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'''希爾伯特第十四問題'''是[[希爾伯特的23個問題]]之一。它探討某些[[有理函數]]域中的子環的有限性問題。令<math>k</math>為一個[[体 (数学)|域]]，<math>k \subset K \subset k(X_1,\ldots,X_n)</math>。令<math> R := k[X_1,\ldots,X_n] \cap K</math>，希爾伯特猜想<math>R</math>是[[有限生成]]的<math>k</math>-代數。

==歷史==
此問題源自[[不變量理論]]。具體而言，假設群<math>G</math>作用於n維[[仿射空間]]<math>\mathbb{A}^n_k</math>，或者等價地說，作用於多項式環<math>k[X_1, \ldots, X_n]</math>。為了研究商空間<math>\mathbb{A}^n_k/G</math>，必須考慮：

<math>R := k[X_1, \ldots X_n]^G = \{f \in k[X_1, \ldots X_n] : \forall g \in G, g \cdot f = f \}</math>

希爾伯特本人證明了<math>G</math>是某些[[半單李群]]的情形，包括<math>GL_n</math>。美國猶太人數學家[[扎里斯基|奧斯卡·扎-{里}-斯基]]（Oscar Zariski）在1954年證明了<math>n=1,2</math>的情形。對於一般的狀況，日本數學家[[永田雅宜]]（{{lang|ja|永田 雅宜}}）藉著考慮某些[[線性代數群]]的作用而在1959年造出反例。

基於美國數學家[[大衛·蒙福德|蒙福德]]（David Bryant Mumford）提出的假設，可以推出：若<math>k</math>是[[代數封閉域]]，且<math>G</math>是定義在<math>k</math>上的[[可約群]]，則<math>R</math>是有限生成的。此假設已在1975年由美國數學家[[威廉·哈伯什]]（William J. Haboush）證明，並由印度數學家[[康吉瓦拉姆·斯里蘭加查里·塞沙德里|C. S. 瑟哈里]]（C. S. Seshadri）推廣。

==參考文獻==
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*  W.J. Haboush,   ''Reductive groups are geometrically reductive''  Ann. of Math. , 102 (1975)  pp. 67–83
*  D. Mumford,   ''Geometric invariant theory''（1965）, Springer ISBN 3-54-056963-4
*  D. Mumford,   ''Hilbert's fourteenth problem - the finite generation of subrings such as rings of invariants''  F.E. Browder（ed.）, Mathematical developments arising from Hilbert problems , Proc. Symp. Pure Math. , 28 , Amer. Math. Soc.（1976）  pp. 431–444
*  C.S. Seshadri,   ''Geometric reductivity over arbitrary base''  Adv. Math. , 26 (1977)  pp. 225–274
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{{Hilbert's problems}}

[[Category:交換代數|X]]
[[Category:代數幾何|X]]
[[Category:希尔伯特问题]]