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'''希爾伯特第十六問題'''，是[[希爾伯特的23個問題]]之一。它分成兩個部份：

* '''實代數曲線與曲面的拓撲結構'''
哈纳克在1876年證明了一個平面上<math>n</math>次實代數曲線最多有<math>\frac{n^2-3n+4}{2}</math>個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈纳克的估計推廣到空間裡的實代數曲面。

* '''極限環的拓撲結構'''
給定二元<math>n</math>次實多項式<math>P(x,y), Q(x,y)</math>，考慮下述平面上的[[動力系統]]

<math>
  \left\{ \begin{array}{ll}
                   \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} & = P(x,y)\\
                   \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} & = Q(x,y) 
                 \end{array}
  \right.
</math>

希爾伯特提議研究其[[極限環]]的最大數目及其拓撲。

总而言之，此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份，我們考慮實多項式的零點；在第二部份，我們考慮實多項式定義的[[向量場]]及其[[積分曲線]]。

==進展==
希尔伯特第十六问题在1950年代末由[[苏联]]科学院院士[[伊万·彼得罗夫斯基]]与[[葉夫根尼·蘭迪斯]]解决。但随后他们的证明被证明存在漏洞。1980年，[[中国科学技术大学]]研究生史松龄，南京大学陈兰荪、王明淑分别独立举出反例，彻底推翻了二人的证明<ref name="ilyashenko">{{Cite web |url=http://www.ams.org/journals/bull/2002-39-03/S0273-0979-02-00946-1/S0273-0979-02-00946-1.pdf |title=希尔伯特第十六问题的百年历史 by Yulii Ilyashenko |access-date=2016-01-03 |archive-date=2021-01-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210119090424/https://www.ams.org/journals/bull/2002-39-03/S0273-0979-02-00946-1/S0273-0979-02-00946-1.pdf |dead-url=no }}</ref><ref name="sinica">{{Cite web |url=http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d283/28309.pdf |title=数学大师们的偶然失误 by 中研院数学研究所 |access-date=2016-01-03 |archive-date=2019-11-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20191106000304/https://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d283/28309.pdf |dead-url=no }}</ref>。因此第十六问题至今仍未解决。

==文獻==
*  Yu. Il'yashenko, ''Finiteness theorems for limit cycles'' , Amer. Math. Soc.（1991）
*  Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko（ed.）, ''Concerning the Hilbert 16th problem''（1995）, Amer. Math. Soc.
*  Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23 (1980), 153-158.
*  Lan Sun Chen, Ming Shu Wang, The relative position, and the number, of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math. Sinica, 22 (1979), 751–758.

== 参考文献 ==
{{reflist}}

==外部連結==
* {{springer|author=M. Hazewinkel|id=H/h120080|title=Hilbert problems}}
{{Hilbert's problems}}

[[Category:代數幾何|X]]
[[Category:幾何學]]
[[Category:动力系统]]
[[Category:希尔伯特问题]]
[[Category:数学中未解决的问题]]