查看“︁帕斯卡法則”︁的源代码

{{unreferenced|time=2010-12-29T15:26:46+00:00}}
{{distinguish|帕斯卡定律}}
'''帕斯卡法則'''是[[組合數學]]上的一個關於[[二項式係數]]的[[恆等式]]。它說明對於正[[整數]]<math>n</math>,<math>k</math>（<math>k \le n</math>），

: <math>{n-1\choose k} + {n-1\choose k-1} = {n\choose k} </math>。

==組合數學上的意義和證明==
<math>{n\choose k}</math>表示在有<math>n</math>個元素的集內，有<math>k</math>個元素的子集的數目。其實這些子集之中，可分為包含第一個元素的和不含第一個元素的。包含第一個元素的子集有<math>{n-1\choose k-1}</math>個，不含的有<math>{n-1\choose k}</math>個。

==代數證明==
:<math>{ n-1 \choose k } + { n-1 \choose k-1 } = { n \choose k }</math> 	 

重寫左邊為

: <math>
\begin{align}
& {} \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} + \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \\
& = \frac{(n-k)(n-1)!}{(n-k-1)!k!(n-k)}+\frac{k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!} \\
& = \frac{(n-k)(n-1)!+k(n-1)!}{k!(n-k)!} \\
& = \frac{(n-1)! \times [(n-k)+k]}{k!(n-k)!} \\
& = \frac{(n-1)! \times n}{k!(n-k)!} \\
& = \frac{n!}{k!(n-k)!} \\
& = { n \choose k }
\end{align}
</math>

==推广==
设<math>n, k_1, k_2, k_3,\dots ,k_p, p \in \mathbb{N}^* \,\!</math>及<math>n=k_1+k_2+k_3+ \cdots +k_p \,\!</math>。那么：

: <math>
\begin{align}
& {} \quad {n-1\choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1\choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p}+\cdots+{n-1\choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} \\
& = \frac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!\cdots k_p!} + \cdots + \frac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots (k_p-1)!} \\
& = \frac{k_1(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{k_2(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \cdots + \frac{k_p(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} \\
& = \frac{(k_1+k_2+\cdots+k_p) (n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\cdots k_p!} \\
& = \frac{n(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} \\
& = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} \\
& = {n\choose k_1, k_2, k_3, \dots , k_p}
\end{align}
</math>

==参见==
* [[杨辉三角形]]

[[Category:组合数学]]
[[Category:数学恒等式]]

[[ru:Закон Паскаля]]