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'''帕斯卡蜗线'''（{{lang-fr|'''Limaçon de Pascal'''}}），或直接称作蜗线，是一种平面曲线，若平面上有一直径为<math>a</math>的圆，从圆周上任意一定点<math>O</math>引射线<math>OS</math>，交圆于点<math>Q</math>。在<math>OS</math>上，从点<math>Q</math>分别向两侧截取长度为b的线段<math>QP_1</math>和<math>QP_2</math>,当射线<math>OS</math>绕定点O旋转时，点P1、P2所形成的轨迹就叫做帕斯卡蜗线。帕斯卡蜗线的形状随<math>\frac{a}{b}</math>的值而变化，有时候是[[心脏线]]，有时候有内外两支，类似蜗牛壳，故被称作“limaçon”，这个词的本义是“小蜗牛”，源于拉丁语的 “limax”。

==历史==
[[File:Duerer Underweysung der Messung 042.jpg|thumb|丢勒所画出的蜗线]]
数学家[[布莱兹·帕斯卡]]的父亲，[[艾蒂安·帕斯卡]]（Étienne Pascal）也是一位数学爱好者，他曾于1637年在一封信中提到了自己对蜗线的研究。吉尔·罗伯瓦（Gilles de Roberval）曾用蜗线求过曲线的[[切线]]，和三等分角，他将该曲线称之为帕斯卡蜗线。科学史研究者认为艾蒂安·帕斯卡之前一百余年的德国画家[[阿尔布雷希特·丢勒]]就曾对这一曲线进行过研究，在他1525年出版的《量度艺术教程》一书中，丢勒给出了蜗线的画法。

==方程==
以定点O为极点，则帕斯卡蜗线的[[极坐标]]方程如下：
:<math>r = b + a \cos \theta \ .</math>
其中<math>a</math>为给定圆的直径，<math>b</math>为Q点向两侧所截取的定长。

通过极坐标系和直角坐标系的转换关系，可得到平面直角坐标系下的方程：
:<math>(x^2+y^2-ax)^2=b^2(x^2+y^2). \,</math><ref>{{cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | url=https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr/page/n129 113]–118 }}</ref>
需注意此时的方程是以定点O为原点的，若以给定圆的圆心为原点，则方程不同。

如果使用[[参数方程]]表示：
:<math>x = {a\over 2} + b \cos \theta + {a\over 2} \cos 2\theta,\, y = b \sin \theta + {a\over 2} \sin 2\theta.</math>
可以转换为在[[复平面]]里的表达式：
:<math>z = {a\over 2} + b e^{i\theta} + {a\over 2} e^{2i\theta}.</math>

==帕斯卡蜗线的不同形态==
[[Image:Limacons.svg|thumb|350px|三种帕斯卡蜗线]]
*<math>\frac{a}{b}<1</math>：蜗线没有绕扣和[[尖点]]。
*<math>\frac{a}{b}=1</math>：蜗线带有[[尖点]]，此时方程变为：
**<math> r = b(1 + \cos \theta) = 2b\cos^2 {\theta \over 2}</math> or <math>r^{1 \over 2} = (2b)^{1 \over 2} \cos {\theta \over 2}</math>，即心脏线。
*<math>\frac{a}{b}>1</math>：蜗线带有绕扣，形成内外两圈。
*<math>\frac{a}{b} = 2</math>：此时方程变为：
**<math> r = b(1 + 2\cos \theta)</math>, 通过适当的平移之后可以得到
**<math>r = 2b\cos{\theta \over 3}</math>
这属于[[玫瑰线]]一类，被称为[[帕斯卡三等分角线]]（Limaçon trisectrix）。
*<math>\frac{a}{b}>>1</math>: 随着<math>\frac{a}{b}</math>的值的进一步增大，帕斯卡蜗线的内圈和外圈逐渐接近，趋向于同一个圆。

==所围面积==
帕斯卡蜗线所围的面积为<math>(b^2 + {{a^2}\over 2})\pi</math>，但要注意当<math>b < a</math> 此处的面积为外圈所围的面积<math>(b^2 + {{a^2}\over 2})(\pi - \arccos {b \over a}) + {3\over 2} b \sqrt {{a^2} - {b^2}}</math>+内圈所围的面积<math>(b^2 + {{a^2}\over 2})\arccos {b \over a} - {3\over 2} b \sqrt {{a^2} - {b^2}}</math>，或者可以认为是两圈之间的面积<math>(b^2 + {{a^2}\over 2})(\pi - 2\arccos {b \over a}) + 3 b \sqrt {{a^2} - {b^2}}.</math>+两倍的内圈面积所得。

==和其他曲线的关系==
[[Image:PedalCurve2.gif|300px|right|thumb|帕斯卡蜗线是圆的垂足曲线的演示]]
*若平面上有两个点O和P，则以O为圆心，且过P点的所有圆的[[包络线]]是帕斯卡蜗线。

*若给定一个圆和一点P，则从P点向圆的任何一条切线所作垂线的垂足形成的[[垂足曲线]]是帕斯卡蜗线。

* [[圆锥曲线]]的[[反演]]变换结果是帕斯卡蜗线，三种不同的圆锥曲线正好对应帕斯卡蜗线的三种情况：
**抛物线反演后为具有绕扣的蜗线
**双曲线反演后为心脏线
**椭圆反演后为没有尖点和绕扣的蜗线。

*帕斯卡蜗线可以看作是[[笛卡尔卵形线]]的特例。<ref>{{MacTutor|class= Curves|id= Cartesian|title=Cartesian Oval}}</ref>
*一个内壁是球面的反射体的[[回光线]]（光线照在内壁上反射线的包络线）是帕斯卡蜗线<ref>{{cite mathworld|title=catacaustic|urlname=CircleCatacaustic|accessdate=2013-06-09|archive-date=2020-03-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20200319025110/https://mathworld.wolfram.com/CircleCatacaustic.html|dead-url=no}}</ref>。

==参考文献==
<references/>

==参考阅读==
* Jane Grossman and Michael Grossman. [http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:jKieaApvrVYJ:poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/js/cardioid/13.pdf+%22dimple+or+no+dimple%22&hl=en&gl=us&pid=bl&srcid=ADGEESiMUIZzRFDZ2Vg6JdJoNh7mABaPjNTwSeJlPV_XYaJeaIjiyFDxO8RWPjEG2j8slKKyRqWDXPWgRZ4RCY1aZfAY8qkkNr1Fxyzy1XsWVDuii1lbAPmQzpl0LHOddHy9ECg_GJ3y&sig=AHIEtbRaIkziXs2lmaxTw7r2zC6LDYiJLw "Dimple or no dimple"] {{Wayback|url=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache%3AjKieaApvrVYJ%3Aponcelet.math.nthu.edu.tw%2Fdisk5%2Fjs%2Fcardioid%2F13.pdf+%22dimple+or+no+dimple%22&hl=en&gl=us&pid=bl&srcid=ADGEESiMUIZzRFDZ2Vg6JdJoNh7mABaPjNTwSeJlPV_XYaJeaIjiyFDxO8RWPjEG2j8slKKyRqWDXPWgRZ4RCY1aZfAY8qkkNr1Fxyzy1XsWVDuii1lbAPmQzpl0LHOddHy9ECg_GJ3y&sig=AHIEtbRaIkziXs2lmaxTw7r2zC6LDYiJLw |date=20191202024138 }}, ''The Two-Year College Mathematics Journal'', January 1982, pages 52–55.
* Howard Anton. ''Calculus'', 2nd edition, page 708, John Wiley & Sons, 1984.
* Howard Anton.  [http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/anton/0471472441/add_material/analytic_geometry_in_calculus.pdf] {{Wayback|url=http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/anton/0471472441/add_material/analytic_geometry_in_calculus.pdf |date=20160303174657 }} pp.&nbsp;725 – 726.
* Howard Eves. ''A Survey of Geometry'', Volume 2 (pages 51,56,273), Allyn and Bacon, 1965.

==外在链接==
{{commonscat|Limacon}}
* {{mathworld|urlname=Limacon}} {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Limacon.html |date=20210225054729 }}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Limacon.html "Limacon of Pascal" at The MacTutor History of Mathematics archive] {{Wayback|url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Limacon.html |date=20191102072145 }}
* [http://www.2dcurves.com/roulette/roulettel.html "Limaçon" at www.2dcurves.com] {{Wayback|url=http://www.2dcurves.com/roulette/roulettel.html |date=20201130235335 }}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/limacon/limacon.shtml "Limaçons de Pascal" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] {{Wayback|url=http://www.mathcurve.com/courbes2d/limacon/limacon.shtml |date=20210121015240 }} (in French)
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/LimaconOfPascal_dir/limaconOfPascal.html "Limacon of Pascal" at Visual Dictionary of Special Plane Curves] {{Wayback|url=http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/LimaconOfPascal_dir/limaconOfPascal.html |date=20120402104803 }}
* [https://web.archive.org/web/20120604030052/http://communities.ptc.com/videos/2080 "Limacon of Pascal" on PlanetPTC (Mathcad)]

[[Category:代数曲线]]