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[[File:Lagrange points2.svg|thumb|300px|二體因重力互相繞行的[[等效位能]]的等位能圖，希爾球是分別環繞著這兩個大質量天體的圓型區域。]]
{{航天动力学}}

'''希爾球'''，又稱'''洛希球'''，粗略來說，是環繞在[[天體]]（像是[[行星]]）周圍的空间区域，那裡被它吸引的天體（像是[[衛星]]）受到它的控制，而不是被它繞行的較大天體（像是[[恆星]]）所控制。因此，行星若要留住衛星，衛星的軌道必須在行星的希爾球內。同樣地，[[月球]]也有它的希爾球，任何位於月球的希爾球內的天體將會成為月球的衛星，而不是地球的衛星。

更精確的說法，希爾球約為一個小天體在面對著一個大許多的天體的[[引力|重力]]影響下，只會受到[[攝動]]影響的[[引力]]球範圍。這是[[美國]][[天文學家]][[喬治·威廉·希爾]]以[[法國]]天文學家[[愛德華·洛希]]的工作為基礎所定義的，由於這個緣故，它有時也被稱為'''洛希球'''。

為了說明，以考慮[[木星]]環繞著[[太陽]]為例，對太空中任何的點，可以計算下面三種力的總和：
* 來自太陽的引力，
* 來自木星的引力，
* 在有著與木星相同[[角频率|頻率]]的點上，繞著太陽運轉的微粒所受到的[[離心力]]。

木星的希爾球是以木星為中心，這三種力量的總和永遠都指向木星的最大的球。一般來說，它是圍繞在繞著主要天體的次要天體週圍的球形，在這個球形內的淨力是一個指向次要天體的[[向心力]]。因此，希爾球在我們的例子中是描述一顆小的天體，像是衛星或人造衛星可以在木星附近穩定的繞著木星運轉，而不會單純的進入橢圓軌道繞著太陽運轉的最大極限範圍。

在兩個天體中心的連線方向上，希爾球的邊界在[[拉格朗日點]]L<sub>1</sub>上，這也是次要天體的影響力最短的方向，限制了希爾球的大小。若超越了這個距離，第三個天體環繞著次要天體（此處以木星為例）的軌道就至少會有一部分逸出了希爾球，並且將會受到主要天體（此例中為太陽）漸增的潮汐力攝動，最後終將繞著後者運轉。

雖然都是與洛希有關的術語，但'''洛希球'''絕不能和[[洛希極限]]或是[[洛希瓣]]混淆在一起。洛希極限是僅由重力維繫的物體受到潮汐力作用開始被破壞的距離；洛希瓣描述的是一個環繞在兩個天體周圍的軌道，會造成這兩個天體競逐捕獲這個天體的距離界限。

== 公式和例子 ==
如果較小的天體（例如地球）質量是''m''，被它環繞的較重的天體（例如太陽）質量是''M''，軌道[[半長軸]]是''a''，離心率是''e''，則較小天體（例如地球）的希爾球半徑''r''的近似值為<ref name="HamiltonBurns92">{{Cite journal|title=Orbital stability zones about asteroids|url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/001910359290005R|last=Hamilton|first=Douglas P.|last2=Burns|first2=Joseph A.|date=1992-03|journal=Icarus|issue=1|doi=10.1016/0019-1035(92)90005-R|volume=96|pages=43–64|language=en|bibcode=1992Icar...96...43H|access-date=2022-04-08|archive-date=2022-03-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20220308144152/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/001910359290005R}}</ref>：

:<math>r \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}</math>

當離心率可以忽略時（最有利於穩定軌道的論點），公式可以簡化為：

:<math>r \approx a \sqrt[3]{\frac{m}{3M}}</math>

在地球的例子中，地球質量為5.97×10<sup>24</sup>公斤，以1.496億公里的距離環繞著質量1.99×10<sup>30</sup>公斤的太陽，希爾球的半徑大約是150萬公里（0.01天文單位）。月球繞地球的軌道平均距離為38萬4,000公里，相當於¼希爾半徑，很安穩的在地球引力的勢力範圍內，沒有被扯入獨立繞行太陽軌道的危險或顧慮。根據軌道的周期：地球所有穩定的衛星，它的軌道週期必須短於7個月。地球和月球的質量比是81倍，由此可知月球的希爾半徑是地月距離的16%，即是61,535公里，相當於月球半徑的35倍。

早先（省略掉離心率）的公式可以再改以下面的形式呈現：

:<math>3\frac{r^3}{a^3} \approx \frac{m}{M} </math>

如此的表示法將希爾球的體積與次要天體環繞主要天體的軌道體積做了比較上的聯繫。具體的說法，質量的比率是這兩個球體積比值的三倍。

快速的估計希爾球半徑的方法是將上述等式中的質量用密度來取代：

:<math>\frac{r}{R_{secondary}} \approx \frac{a}{R_{primary}} \sqrt[3]{\frac{\rho_{secondary}}{3 \rho_{primary}}} \approx \frac{a}{R_{primary}} </math>

此處<math>\rho_{second}</math>和<math>\rho_{primary}</math>分別是主要天體和次要天體的密度，並且<math>\frac{r}{R_{secondary}}</math>和<math>\frac{a}{R_{primary}}</math>是它們的半徑。第二個公式在太陽系內大部分的事例中都與事實大略相符，<math>\sqrt[3]{\frac{\rho_{secondary}}{3 \rho_{primary}}}</math>的值都接近1（地-月系統是最大的例外，並且大多數的土星衛星都在20%之內。）這是很方便的型式，因此許多天文學家都記住行星的半徑，並以此為單位進行計算的工作。

=== 真實穩定的區域 ===
希爾球只是估計的大小，因為還有其它的力（像是[[輻射壓]]和[[亚尔科夫斯基效应|亞爾科夫斯基效應]]）也會造成攝動使它逸出到球外。第三個天體的質量也必須夠小，才不致於因為自身的引力影響而使情形變得複雜。詳細的數值計算顯示，軌道在或正好在希爾球內的天體，在長遠看來仍是不穩定的；看起來穩定的衛星軌道半徑只在希爾球半徑的½或⅓的範圍之內（[[順行和逆行|逆行軌道]]似乎比[[順行和逆行|順行軌道]]穩定）。

=== 更多的例子 ===
太空人不可能在地球上空300公里之處圍繞著[[航天飞机|太空梭]]（質量大約104公噸）運轉，因為希爾球的半徑只有120公分，遠比太空梭本身還要小。事實上，任何一顆[[低地球軌道衛星]]（高度1,400公里），密度必須是[[鉛]]的800倍以上（9102.6 g/cm<sup>3</sup>），才可能擁有自己的希爾球，否則它將不足以勝任支持任何的軌道。（鉛的密度是11.34 g/cm<sup>3</sup>，地球質量為5.9742×10<sup>24</sup>kg。一顆球形的[[同步卫星|同步衛星]]將需要鉛密度的5倍足以維繫自己的衛星，這樣的衛星密度是地球上自然產物中密度最高的元素[[銥]]的2.5倍（同步軌道的高度是35,786公里，銥的密度是22.65 g/cm<sup>3</sup>）。只有在兩倍於同步軌道的高度上，一顆鉛球可以維繫自身的衛星軌道；由於月球的軌道遠大於同步軌道距離的2倍以上，因此環繞月球的軌道是存在的。

在[[太陽系]]，[[海王星]]有著最大的希爾球，半徑是1億1,600萬公里，或是0.775天文單位；因為他與太陽距離的遙遠，充分的補償了它的質量低於木星的不足，木星的希爾球半徑只有5,300萬公里。[[小行星帶|主帶小行星]]中的[[穀神星]]，希爾球的半徑只有22萬公里。因為質量的迅速減少，有一顆衛星的[[小行星66391|1994 KW<sub>4</sub>]]，是[[水星軌道穿越小行星|接近水星的小行星]]，希爾球的半徑為22公里。

== 太阳系的例子 ==
下图列示太阳系各主要天体的希尔球半径（公里）:
[[File:Hill sphere of the planets.png|center|太阳系各主要天体的希尔球半径（公里）]]

== 相關條目 ==
* [[N体问题]]
* [[洛希極限]]
* [[洛希瓣]]

== 外部連結 ==
* [https://web.archive.org/web/20060621062915/http://www.asterism.org/tutorials/tut22-1.htm Can an Astronaut Orbit the Space Shuttle?]
* [http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2008/09/29/the-moon-that-went-up-a-hill-but-came-down-a-planet The moon that went up a hill, but came down a planet] {{Wayback|url=http://blogs.discovermagazine.com/badastronomy/2008/09/29/the-moon-that-went-up-a-hill-but-came-down-a-planet |date=20080930094142 }}

== 參考資料 ==
{{reflist}}

{{軌道}}

[[Category:天體力學]]