查看“︁希爾伯特轉換”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
|G2=Communication
|G3=Signals and Systems
|2=旋積=>zh-cn:卷积
}}
在[[数学]]和[[信号处理]]中，'''希尔伯特变换'''（{{lang-en|'''Hilbert  transform'''}}）是一个对函数 ''u''(''t'') 产生[[定义域]]相同的函数 ''H''(''u'')(''t'') 的[[线性映射|线性算子]]。

希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号 ''u''(''t'') 的[[解析信号|解析表示]]。这就意味着将实信号 ''u''(''t'') 拓展到[[复平面]]，使其满足[[柯西－黎曼方程]]。
例如，希尔伯特变换引出了[[傅里叶分析]]中给定函数的[[调和共轭]]，也就是[[调和分析]]。等价地说，它是[[奇異積分|奇异积分算子]]与{{le|乘子 (傅里叶分析)|Multiplier (Fourier analysis)|傅里叶乘子}}的一个例子。

希尔伯特变换最初只对[[周期函数]]（也就是[[圆]]上的函数）有定义，在这种情况下它就是与''希尔伯特核''的[[卷积]]。然而更常见的情况下，对于定义在[[实直线]] '''R'''（[[上半平面]]的[[边界 (拓扑学)|边界]]）上的函数，希尔伯特变换是指与''[[柯西積分公式|柯西核]]''卷积。希尔伯特变换与{{le|帕利-维纳定理|Paley–Wiener theorem}}有着密切的联系，帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的[[傅里叶变换]]相联系起来的另一种结果。

希爾伯特轉換是以[[大卫·希尔伯特]]來命名的，他首先引入了该算子来解决[[全纯函数]]的[[黎曼–希尔伯特问题]]的一个特殊情况。 
[[File:Hilbert transform.png|thumb|300px|希爾伯特轉換結果（紅色）與原來的訊號——[[方波]]（藍色）]]

== 定義 ==
<math>u</math> 的'''希尔伯特变换'''可以认为是 <math>u(t)</math> 与函数 <math>h(t) = \frac{1}{\pi t}:=\delta(jt) </math> 的[[卷积]]。由于 <math>h(t)</math> 是不[[可积系统|可积的]]，定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用[[柯西主值]]（这里记为<math>p.v.</math>）定义的。准确说来，函数（或信号） <math>u(t)</math> 的希尔伯特变换是：

:<math>H(u)(t) = \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty u(\tau) h(t-\tau)\, d\tau = \frac{1}{\pi} \ \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty \frac{u(\tau)}{t-\tau}\, d\tau</math>

假设此积分作为主值存在。这就是 ''u'' 与[[分布 (数学分析)|缓增分布]] p.v. 1/{{pi}}''t'' 的卷积（由于{{harvtxt|Schwartz|1950}}；参见{{harvtxt|Pandey|1996|loc=Chapter 3}}）。另外，通过改变变量，主值积分可以显式地{{harv|Zygmund|1968|loc=§XVI.1}}写为：

:<math>H(u)(t) = \frac{2}{\pi}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{\varepsilon}^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau}\,d\tau.</math>

若希尔伯特变换接连用在函数 ''u'' 上两次，结果就是负 ''u''：

:<math>H(H(u))(t) = u(-t)</math>

假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地，逆变换是 &minus;''H''。可以通过考虑 ''u''(''t'') 的[[傅里叶变换]]的希尔伯特变换效应看出这一事实（参见下面的'''[[希爾伯特轉換#与傅里叶变换的关系|与傅里叶变换的关系]]'''）。

对[[上半平面]]的[[解析函数]]，希尔伯特变换描述了边界值的实部与虚部之间的关系。也就是说，如果 ''f''(''z'') 是在 Im ''z''&nbsp;>&nbsp;0 平面内的解析函数，而 ''u''(''t'') = Re&nbsp;''f''(''t''&nbsp;+&nbsp;0·''i''&nbsp;)，假设希尔伯特变换存在，则  Im&nbsp;''f''(''t''&nbsp;+&nbsp;0·''i''&nbsp;) = ''H''(''u'')(''t'') 取决于一个相加性常数。

===頻率響應===
希爾伯特轉換之[[頻率響應]]由[[傅立葉變換]]給出：
:<math>H(\omega ) = (-i\cdot \sgn(\omega)) \cdot \mathcal{F}\{h\}(\omega)\,</math> &nbsp;

其中

* <math> \mathcal{F} </math>是傅立葉變換，
* ''i'' (有時寫作''j'' )是[[虛數單位]]，
* <math>\omega \, </math>是[[角頻率]]，以及
* <math> \sgn(\omega) =\begin{cases}
\ \ 1, & \mbox{for } \omega > 0,\\
\ \ 0, & \mbox{for } \omega = 0,\\
-1, & \mbox{for } \omega < 0,
\end{cases}</math>
即為[[符号函数]]。

既然：

:<math>\mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega) = H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{s\}(\omega)</math>,

希爾伯特轉換會將[[負頻率]]成分<math>s(t)\,</math>偏移+90°，而正頻率成分偏移−90°。

===反（逆）希爾伯特轉換===
我們也注意到：<math>H^2(\omega ) = 1^{-}\,</math>。因此將上面方程式乘上<math>-H(\omega )\,</math>，可得到：
:<math>\mathcal{F}\{s\}(\omega) = -H(\omega )\cdot \mathcal{F}\{\widehat s\}(\omega)</math>

從中，可以看出'''反（逆）希爾伯特轉換'''
:<math>s(t) = (h *h *h * \widehat s)(t) = \mathcal{H}^3\{\widehat s\}(t).\,</math>

== 希爾伯特轉換表格 ==
{| class="wikitable"
|-
! 訊號<br> <math>u(t)\,</math> !! 希爾伯特轉換<ref group="fn">Some authors (e.g., Bracewell) use our &minus;''H'' as their definition of the forward transform.  A consequence is that the right column of this table would be negated.
</ref><br> <math>H(u)(t)</math>
|-
| align="center"| <math>\sin(t)</math> <ref group="fn" name="ex02">The Hilbert transform of the sin and cos functions can be defined in a distributional sense, if there is a concern that the integral defining them is otherwise conditionally convergent.  In the periodic setting this result holds without any difficulty.
</ref>||  align="center"| <math>-\cos(t)</math>
|-
| align="center"| <math>\cos(t)</math> <ref group="fn" name="ex02"/> ||  align="center"| <math>\sin(t)\,</math>
|-
| align="center"| <math> \exp \left( i t \right) </math> ||  align="center"| <math> - i \exp \left( i t \right) </math>
|-
| align="center"| <math> \exp \left( -i t \right) </math> ||  align="center"| <math>  i \exp \left( -i t \right) </math>
|-
| align="center"| <math>1 \over t^2 + 1</math> ||  align="center"| <math>t \over t^2 + 1</math>
|-
| align="center"| <math>e^{-t^2}</math>||  align="center"| <math> 2\pi^{-1/2}F(t) </math> 参见[[道森积分]]
|-
| align="center"| '''[[Sinc函数]]''' <br /> <math>\sin(t) \over t</math>||  align="center"| <math> 1 - \cos(t)\over t</math>
|-
| align="center"| '''[[矩形函数]]''' <br /> <math>  \sqcap(t)</math>||  align="center"| <math>{1 \over \pi} \log \left | {t + {1 \over 2} \over t - {1 \over 2}} \right |</math>
|-
| align="center"| '''[[狄拉克δ函数]]''' <br /><math>\delta(t) \, </math> ||  align="center"| <math> {1 \over \pi t}:=\delta(jt)</math>
|-
| align="center"|'''[[指示函数]]''' <br /> <math>\chi_{[a,b]}(t) \,</math> ||  align="center"| <math>\frac{1}{\pi}\log \left \vert \frac{t - a}{t - b}\right \vert </math>
|}

;Notes
<references group="fn" />
常數之希爾伯特轉換為零

== 特性 ==
===邊界===
若 1<''p''<∞，則 ''L''<sup>''p''</sup>('''R''')之希爾伯特轉換為一[[有界算子]]，表示存在一常數''C<sub>p</sub>''使得

:<math>\|Hu\|_p \le C_p\| u\|_p</math>

對所有 ''u''∈''L''<sup>''p''</sup>('''R''')。這個定理由{{harvtxt|Riesz|1928|loc=VII}}所推得；請一併參見{{harvtxt|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 101}}。
最佳常數''C<sub>p</sub>''可由下列算式得到:

:<math>C_p = \begin{cases}
  \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for } 1 < p \leq 2\\ 
  \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for } 2 < p < \infty
\end{cases}</math>

這個結果由{{harv|Pichorides|1972}}所推得；請一併參見{{harvtxt|Grafakos|2004|loc=Remark 4.1.8}}。上述最佳常數計算方式應用在週期性希爾伯特轉換一樣成立。

希爾伯特轉換的邊界指的是 ''L''<sup>''p''</sup>('''R''') 對稱級數運算子對於在 ''L<sup>p</sup>''('''R''') 之中 ''f'' 的收斂 
:<math>S_R f = \int_{-R}^{R}\hat{f}({\xi})e^{2\pi i x\xi}\,d\xi</math>

請參見{{harv|Duoandikoetxea|2000|p=59}}。

===反自伴性===
希爾伯特轉換為一反自伴算子，連結 ''L''<sup>''p''</sup>('''R''') 與其對偶空間 ''L''<sup>''q''</sup>('''R''')，其中 ''p'' 和 ''q'' 為 [[赫尔德不等式|赫爾德共軛]]且 1&nbsp;<&nbsp;''p'',''q''&nbsp;<&nbsp;∞.  以符號表示

:<math>\langle Hu, v \rangle = \langle u, -Hv \rangle</math>

對 ''u''&nbsp;∈&nbsp;''L<sup>p</sup>''('''R''') 且 ''v''&nbsp;∈&nbsp;''L''<sup>''q''</sup>('''R''') {{harv|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 102}}.

===逆轉換===
希爾伯特轉換為一反-[[對合]] {{harv|Titchmarsh|1948|p=120}}，意即

:<math>H(H(u)) = -u</math>

假定每一轉換皆完整定義過。由於 ''H'' 保存了 ''L<sup>p</sup>''('''R''')空間，這特別代表希爾伯特轉換在 ''L<sup>p</sup>''('''R''') 上是可逆的，且

:<math>H^{-1} = -H</math>

===微分===
正式上，一個式子其希爾伯特轉換的微分即為其微分的希爾伯特轉換，意即這兩者是可以交換的線性算子

:<math>H\left(\frac{du}{dt}\right) = \frac{d}{dt}H(u)</math>

此一特性亦可迭代

:<math>H\left(\frac{d^ku}{dt^k}\right) = \frac{d^k}{dt^k}H(u)</math>

給定 ''u'' 以及其前k次微分皆屬於''L<sup>p</sup>''('''R''') {{harv|Pandey|1996|loc=§3.3}}空間，此項論述為嚴格成立。在頻域上可以輕易驗證這件事情，由於微分在頻域上即為與 ω 之乘積。

===旋積===
希爾伯特轉換可表示為與一[[分布 (数学分析)|缓增分布]]之[[卷積|旋積]] {{harv|Duistermaat|Kolk|2010|p=211}}

:<math>h(t) = \text{p.v. }\frac{1}{\pi t}</math>

因此可如此表示

:<math>H(u) = h*u</math>

然而，事前此特性可能只有對[[支撑集|緊支撐]]之分布 ''u''定義。由於緊支撐函數在 ''L<sup>p</sup>'' 上是稠密的，因此此項特性可能嚴格成立。另一角度來看，也可使用 ''h''(''t'') 其微分之特性來證明

:<math>H(u)(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{\pi} (u*\log|\cdot|)(t)\right)</math>

在大部分的用途，希爾伯特轉換可被視為是一旋積。舉例而言，旋積與希爾伯特轉換具備下列可交換的特性

:<math>H(u*v) = H(u)*v = u*H(v)</math>

若 ''u'' 和 ''v'' 為緊支撐分布，則此項論述嚴格成立，在這個狀況下

:<math> h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)</math>

===不變性===
希爾伯特轉換在空間 ''L''<sup>2</sup>('''R''') 上有下列特性
* 可與算子 ''T''<sub>''a''</sub>ƒ(''x'') = ƒ(''x''&nbsp;+&nbsp;''a'') 交換，對所有實數 ''a''
* 可與算子 ''M''<sub>λ</sub>ƒ(''x'')&nbsp;=&nbsp;ƒ(λ''x'') 交換，對所有 λ&nbsp;>&nbsp;0
* 可與鏡射 ''R''ƒ(''x'') = ƒ(&minus;x) [[反交換律|反交換]]

實際上，有更大一部分的算子可與希爾伯特轉換交換。群組 SL(2,'''R''') 由[[幺正算符]] ''U''<sub>''g''</sub> 可在空間 ''L''<sup>2</sup>('''R''') 上由以下式子表示

:<math>\displaystyle{U_{g}^{-1}f(x) = (cx + d)^{-1} f\left({ax + b \over cx + d}\right),\,\,\,g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}</math>

== 希爾伯特轉換例子 ==

'''注意：'''有些作者，例如Bracewell，將我們的<math>-\mathcal{H}</math>當作其正轉換的定義。這樣的結果就是下表右行要乘上一個負號。

== 離散希爾伯特轉換 ==
[[Image:Bandpass discrete Hilbert transform filter.tif|thumb|400px|right|圖 1: 頻寬被限制在95%奈奎斯特頻率之濾波器頻率響應]]
[[Image:Highpass discrete Hilbert transform filter.tif|thumb|400px|right|圖 2: 高通頻率響應之希爾伯特轉換濾波器]]
[[Image:DFT approximation to Hilbert filter.png|thumb|400px|right|圖 3.]]
[[Image:Effect of circular convolution on discrete Hilbert transform.png|thumb|400px|right|圖 4. cos(wt)函數之希爾伯特轉換為 sin(wt)。此圖顯示了sin(wt)函數與一個利用MATLAB函式庫 hilbert(·)計算之近似希爾伯特轉換的差異]]
對於一離散函數 u[n]，以及其 [[離散傅利葉轉換]] 函數 U(ω)，可推得其希爾伯特轉換為:

:<math>H(u)[n] = \scriptstyle{DTFT}^{-1} \displaystyle \{U(\omega)\cdot \sigma_H(\omega)\}</math>

其中

:<math>\sigma_H(\omega)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ 
\begin{cases}
  e^{+i\pi/2}, & -\pi < \omega < 0 \\
  e^{-i\pi/2}, & 0 < \omega < \pi\\
            0, & \omega = -\pi, 0, \pi
\end{cases}</math>

此外，根據摺積定律，另一個相等的方程式為:

:<math>H(u)[n] = u[n] * h[n]</math>

其中

:<math>h[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \scriptstyle{DTFT}^{-1} \big \{\displaystyle \sigma_H(\omega)\big \} =
\begin{cases}
             0, & \mbox{for }n\mbox{ even}\\
  \frac2{\pi n} & \mbox{for }n\mbox{ odd}
\end{cases}</math>

當摺積經由數值運算後，一[[有限脉冲响应|FIR]] 近似將取代''h''[''n'']，如
'''圖 1'''所示，可以見到頻率響應在通帶之兩端(0與奈奎斯特頻率)的陡降，形成一帶通濾波器。其中高頻部分可藉由一FIR濾波器回復，如 '''圖 2'''所示。然而實際上，一個經過適當取樣的 ''u''[''n''] 序列在高頻部分已經不具有可用的分量。當脈衝響應持續越久，低頻部分也可以被回復。

用FIR近似''h''[''n'']的時候，[[交疊儲存法]]是一個對於很長的''u''[''n''] 序列做摺積運算的有效方法。有時候陣列FFT{''h''[''n'']}會被σ<sub>''H''</sub>(ω)相對應之取樣序列所取代。如此將會有與[[週期疊加]]函數做摺積之效果:

:<math>h_N[n]\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} h[n - mN]</math>

圖 3比較了''h<sub>N</sub>''[''n'']之半周期與一相同長度分量之''h''[''n'']。兩者之間之差異與兩者之長度皆不短於區段長度(''N'')之現象為失真的來源，且失真可經由增加區段長度與交疊參數來有效減少。

[[MATLAB]]中有一函數 '''[http://www.mathworks.com/help/toolbox/signal/ref/hilbert.html;jsessionid=67ed4e69e9729363548abed31054 hilbert(u,N)]'''，此函數會回傳一複數序列，其中虛部序列為 ''u''[''n'']之離散希爾伯特轉換近似，實部序列為原本輸入之序列，所以這樣的複數輸出等於是 ''u''[''n'']的分析訊號。與前述類似， hilbert(u, N) 只使用來自 sgn(ω)分佈的取樣，因此是與 ''h<sub>N</sub>''[''n''] 的摺積。如前段所述，失真可藉由選擇比實際之''u''[''n'']序列更大的''N''與捨棄適當數量的輸出取樣來有效減少。圖 4為這種失真的一個例子。

== 相關條目 ==
* [[卷積]]
* [[希爾伯特-黃轉換]]

== 參考文獻 ==
*{{citation|last=Bargmann|first= V.|title= Irreducible unitary representations of the Lorentz group|journal= Ann. of Math.|volume= 48|issue= 3|year=1947|pages=568–640|doi=10.2307/1969129|jstor= 1969129}}
* {{citation|title=A Product Theorem for Hilbert Transforms|last1=Bedrosian|first1=E.|journal=Rand Corporation Memorandum|number=RM-3439-PR|date=December 1962|url=http://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/research_memoranda/2008/RM3439.pdf|accessdate=2016-08-05|archive-date=2021-02-25|archive-url=https://web.archive.org/web/20210225082116/https://www.rand.org/content/dam/rand/pubs/research_memoranda/2008/RM3439.pdf|dead-url=no}}
* {{cite book|last=Benedetto|first=John J.|title=Harmonic analysis and applications|year=1996|publisher=CRC Press|location=Boca Raton, FL|isbn=0849378796}}
* {{springer|id=b/b017400|first=A.V.|last=Bitsadze|title=Boundary value problems of analytic function theory|year=2001}}.
* {{citation | author=Bracewell, R.| title=The Fourier Transform and Its Applications| edition=3rd |
publisher=McGraw–Hill | year=2000 | isbn=0-07-116043-4|ref=harv}}.
* {{citation | first1=A.P.|last1=Calderón|authorlink1= Alberto Calderón|first2=A.|last2=Zygmund|authorlink2=Antoni Zygmund|title=On the existence of certain singular integrals|journal=Acta Mathematica|volume=88|issue=1|year=1952|pages=85–139 | doi=10.1007/BF02392130}}.
* {{citation | author=Carlson, Crilly, and Rutledge | title=Communication Systems | edition=4th |publisher= | year=2002 | isbn=0-07-011127-8 }}.
* {{citation | first=J.|last=Duoandikoetxea|publisher=American Mathematical Society|title=Fourier Analysis|year=2000 | isbn=0-8218-2172-5}}.
* {{citation | first1=J.J.|last2=Kolk|last1=Duistermaat|first2=J.A.C. Kolk|title=Distributions|isbn=978-0-8176-4672-1|doi=10.1007/978-0-8176-4675-2|year=2010|publisher=Birkhäuser}}.
* {{citation|first=P.|last= Duren|title=Theory of <math>H^p</math>-Spaces|year=1970|publisher= Academic Press|publication-place= New York}}.
* {{citation | first=C. |last=Fefferman|author-link=Charles Fefferman|title=Characterizations of bounded mean oscillation|journal=  Bull. Amer. Math. Soc. |volume= 77  |year=1971|pages= 587–588|
url=http://www.ams.org/bull/1971-77-04/S0002-9904-1971-12763-5/home.html|doi=  10.1090/S0002-9904-1971-12763-5 | mr=0280994 | issue=4 }}.
* {{citation|first=C.|last= Fefferman|first2=   E.M. |last2=Stein|title=H<sup>p</sup> spaces of several variables  |journal=Acta Math. |volume= 129  |year=1972|pages= 137–193	|doi=10.1007/BF02392215|mr=0447953}}.
* {{citation|first1=I.M.|last1=Gel'fand|authorlink1=Israel Gelfand|first2=G.E.|last2=Shilov|title=Generalized Functions, Vol. 2|publisher=Academic Press|year=1967}}.
* {{citation|title=An Elementary Proof of the Square Summability of the  Discrete Hilbert Transform| last=Grafakos | first=Loukas  | journal=American Mathematical Monthly | volume=101 | issue= 5 | pages=456–458 | year=1994|doi=10.2307/2974910|publisher=Mathematical Association of America|jstor=2974910}}.
* {{citation|title=Classical and Modern Fourier Analysis | last=Grafakos | first=Loukas  | publisher=Pearson Education, Inc. | pages=253–257 | year=2004 | isbn=0-13-035399-X}}.
* {{citation |first1=G. H. |last1=Hardy|authorlink1=G. H. Hardy |last2=Littlewood|first2=J. E.|authorlink2=J. E. Littlewood|last3=Polya|first3=G.|authorlink3=G. Polya|title=Inequalities|year=1952 |publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge |isbn=0-521-35880-9}}.
* {{citation|last=Hilbert |first=David |authorlink=David Hilbert|title=Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen|year=1953 |publisher=Chelsea Pub. Co.}}
* {{citation|last=Kak |first=Subhash |authorlink=Subhash Kak|title=The discrete Hilbert transform|journal=Proc. IEEE |volume= 58  |year=1970|pages= 585–586 .}}
* {{citation|last=Kak |first=Subhash |authorlink=Subhash Kak|title=Number theoretic Hilbert transform|journal=Circuits Systems Signal Processing |volume= 33  |year=2014|pages= 2539–2548 .}}
* {{springer|id=H/h047430|title=Hilbert transform|first=B.V.|last=Khvedelidze|year=2001}}.
* {{citation |last=King |first=Frederick W.|authorlink= |author2= |title=Hilbert Transforms|year=2009 |publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|volume=2|pages=453|isbn=978-0-521-51720-1}}.
* {{citation |last=Kress |first=Rainer|authorlink= |author2= |title=Linear Integral Equations|year=1989 |publisher=Springer-Verlag|location=New York |pages=91 |isbn=3-540-50616-0}}.
*{{citation|first=Serge|last=Lang|authorlink=Serge Lang|title=SL(2,'''R''')|publisher=Springer-Verlag|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=105|
year=1985|isbn= 0-387-96198-4}}
* {{citation|first=J.N.|last=Pandey|title=The Hilbert transform of Schwartz distributions and applications|publisher=Wiley-Interscience|year=1996|isbn=0-471-03373-1}}
* {{citation|first=S.|last=Pichorides|title=On the best value of the constants in the theorems of Riesz, Zygmund, and Kolmogorov|journal=Studia Mathematica| volume=44| year=1972| pages=165–179}}
* {{citation |last=Riesz |first=Marcel|authorlink= Marcel Riesz|author2= |title=Sur les fonctions conjuguées|year=1928 |journal=Mathematische Zeitschrift|pages= 218–244|volume=27|issue=1 |doi=10.1007/BF01171098}}
*{{citation|last=Rosenblum|first= Marvin|last2= Rovnyak|first2= James|title= Hardy classes and operator theory|publisher= Dover|year= 1997|isbn= 0-486-69536-0}}
* {{citation|last=Schwartz|first=Laurent|authorlink=Laurent Schwartz|title=Théorie des distributions|publisher=Hermann|year=1950|publication-place=Paris}}.
*{{citation|title=Statistical signal processing of complex-valued data: the theory of improper and noncircular signals|last1=Schreier|first1=P.|first2=L.|last2=Scharf|publisher=Cambridge University Press|year=2010}}
* {{citation|first=Elias|last=Stein|authorlink=Elias Stein|title=Singular integrals and differentiability properties of functions|publisher=Princeton University Press|year=1970|isbn=0-691-08079-8}}.
* {{citation|first1=Elias|last1=Stein|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=0-691-08078-X}}.
*{{citation|title=Unitary Representations and Harmonic Analysis: An Introduction|volume=44|series=North-Holland Mathematical Library|first=Mitsuo |last=Sugiura|edition=2nd|publisher=Elsevier|year= 1990|isbn=0444885935}}
* {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title= Reciprocal formulae involving series and integrals|journal=Mathematische Zeitschrift|pages= 321–347|volume=25|issue=1|year=1926|doi=10.1007/BF01283842}}.
* {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=Introduction to the theory of Fourier integrals|isbn=978-0-8284-0324-5|year=1948|edition=2nd|publication-date=1986|publisher=Clarendon Press|publication-place=Oxford University}}.
* {{citation|title=Trigonometric series|first=Antoni|last=Zygmund|authorlink=Antoni Zygmund|publisher=Cambridge University Press|year=1968|publication-date=1988|isbn=978-0-521-35885-9|edition=2nd}}.

== 外部連結 ==
* [http://www.docin.com/p-646440889.html The Discrete Hilbert Transform; A Brief Tutorial_w236] {{Wayback|url=http://www.docin.com/p-646440889.html |date=20160107024856 }}
* [http://arxiv.org/abs/0909.1426 Derivation of the boundedness of the Hilbert transform] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/0909.1426 |date=20151103111305 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertTransform.html Mathworld Hilbert transform] {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/HilbertTransform.html |date=20160101173644 }} — Contains a table of transforms
* [https://web.archive.org/web/20090226231356/http://ccrma-www.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html Analytic Signals and Hilbert Transform Filters]
* {{mathworld|title=Titchmarsh theorem|urlname=TitchmarshTheorem}}
* [https://web.archive.org/web/20120205214945/http://w3.msi.vxu.se/exarb/mj_ex.pdf  Mathias Johansson, "The Hilbert transform"] a student level summary to Hilbert transformation. {{Dead link|date=July 2013}} [https://web.archive.org/web/20120205214945/http://w3.msi.vxu.se/exarb/mj_ex.pdf (via www.archive.org)] 
* [https://web.archive.org/web/20120227061333/http://www.geol.ucsb.edu/faculty/toshiro/GS256_Lecture3.pdf    GS256 Lecture 3: Hilbert  Transformation], an entry level introduction to Hilbert transformation. {{Dead link|date=July 2013}} [https://web.archive.org/web/20120227061333/http://www.geol.ucsb.edu/faculty/toshiro/GS256_Lecture3.pdf (via www.archive.org)]

[[Category:信号处理]]
[[Category:积分变换]]
[[Category:调和函数]]