系数<ref name= "EDEBVP" />

<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x)\,\!</math>

|| [[积分因子]]：<math>e^{\int^x P(\lambda)\,d\lambda}</math>。
|| <math>y = e^{- \int^x P(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda}\left[\int^x e^{\int^\lambda P(\epsilon) \, \mathrm{d}\epsilon}Q(\lambda) \, {\mathrm{d}\lambda} +C \right]</math>
|-
| 二阶线性，非齐次的常系数<ref name= "MMPE" >Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISC_2N 978-0-521-86153-3</ref>

<math>\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} + b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + cy = r(x)\,\!</math>
|| 余函数<math>y_c </math>：设<math>y_c = \mathrm{e}^{\alpha x}</math>，代换并解出<math>\alpha </math>中的多项式，求出[[线性相关|线性无关]]函数<math>e^{\alpha_j x}</math>。

特解<math>y_p</math>：一般运用{{Link-en|常数变易法|method of variation of parameters}}，虽然对于非常容易的<math>r(x)</math>可以直观判断。<ref name= "EDEBVP" />
|| <math>y=y_c+y_p</math>

如果<math>b^2 > 4c</math>,则：

<math>y_c=C_1e^{ \left ( -b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}} + C_2e^{-\left ( b+\sqrt{b^2 - 4c} \right )\frac{x}{2}}\,\!</math>

如果<math>b^2 = 4c</math>，则：

<math>y_c = (C_1x + C_2)e^{-\frac{bx}{2}}\,\!</math>

如果<math>b^2 < 4c</math>,则：

<math> y_c = e^{ -\frac{bx}{2}} \left [ C_1 \sin{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} + C_2\cos{\left ( \sqrt{\left | b^2-4c \right |}\frac{x}{2} \right )} \right ]  \,\!</math>
|-
| <math>n</math>阶线性，非齐次常系数<ref name= "MMPE" />

<math> \sum_{j=0}^n b_j \frac{\mathrm{d}^j y}{\mathrm{d}x^j} = r(x)\,\!</math>
|| 余函数<math>y_c </math>：设<math>y_c = \mathrm{e}^{\alpha x}</math>，代换并解出<math>\alpha </math>中的多项式，求出[[线性相关|线性无关]]函数<math>e^{\alpha_j x}</math>。

特解<math>y_p</math>：一般运用{{Link-en|常数变易法|method of variation of parameters}}，虽然对于非常容易的<math>r(x)</math>可以直观判断。<ref name= "EDEBVP" />
|| <math>y=y_c+y_p</math>

由于<math>\alpha _j</math>为<math>n</math>阶[[多项式]]的解：
<math> \prod_{j=1}^n \left ( \alpha - \alpha_j \right ) = 0 \,\!</math>，于是：

对于各不相同的<math>\alpha _j</math>，

<math> y_c = \sum_{j=1}^n C_j e^{\alpha_j x} \,\!</math>

每个根<math>\alpha _j</math>重复<math>k_j</math>次，

<math> y_c = \sum_{j=1}^n \left( \sum_{\ell=1}^{k_j} C_\ell x^{\ell-1}\right )e^{\alpha_j x} \,\!</math>

对于一些复数值的α<sub>''j''</sub>，令α = χ<sub>''j''</sub> + ''i''γ<sub>''j''</sub>，使用[[欧拉公式]]，前面结果中的一些项就可以写成

:<math> C_je^{\alpha_j x} = C_j e^{\chi_j x}\cos(\gamma_j x + \phi_j)\,\!</math>

的形式，其中ϕ<sub>''j''</sub>为任意常量（相移）。
|}

== 参见 ==
*[[微分方程]]
*[[偏微分方程]]

== 参考资料 ==
<references/>
{{authority control}}
[[Category:常微分方程]]
[[Category:微分学]]