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[[数学]]中，'''希钦可积系统'''是[[奈杰尔·希钦]] (1987)提出的一类[[可积系统]]，取决于复[[约化群]]与[[紧空间|紧]][[黎曼曲面]]的选择。希钦系统是[[代数几何]]、[[李群]]理论和[[可积系统]]理论的交叉，通过[[二维共形场论|共形场论]]，还在[[复数 (数学)|复数]]域上的[[几何朗兰兹纲领|几何朗兰兹对应]]中发挥重要作用。

希钦系统的0[[亏格]]类似物是[[卡尼尔可积系统]]，是勒内·卡尼尔发现的Schlesinger方程的某个极限，通过定义谱曲线解决了他的系统（卡尼尔系统是[[高丹模型]]的经典极限。Schlesinger方程是[[克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程]]的经典极限）。

几乎所有[[经典力学]]的可积系统都可作为希钦系统或Bottacin & Markman (1994)的通用推广的特例。

==描述==
用代数几何的语言来说，系统的[[相空间]]是某紧[[代数曲线]]上，[[余切丛]]到某[[约化群]]''G''的[[稳定主丛|稳定''G''丛]]的[[模空间]]的部分[[紧化]]。这个空间被赋予了[[重言1形式|规范辛形式]]。简单起见，假设<math>G = \mathrm{GL}(n, \mathbb{C})</math>是[[一般线性群]]，则[[哈密顿力学|哈密顿量]]可以描述如下：''G''丛的模空间在丛''F''处的[[切空间]]是

:<math>H^1(\operatorname{End}(F)),</math>

根据[[塞雷对偶性]]，对偶于

:<math>\Phi \in H^0(\operatorname{End}(F)\otimes K),</math> 

其中''K''是[[规范丛]]，于是

:<math>(F,\Phi)</math> 

称作希钦对或[[希格斯丛]]，定义了余切丛中的点。取

:<math> \operatorname{Tr}(\Phi^k),\qquad k=1,\ldots,\operatorname{rank}(G)</math>

就可得

:<math>H^0( K^{\otimes k} )</math>

中的元素，这是个不依赖于<math>(F,\Phi)</math>的向量空间。因此，在这些向量空间中任取基，就能得到函数<math>H_i</math>，这就是希钦哈密顿量。一般约化群的构造与此类似，用的是''G''的[[李代数]]上的不变多项式。

由于平凡的原因，这些函数在代数上是独立的，一些计算表明它们的数量恰是相空间维数的一半。非平凡部分是证明函数的泊松交换性。因此，它们定义了辛或[[刘维尔–阿诺德定理]]意义上的可积系统。

== 希钦纤维化 ==
'''希钦纤维化'''是从希钦对的模空间到[[特征多项式]]的映射，是卡尼尔用于定义谱曲线的映射的高亏格类似物。{{harvs|txt|last=Ngô|year1=2006|year2=2010}}在证明[[朗兰兹纲领基本引理]]时使用了[[有限域]]上的希钦纤维化。

==另见==
*[[杨–米尔斯方程]]
*[[希格斯丛]]
*[[非阿贝尔霍奇对应]]
*[[示性簇]]
*[[希钦方程]]

==参考文献==
*{{Citation | last=Chudnovsky | first=D.V. | title=Simplified Schlesinger systems 
| journal=Lettere al Nuovo Cimento  |volume=26 | issue=14  | year=1979 | pages=423–427| doi=10.1007/BF02817023 | s2cid=122196561 }}
*{{Citation | last1=Garnier | first1=René | title=Sur une classe de systemes différentiels abéliens déduits de la théorie des équations linéaires | journal=[[Rend. Circ. Mat. Palermo]] | volume=43 | year=1919 | pages=155–191 | doi=10.1007/BF03014668 | s2cid=120557738 | url=https://scholar.google.fr/scholar?cites=688672853465059430&as_sdt=2005&sciodt=0,5&hl=en | accessdate=2024-06-15 | archive-date=2022-10-28 | archive-url=https://web.archive.org/web/20221028032144/https://scholar.google.fr/scholar?cites=688672853465059430&as_sdt=2005&sciodt=0,5&hl=en | dead-url=no }}
*{{citation|title=Stable bundles and integrable systems
|journal=[[Duke Mathematical Journal]]
|volume= 54| issue = 1  |year= 1987
|doi=10.1215/S0012-7094-87-05408-1
|pages=91&ndash;114
|authorlink=Nigel Hitchin
|first=Nigel |last=Hitchin}}
*{{Citation | last1=Ngô | first1=Bao Châu | authorlink=Ngô Bảo Châu | title=International Congress of Mathematicians. Vol. II | chapter-url=https://www.math.uchicago.edu/~ngo/ICM-Madrid.pdf | publisher=Eur. Math. Soc., Zürich |mr=2275642 | year=2006 | chapter=Fibration de Hitchin et structure endoscopique de la formule des traces | pages=1213–1225}}
*{{Citation | last1=Ngô | first1=Bao Châu | authorlink=Ngô Bảo Châu | title=Fibration de Hitchin et endoscopie | doi=10.1007/s00222-005-0483-7 |mr=2218781 | year=2010 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=164 | issue=2 | pages=399–453| arxiv=math/0406599 | bibcode=2006InMat.164..399N | s2cid=52064585 }}

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