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在[[泛函分析]]中，以[[馬克-安托萬·帕塞瓦爾]]命名的'''帕塞瓦尔恒等式'''是一个有关函数的傅里叶级数的可加性的基础结论。从几何观点来看，这就是[[内积空间]]上的[[毕达哥拉斯定理]]。 

通俗地说，此恒等式表明“函数的傅里叶系数的平方和”与“函数平方后的积分值”可以直接换算

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx,</math>

在这里''&fnof;''的傅里叶系数''c''<sub>''n''</sub>可通过下式计算得到

:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.</math>

正式一点地说，结论成立的前提是上面提到的''&fnof;''必须是[[平方可积函数]]，或者更一般地说，要是在[[Lp空间|''L''<sup>2</sup>[&minus;&pi;,&pi;]]]中。一个与之相似的结果就是[[普朗歇爾定理]],它指出函数的傅里叶转换的平方和的积分等于函数本身平方的积分。就一维情形而言，对于{{nowrap|''&fnof;'' &isin; ''L''<sup>2</sup>('''R''')}}，我们有

:<math>\int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\, dx.</math>

== 毕达哥拉斯定理的推广 ==

首先我们回顾一下毕达哥拉斯定理的内容。在一般的[[欧氏平面几何]]中，毕达哥拉斯定理说明直角三角形的两个直角边之长度的平方加起来等于斜边的平方。从另一种角度来看，若在平面上定义了一个[[直角坐标系]]xOy（单位向量分别是<math>(e_x, e_y)</math>），那么一个向量和它在这两个坐标轴方向上的[[投影]]构成一个直角三角形，因此，向量的长度的平方等于它在两个坐标轴方向上的投影的长度的平方之和。

对于一个有限维的[[欧几里得空间]]<math>\mathbb{R}^n</math> 以及其中的[[标准正交基|标准规范正交基]]<math>(e_1, e_2, \cdots , e_n)</math>，空间中的一个向量<math>v = (v_1, v_2, \cdots , v_n)</math> 的[[范数|长度]]的平方等于它在各个基向量上的投影的长度的平方之和：
:<math>\left\| v \right\|^2 = v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_n^2.</math>

在一般的希尔伯特空间之中，也有类似的等式。设<math>\mathcal{H}</math> 是一个具有[[内积]]：<math> \left \langle \cdot , \cdot \right \rangle</math> 的[[希尔伯特空间]]。考虑<math>\mathcal{H}</math> 中的一组[[正交|规范正交]][[基 (代数)|基]]：<math>(e_1, e_2, \cdots , e_n, \cdots)</math>，那么<math>\mathcal{H}</math> 中的每一个向量的[[范数]]的平方都等于它在各个基向量上的投影的平方之和:
<center><math>\sum_{k} \left| \left \langle x , e_k \right \rangle \right|^2 = \left \| x \right \|^2.</math></center>

更准确地说，帕塞瓦尔恒等式与毕达哥拉斯定理在如下更具一般性的情形下存在联系，下面说的是一种[[T2空间|拓扑可分离]]的希尔伯特空间。假设''H''是一个具有内积〈·,·〉的希尔伯特空间。令(''e''<sub>''n''</sub>)是''H''的一组[[正交基]]；也就是说，''e''<sub>''n''</sub>的[[线性张成]]是''H''中的稠密集，且''e''<sub>''n''</sub>彼此正交:

:<math>\langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}1&\mbox{if}\ m=n\\
0&\mbox{if}\ m \not= n.\end{cases}</math>

利用帕塞瓦尔恒等式随即可以断言对于任何 ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''H'',

:<math>\sum_n |\langle x, e_n\rangle|^2 = \|x\|^2.</math>

这个式子与毕达哥拉斯定理有着显而易见的相似性，后者指出“向量的正交分量的平方和”等于“向量长度（模）的平方”。由此也不难得到傅里叶级数版本的帕塞瓦尔恒等式，只需让''L''<sup>2</sup>[&minus;&pi;,&pi;]取代''H''，并对于所有{{nowrap|''n'' &isin; '''Z'''.}}令''e''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;e<sup>&minus;i''nx''</sup>。

更一般地说，帕塞瓦尔恒等式在任何内积空间中都成立，而不只局限于希尔伯特空间。因此假定''H''是一个内积空间。令''B''表示''H''的一组[[正交基]];换句话说，''B''是一个其线性张成在''H''中稠密的正交集合。然后可得

:<math>\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.</math>

“'''B'''是全体''v''的总和”这一假定对于恒等式的有效性是不可或缺的。如果''B''不是''v''的总和，那么帕塞瓦尔恒等式中的等号必须用“≥”符号替换，恒等式此时退化为[[贝塞尔不等式]]。帕塞瓦尔恒等式的这种推广形式可以用[[里斯-费歇尔定理]]加以证明。

== 参见 ==
*[[帕塞瓦尔定理]]

==参考文献==
* {{springer|title=Parseval equality|id=p/p071590}}
* {{citation|last1=Johnson|first1=Lee W.|first2=R. Dean|last2=Riess|title=Numerical Analysis|year=1982|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|location=Reading, Mass.|id=ISBN 0-201-10392-3}}.
* {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=The Theory of Functions|year=1939|edition=2nd|publisher=Oxford University Press}}.
* {{citation|title=Trigonometric series|first=Antoni|last=Zygmund|authorlink=Antoni Zygmund|publisher=Cambridge University Press|year=1968|publication-date=1988|isbn=978-0-521-35885-9|edition=2nd}}.
{{泛函分析}}
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