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[[数学]]中，'''希格斯丛'''是由[[全纯向量丛]]''E''和[[希格斯场]]<math>\varphi</math>（在''E''的自同态丛中取值的全纯1-形式，满足<math>\varphi \wedge \varphi=0</math>）组成的二元组<math>(E,\varphi)</math>。{{harvs|txt|last=Hitchin|first=Nigel|author-link=Nigel Hitchin|year=1987}}<ref name="hitchin1">{{cite journal |last1=Hitchin |first1=Nigel |title=The self-duality equations on a Riemann surface |journal=London Mathematical Society |date=1987 |volume=55 |issue=1 |pages=59–126 |doi=10.1112/plms/s3-55.1.59 |url=https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-55.1.59 |access-date=2022-11-10 |archive-date=2022-11-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221112040812/https://londmathsoc.onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s3-55.1.59 |dead-url=no }}</ref>以[[彼得·希格斯]]命名了场<math>\varphi</math>，因为它与希格斯玻色子相似。卡洛斯·辛普森后来引入了“希格斯丛”这一术语，以及条件<math>\varphi \wedge \varphi=0</math>（在希钦最初在[[黎曼曲面]]上的设置中此条件是空的）。<ref name="simpson">{{cite journal |last1=Simpson |first1=Carlos |title=Higgs bundles and local systems |journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS |date=1992 |volume=75 |issue=1 |pages=5–95 |doi=10.1007/BF02699491 |s2cid=56417181 |url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__75__5_0.pdf |access-date=10 November 2022 |ref=simpson |archive-date=2022-11-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221124084035/http://www.numdam.org/item/PMIHES_1992__75__5_0.pdf |dead-url=no }}</ref>

希格斯丛可视作全纯向量丛上平坦全纯[[仿射联络]]的“简化”，其中导数缩放至0。[[非阿贝尔霍奇对应]]指出，在合适的稳定性条件下，光滑[[射影簇|射影复代数簇]]上的平坦全纯联络[[范畴 (数学)|范畴]]、此簇的[[基本群]]表示范畴、此簇上的希格斯丛范畴实际上等价。于是，可由较简单的希格斯丛推导出关于平坦联络的[[规范理论 (数学)|规范理论]]结果。

== 历史 ==
希格斯丛由希钦 (1987)首次引入，{{ref|hitchin1}}针对的是全纯向量丛''E''在紧[[黎曼曲面]]上的情形。希钦的论文主要讨论秩为2的向量丛（即纤维是2维向量空间）。秩2向量丛是[[希钦方程]]中[[主丛|主]][[SU(2)]]丛的解空间。

黎曼曲面上的理论后由卡洛斯·辛普森推广到底流形为紧[[凯勒流形]]的情形。维度设为1时，会退化成希钦的理论。

== 稳定性 ==
希格斯丛理论中，稳定希格斯丛的概念尤为重要。为此要先定义<math>\varphi</math>-不变子丛。

在希钦最初的讨论中，若<math>\varphi(L) \subset L \otimes K</math>（''K''是黎曼曲面''M''上的规范丛），则标记为''L''的秩1子丛是<math>\varphi</math>-不变的。则，当对''E''的每个<math>\varphi</math>-不变子丛''L''，都有
<math display = block>\text{deg} L < \frac{1}{2}\text{deg}(\wedge^2 E),</math>
其中<math>\text{deg}</math>是黎曼曲面上复向量丛度数的通常表示，希格斯丛<math>(E, \varphi)</math>就是稳定的。

==另见==
*[[希钦系统]]

==参考文献==
{{reflist}}
*{{cite journal|first=Kevin|last= Corlette|authorlink=Kevin Corlette|title=Flat ''G''-bundles with canonical metrics|journal= [[Journal of Differential Geometry]] |volume=28 |issue= 3|year= 1988|pages= 361–382| doi=10.4310/jdg/1214442469| mr=0965220|doi-access=free}}
*{{Citation | last1=Gothen | first1=Peter B. | last2=García-Prada | first2=Oscar | last3=Bradlow | first3=Steven B. | title=What is... a Higgs bundle? | url=https://www.ams.org/notices/200708/tx070800980p.pdf | mr=2343296 | year=2007 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | volume=54 | issue=8 | pages=980–981 | accessdate=2024-05-23 | archive-date=2024-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20240304015217/http://www.ams.org/notices/200708/tx070800980p.pdf | dead-url=no }}

[[Category:向量丛]]
[[Category:复流形]]


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