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'''希尔伯特－波利亚猜想'''（{{lang-en|Hilbert–Pólya conjecture}}）是一个将[[谱论]]与[[黎曼猜想]]相联系的数学猜想。

== 历史 ==
在一封由[[乔治·波利亚]]于1982年1月3日写给[[安德鲁·奥德里兹科]]（Andrew Odlyzko）的信中，波利亚提到他于1912年至1914年间在[[哥廷根]]时，[[爱德蒙·兰道]]曾询问过他是否有使得黎曼猜想成立的物理原因。当时波利亚提出，[[黎曼ζ函数]]的所有非平凡零点

:<math> \tfrac12 + it </math>

的虚部''t''可能对应某一无界[[自伴算符]]的[[特征值]]。而这一猜想最早的文字记录则由[[休·蒙哥马利]]（Hugh Montgomery）于1973年作出。

=== 1950年代与塞尔伯格迹公式 ===
当波利亚与兰道讨论这一问题时，还没有什么证据能够支持这一猜想。而到1950年代初，[[阿特勒·塞尔伯格]]证明了[[黎曼曲面]]长度谱与其[[拉普拉斯算符]]特征值的对偶，被称为[[塞尔伯格迹公式]]。这一公式与[[明确公式]]（explicit formula）之间明显的相似性增加了希尔伯特和波利亚猜想的可信度。

=== 1970年代与随机矩阵 ===
1970年代初，蒙哥马利发现了临界线上非平凡零点统计分布的规律，被称为[[蒙哥马利对关联假设]]（Montgomery's pair correlation conjecture）。他发现非平凡零点之间并不靠近，而是有互相排斥的趋势。1972年，在他访问[[普林斯顿高等研究院]]时，他将其成果告诉了[[随机矩阵]]专家[[弗里曼·戴森]]。

戴森发现蒙哥马利得到的统计分布规律与随机[[厄米矩阵]]的对关联分布一致。这种分布在物理中很重要，[[哈密顿算符]]特征态（如[[原子核]]的[[能级]]）满足此统计规律。之后的工作证实了黎曼ζ函数非平凡零点分布与高斯幺正系综（Gaussian unitary ensemble）的随机厄米矩阵特征值之间的关联性，它们都服从同样的统计规律。自此，希尔伯特与波利亚的猜想就有了更为坚实的基础，尽管尚未由此证明黎曼猜想。

=== 现今 ===
作为此方法的发展，[[阿兰·科纳]]提出了一个与[[广义黎曼猜想]]等价的迹公式。该公式与塞尔伯格迹公式之间有着相似性。

== 与量子力学的可能联系 ==
波利亚最早提出了可能与[[量子力学]]有关的希尔伯特－波利亚算符。该算符可表示为<math>1/2+iH</math>，其中<math>H</math>是质量为<math>m</math>、势能为<math>V(x)</math>的粒子的哈密顿算符。黎曼的猜想等价于哈密顿算符为[[厄米算符]]，或者说<math>V</math>是实的。

根据一阶修正的[[微扰理论 (量子力学)|微扰理论]]，第n特征态的能量与势能[[期望值]]有关：

:<math> E_{n}=E_{n}^{0}+ \langle \phi^{0}_n \vert V \vert \varphi^{0}_n \rangle </math>

其中，<math>E^{0}_n</math>与<math>\varphi^{0}_n</math>分别为自由粒子哈密顿算符的特征值与特征态。此方程可以看作[[第一类弗雷德霍姆积分方程]]。这样的积分方程可使用[[预解核]]的方法求解，因而能够得到势能的表达式

:<math> V(x)=A\int_{-\infty}^{\infty} (g(k)+\overline{g(k)}-E_{k}^{0})\,R(x,k)\,dk </math>

其中，<math>R(x,k)</math>为预解核，<math>A</math>为一实常数，而

:<math> g(k)=i \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}-\rho_n \right)\delta(k-n) </math>

其中，<math>\delta(k-n)</math>为[[狄拉克δ函数]]，<math>\rho_n</math>则为黎曼猜想的非平凡零点。

[[迈克尔·贝里]]与[[乔·基廷]]（Jon Keating）推测<math>H</math>实际是经典哈密顿量<math>xp</math>的某种[[量子化]]，与<math>xp</math>相应的最简单的厄米算符为

:<math>H = \tfrac1{2} (xp+px) = - i \left( x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} + \frac1{2} \right).</math>

这一对希尔伯特－波利亚猜想的改进被称为贝里猜想（Berry conjecture）或贝里－基廷猜想（Berry-Keating conjecture）。然而如今对这一猜想的了解仍不多。贝里与谢拉（Germán Sierra）猜测，既然此算符在膨胀（dilation）下不变，那么对整数<math>n</math>成立的边界条件<math>f(nx) = f(x)</math>或许可以有助于得到对大数<math>n</math>下<math> \frac{1}{2} + i \frac{ 2\pi n}{\log n} </math>成立的渐近结果。

== 参考文献 ==
* Aneva B., "[http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/aneva.pdf Symmetry of the Riemann operator]{{Dead link}}", (1999) ''Physics Letters'', B450: 388–396.
* {{Citation | last1=Berry | first1=Michael V. | last2=Keating | first2=Jonathan P. | editor1-last=Keating | editor1-first=Jonathan P. | editor2-last=Khmelnitski | editor2-first=David E. | editor3-last=Lerner | editor3-first=Igor V. | title=Supersymmetry and Trace Formulae: Chaos and Disorder | url=http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry306.pdf | publisher=Plenum | location=New York | isbn=978-0-306-45933-7 | year=1999a | chapter=H = xp and the Riemann zeros | pages=355–367 | accessdate=2012-09-08 | archive-date=2012-11-10 | archive-url=https://web.archive.org/web/20121110174028/http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry306.pdf | dead-url=no }}.
*{{Citation | last1=Montgomery | first1=Hugh L. | title=Analytic number theory |series=Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXIV | publisher=American Mathematical Society | location=Providence, R.I. | id={{MathSciNet | id = 0337821}} | year=1973 | chapter=The pair correlation of zeros of the zeta function | pages=181–193}}
* Berry, M.V.; Keating, J.P. (1999b), "[http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry307.pdf The Riemann zeros and eigenvalue asymptotics] {{Wayback|url=http://www.phy.bris.ac.uk/people/berry_mv/the_papers/Berry307.pdf |date=20120717015158 }}", ''SIAM Review'',  41(2): 236–266.
*{{citation|url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html|last=Odlyzko|title=Correspondence about the origins of the Hilbert–Polya Conjecture|accessdate=2012-09-08|archive-date=2020-09-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20200902213203/http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/polya/index.html|dead-url=no}}
* Zeev Rudnick; Peter Sarnak (1996), "[http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/zeta.dvi.gz Zeros of Principal L-functions and Random Matrix Theory] {{Wayback|url=http://www.math.tau.ac.il/~rudnick/papers/zeta.dvi.gz |date=20201024205839 }}", ''Duke Journal of Mathematics'', 81: 269–322.
* Elizalde Emilio ; 'Zeta regularization techniques with applications' ISBN 978-981-02-1441-8981-02-1441-3, here the author explain in what sense the problem of HIlbert-Polya  is related with the problem of Gutzwiller Trace formula and what would be the value of the sum <math> \exp(i\gamma) </math> taken over the imaginary parts of the zeros.

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[[Category:猜想]]