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{{NoteTA|G1=Math|G2=Physics
|1=zh-hant:柯西數列;zh-cn:柯西列;
}}
[[File:Harmonic partials on strings.svg|thumb|希爾伯特空間可以用來研究振動的弦的諧波。]]
在[[数学]]裡，'''希尔伯特空间'''（{{lang-en|Hilbert space}}）即'''完备的内积空间'''，也就是一個帶有[[內積]]的[[度量空间#完備化|完備]]向量空間。內積的構造推廣了[[欧几里得空间]]的[[距离]]和[[角]]的概念；完備則確保了其上所有的[[柯西序列]]會收敛到此空間裡的一點，从而[[微积分]]中的許多概念都可以推广到希尔伯特空间中。

希尔伯特空间为基于任意[[正交坐标系]]上的[[多项式]]表示的[[傅立叶级数]]和[[傅立叶变换]]提供了一种有效的表述方式，而这也是[[泛函分析]]的核心概念之一。另外希尔伯特空间也是[[量子力学]]的重要數學基礎之一。

==简介==
希尔伯特空间以[[大卫·希尔伯特]]的名字命名，他在对[[积分方程]]的研究中研究了希尔伯特空间。[[冯·诺伊曼]]在其1929年出版的关于[[无界]][[自伴算子]]的著作中<ref>{{cite journal | last=Von Neumann | first=John | authorlink=John von Neumann | title=Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren| journal=Mathematische Annalen | volume = 102 | pages = 49–131 | date = 1929}}</ref>，最早使用了“希尔伯特空间”这个名词。冯·诺伊曼可能是最早清楚地认识到希尔伯特空间的重要性的数学家之一，他在进行对[[量子力学]]的基础性和创造性地研究的时候认识到了这一点。此项研究由冯·诺伊曼与希尔伯特<ref>{{cite journal | last = Hilbert | first = David | authorlink = David Hilbert | coauthors = [[Lothar Nordheim]] and [[John von Neumann]] | title = Über die Grundlagen der Quantenmechanik | url = http://dz-srv1.sub.uni-goettingen.de/sub/digbib/loader?ht=VIEW&did=D27779 | journal = Mathematische Annalen | volume = 98 | pages = 1–30 | year = 1927 }}{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>和[[朗道]]展开，随后由[[尤金·维格纳]]（{{lang|en|Eugene Wigner}}）继续深入。“希尔伯特空间”这个名字迅速被其他科学家所接受，例如在[[外尔]]1931年出版的著作《群与量子力学的理论》<ref name="weyl1931">{{cite book | last=Weyl | first=Hermann | authorlink=Hermann Weyl | title = The Theory of Groups and Quantum Mechanics | year = 1931 | publisher = Dover Press | edition = English edition (1950) | id = ISBN 978-0-486-60269-1}}</ref>（{{lang|en|The Theory of Groups and Quantum Mechanics}}）中就使用了这一名词。

一个抽象的希尔伯特空间中的元素往往被称为[[向量]]。在实际应用中，它可能代表了一列[[複數 (數學)|複數]]或是一个[[函数]]。例如在量子力学中，一个物理系统可以表示为一个[[复数 (数学)|複]]希尔伯特空间，其中的向量是描述系统可能状态的[[波函数]]。详细的资料可以参考[[量子力学的数学表述]]相关的内容。量子力学中由[[平面波]]和束缚态所构成的希尔伯特空间，一般被称为[[装备希尔伯特空间]]（rigged Hilbert space）

在所有的[[无穷维]][[拓扑向量空间]]中，希尔伯特空间性质最好，也最接近有限维空间的情形。例如

* [[酉群]]（unitary group）的表示论。
* 平方可积的[[随机过程]]理论。
* [[偏微分方程]]的希尔伯特空间理论，特别是[[狄利克雷问题]]。
* 函数的[[谱分析]]及[[小波分析]]。
* [[量子力学]]的数学描述。

[[傅立叶分析]]的一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的[[基底函数]]的和（可能是无穷和）。这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族[[标准正交基]]，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这族[[基底]]中的元素或其倍数的和。

==定义==

若在複（或實）[[内积空间]] <math>H</math> 取值的[[柯西序列]]，都收斂於 <math>H</math> 內的某個向量，那 <math>H</math> 就被稱為是希尔伯特空间，也就是說
{{math_theorem
|name=希爾伯特空間的定義
|math_statement=
<math>H</math> 是個複（或實）內積空間，若其上的向量[[序列]] <math>{\{v_i \in H\}}_{i\in\N}</math> 滿足 （注意 <math>d(v,\,w):= \|v - w\| = \sqrt{\langle v - w,\,v - w \rangle}</math> ，詳請參見 [[内积空间#范数]]）
:「對所有的正實數 <math>\epsilon > 0</math> ，存在[[正整數]] <math>n \in \N</math> 使所有的正整數 <math>i,\,j \in \N</math> ，只要有 <math>i,\,j > n</math> 就有 <math>d(v_i,\,v_j) < \epsilon</math>」
時，就存在向量 <math>v \in H</math>  ，使得
:「對所有的正實數 <math>\epsilon > 0</math> ，存在正整數 <math>n \in \N</math> 使所有的正整數 <math>i, \in \N</math> ，只要有 <math>i > n</math> 就有 <math>d(v_i,\,v) < \epsilon</math>」
這時稱 <math>H</math> 就被稱為複（或實）'''希尔伯特空间'''（Hilbert space）。
}}
==例子==
===欧几里得空间===
<math>\mathbb{C}^n</math>及其上的内积

:<math>\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n \overline{x_k} y_k</math>

构成了一个複希尔伯特空间（其中短横线表示一个[[複數 (數學)|複數]]的复[[共轭复数|共轭]]。），因為<math>\mathbb{C}^n</math>本身就是定義在[[域 (数学)|域]] <math>(\mathbb{C}^n, +, \times)</math>上的 <math>n</math> 維[[向量空间]]，但[[希尔伯特空间#有限維必完備|有限維內積空間必完備]]，故 <math>\mathbb{C}^n</math>是個複希尔伯特空间。

===序列空间===
更一般的希尔伯特空间都是[[无穷维]]的，假设<math>B</math>是一个任意集合，可以定义其上的<math>\ell^2</math>[[序列空间]]，记为
::<math>\ell^2(B) =\left\{ x:B \rightarrow \mathbb{C}\,\bigg|\,\sum_{b \in B} \left|x \left(b\right)\right|^2 < \infty \right\}</math>

此空间在定义如下[[内积]]后，成为一个希尔伯特空间：
::<math>\langle x, y \rangle = \sum_{b \in B} \overline{x(b)} y(b)</math>
其中<math>x</math>和<math>y</math>是<math>\ell^2(B)</math>中的任意元素。在这个定义中，<math>B</math>并非一定要是[[可数]]的，在<math>B</math>不[[可数]]之情形下，<math>\ell^2(B)</math>不是[[可分]]（separable）的。在下面更具体的例子中，所有的希尔伯特空间在选定适当的<math>B</math>的情况下，都可以表示成为<math>\ell^2(B)</math>的一个同构空间。特别地，当<math>B = \mathbb(N)</math>的时候，可以将其简单记为<math>\ell^2</math>。

===勒贝格空间===
[[勒贝格空间]]( 這裡指 <math>L^2(X)</math> 空間 )是指定義在[[测度空间]]<math>(X, \mathcal{M}, \mu)</math> 上的[[函数空间]]，其中<math>X</math> 代表函數的定義域，<math>\mathcal{M}</math> 的元素是 <math>X</math>上的子集族，為 一個 <math>\sigma</math> 代数，一般把 <math>\mathcal{M}</math> 稱作可測空間(measurable space)，而 <math>\mu</math> 是 <math>\mathcal{M}</math> 上的[[测度]]。

更仔細的說，<math>L^2(X, \mu)</math>( 簡寫做 <math>L^2(X)</math> ) 表示 <math>X</math> 上所有[[平方可积]]（square-integrable）的複數值的[[可测函数]]的集合。[[平方可积]]表示该函数的[[绝对值]]的平方的[[积分]]是[[有限]]的。要注意的是在 <math>L^2(X)</math> 空間裡，對於几乎处处( almost everywhere )相同的[[函数]]，也就是說如果兩函數只在一个[[测度]]为0的集合上不相等，我們把這兩函數當做在 <math>L^2(X)</math> 中相同的元素。

此时两个[[函数]]<math>f</math>和<math>g</math>的[[内积]]定義为
::<math>\langle f,g\rangle=\int_X \overline{f(t)} g(t) \ d \mu(t)</math>

* 因為 <math>f,g\in L^2(X)</math>，所以這內積的定義沒有問題。

但需要证明的是：

* 此[[空间]]在此[[内积]]下是[[完备]]的。

这个证明可以在相关的书籍中找到，与此例相关的内容可以参看关于<math>L^p</math>空间的著作。

===索伯列夫空间===
[[索伯列夫空间]]一般表示为<math>H^s</math>或者<math>W^{s, 2}</math>是希尔伯特空间的另一个重要实例，它多被应用于[[偏微分方程]]的研究。

==基本性質==
=== 有限維必完備 ===
{{Math theorem
|math_statement= 
[[基 (線性代數)#維度|有限维]][[内积空间]]都是希尔伯特空间
}}

{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
若複內積空間 <math>V</math> 為 <math>N</math> 維，那根據[[格拉姆-施密特正交化]]，存在一列向量：

: <math>\{e_1,\,e_2,\,\ldots,\,e_N\}</math>

為 <math>V</math> 的[[内积空间#正式定义|正交]][[基 (線性代數)|基底]]，現在假設 <math>{\{v_i \in V\}}_{i\in\N}</math> 是[[柯西序列]]，換句話說：

: 「對所有的正實數 <math>\epsilon > 0</math> ，存在[[正整數]] <math>n \in \N</math> 使所有的正整數 <math>i,\,j \in \N</math> ，只要有 <math>i,\,j > n</math> 就有 <math>d(v_i,\,v_j) < \epsilon</math>」

這樣，對每個正整數 <math>i \in \N</math> 存在唯一的一組[[複數 (數學)|複數]] <math>z_{i1},\,z_{i2},\,\ldots,\,z_{iN} \in \C</math> 使得

: <math>v_i = \sum^N_{k=1} z_{ik} \cdot e_k</math>

這樣根據[[内积空间#范数|内积空间的勾股定理]]有

: <math>{[d(v_i,\,v_j)]}^2 =  \sum^N_{k=1} {|z_{ik} - z_{jk}|}^2 < \epsilon^2  </math>

取 <math> x_{ik} = \operatorname{Re}(z_{ik})</math> 和 <math>y_{ik} = \operatorname{Im}(z_{ik})</math>，則有

: <math>
\sum^N_{k=1} {|z_{ik} - z_{jk}|}^2 = \sum^N_{k=1}{|x_{ik} - x_{jk}|}^2 + \sum^N_{k=1} {|y_{ik} - y_{jk}|}^2< \epsilon^2  
</math>

所以

: <math>
{|x_{ik} - x_{jk}|} < \epsilon  
</math>
: <math>
{|y_{ik} - y_{jk}|} < \epsilon  
</math>

這樣的話，對每個正整數 <math>k \in \N</math> ，[[实数]][[数列]] <math>
{\{x_{ik} \in \R\}}_{i \in \N}  
</math> 和 <math>
{\{y_{ik} \in \R\}}_{i \in \N}  
</math> 是柯西數列，這樣根據[[实数完备性]]，存在唯一的 <math>
x_k \in \R  
</math> 和 <math>
y_k \in \R  
</math> 使得

:<math>\lim_{i \to \infty} x_{ik} = x_k</math>
:<math>\lim_{i \to \infty} y_{ik} = y_k</math>

那這樣根據[[極限 (數列)|數列極限]]的定義，對每個正整數 <math>k \in \N</math> ，和所有的正實數 <math>\epsilon > 0</math> ，存在正整數 <math>n_1,\,n_2,\,\ldots,\,n_{2N} \in \N</math> 使所有的正整數 <math>i \in \N</math> ，只要有 <math>i > \max\{n_1,\,n_2,\,\ldots,\,n_{2N}\}</math> 就有

:<math>{|x_{ik} - x_k|} < \frac{\epsilon}{\sqrt{2N}}  </math>
:<math>{|y_{ik} - y_k|} < \frac{\epsilon}{\sqrt{2N}}  </math>

這樣的話，取 <math>z_k = x_k + i y_k</math> 和  <math>v = \sum^N_{k=1} z_k \cdot e_k</math>  會有

: <math>{[d(v_i,\,v)]}^2 =  \sum^N_{k=1}{|x_{ik} - x_k|}^2 + \sum^N_{k=1} {|y_{ik} - y_k|}^2< \epsilon^2  </math>

換句話說：

:<math>\lim_{i \to \infty} v_i = v</math>

這樣就證明了 <math>V</math> 裡的柯西序列必然收斂於 <math>V</math> 裡的向量，故 <math>V</math> 為希爾伯特空間。<math>\Box</math>
|}

=== 內積為連續函數 ===
<math>H</math> 是個複希爾伯特空間，<math>v \in H</math> 為某向量則：

* [[函数#函數記號|函数]] <math>f(h) = \langle v, h \rangle \; ( h \in H )</math> 為 <math>\tau_H</math>-<math>\tau_\R</math> [[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]
* [[函数#函數記號|函数]] <math>f(h) = \langle h, h \rangle \; (h \in H )</math> 為 <math>\tau_H</math>-<math>\tau_\R</math> [[拓扑空间#连续映射与同胚|连续]]
{| class="mw-collapsible mw-collapsed wikitable"
!'''證明'''
|-
|
|}

在希爾伯特空間 {{math|''H''}} 中，若序列 {{math|{''x<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} 滿足對任意的 {{math|''v'' ∈ ''H''}}, 都有

:<math>\lim_n \langle x_n, v \rangle = \langle x, v \rangle, </math>

則稱該序列{{en-link|弱收斂|Weak topology#Weak convergence}}到向量 {{math|''x'' ∈ ''H''. }} 

例如，任何正交序列 {{math|{''f<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} 都弱收斂到 &nbsp;0. 此為[[贝塞尔不等式]]的結果。根據[[一致有界原理]]，每個弱收斂序列 {{math|{''x<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} 都有界。

反之，希爾伯特空間中的每個有界序列，都有一個弱收斂子序列，此謂[[巴拿赫-阿拉奧盧定理]]。<ref>{{harvnb|Weidmann|1980|loc=§4.5}}</ref> 這可用作證明某些連續[[凸函數|凸泛函]]的最小值的存在性，正如[[波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理]]適用於 {{math|'''ℝ'''<sup>''d''</sup>}} 上的連續函數。一個較簡單的結果是：<ref>{{harvnb|Buttazzo|Giaquinta|Hildebrandt|1998|loc=Theorem 5.17}}</ref>

:若 {{math|''f'' : ''H'' → '''ℝ'''}} 為凸的連續函數，使得當 {{math|‖''x''‖}} 趨向於 {{math|∞}} 時，就有 {{math|''f''(''x'')}} 趨向於 {{math|+∞}}，則 {{math|''f''}} 在某點 {{math|''x''<sub>0</sub> ∈ ''H''}} 取得最小值。

此個結論（並其若干推廣）是[[变分法]]中{{link-en|直接法|direct direct method in the calculus of variations}}的基礎。更抽象地說，凸泛函的最小值存在，也是因為希爾伯特空間 {{math|''H''}} 上的閉有界凸集均為[[弱拓撲|弱緊集]]（因為 {{math|''H''}} 是自反空間）。弱收斂子序列的存在性是 {{link-en|Eberlein–Šmulian theorem}} 的特殊情況。

===帕塞瓦尔恒等式（勾股定理）===

{{main|帕塞瓦尔恒等式}}
在希爾伯特空間 {{math|''H''}} 中，若兩支向量 {{math|''u''}} 和 {{math|''v''}} 滿足 {{math|{{angbr|''u'',''v''}} {{=}} 0}}，則稱它們正交，記為 {{math|''u'' ⊥ ''v''}}. 更一般地，若 {{math|''S''}} 是 {{math|''H''}} 的子集，則 {{math|''u'' ⊥ ''S''}} 表示 {{math|''u''}} 與 {{math|''S''}} 的每個元素都正交。

當 {{math|''u''}} 和 {{math|''v''}} 正交時，就有

:<math>\|u + v\|^2 = \langle u + v, u + v \rangle = \langle u, u \rangle + 2 \, \operatorname{Re} \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle= \|u\|^2 + \|v\|^2\,.</math>

對 {{math|''n''}} 使用數學歸納法，上式可以推廣到對任意 {{math|''n''}} 支正交向量 {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u<sub>n</sub>''}} 成立，即

:<math>\|u_1 + \cdots + u_n\|^2 = \|u_1\|^2 + \cdots + \|u_n\|^2\,.</math>

畢達哥拉斯恆等式對每個內積空間都成立，但希爾伯特空間具有完備性，故此恆等式可推廣到對級數成立。一列 ''正交'' 向量組成的級數 {{math|∑''u<sub>k</sub>''}} 在 {{math|''H''}} 中收斂當且僅當各項範數平方組成的級數收斂，且此時
:<math>\left\|\sum_{k=0}^\infty u_k \right\|^2 = \sum_{k=0}^\infty \left\|u_k\right\|^2\,.</math>
此外，正交向量的級數和與求和順序無關。

===平行四邊形恆等式和極化恆等式===
[[File:Color parallelogram.svg|right|thumb|幾何上，平行四邊形恆等式給出 {{math|AC<sup>2</sup> + BD<sup>2</sup> {{=}} 2(AB<sup>2</sup> + AD<sup>2</sup>)}}. 換言之，兩對角線的平方和等於兩鄰邊平方和的兩倍。]]
由定義，每個希爾伯特空間都是[[巴拿赫空間]]。 而在每個希爾伯特空間中，以下[[平行四邊形恆等式]]成立:
: <math>\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2\left(\|u\|^2+\|v\|^2\right)\,.</math>
反之，若一個巴拿赫空間滿足平行四邊形恆等式，則其亦為希爾伯特空間，因為它的內積可由[[極化恆等式]]唯一確定。<ref>{{harvnb|Young|1988|p=23}}.</ref> 對實希爾伯特空間，極化恆等式是
:<math>\langle u,v\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2\right)\,.</math>
而對複希爾伯特空間，其為
:<math>\langle u,v\rangle = \tfrac{1}{4}\left(\|u+v\|^2-\|u-v\|^2+i\|u+iv\|^2-i\|u-iv\|^2\right)\,.</math>
由平行四邊形恆等式，可以推出任何希爾伯特空間都是{{link-en|一致凸巴拿赫空間|uniformly convex space}}。<ref>{{harvnb|Clarkson|1936}}.</ref>

== 投影定理 ==
===最佳逼近===
根據{{link-en|希爾伯特射影定理|Hilbert projection theorem}}，若 {{math|''C''}} 是希爾伯特空間 {{math|''H''}} 的非空閉凸子集，{{math|''x''}}為 {{math|''H''}} 的任一點，則存在唯一的 {{math|''y'' ∈ ''C''}} 使其到 {{math|''x''}} 的距離是各個 {{math|''C''}} 中的點到 {{math|''x''}} 的距離中最小的，即<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 4.10}}</ref>

:<math> y \in C \,, \quad \|x - y\| = \operatorname{dist}(x, C) = \min \{ \|x - z\| : z \in C \}\,.</math>

此等價於經平移的凸集 {{math|''D'' {{=}} ''C'' − ''x''}} 中有範數最小的元素。欲證之，可先證明對每個序列 {{math|(''d<sub>n</sub>'') ⊂ ''D''}}，若各項範數趨向於{{math|''D''}}中範數的下確界，則其為柯西序列（利用平行四邊形恆等式），故由完備性知其收斂到{{math|''D''}} 的某點。此結論對任意一致凸巴拿赫空間均適用。<ref>{{harvnb|Dunford|Schwartz|1958|loc=II.4.29}}</ref>

當對 {{math|''H''}} 的閉子空間 {{math|''F''}} 應用此結論時，可以證明最靠近 {{math|''x''}} 的點 {{math|''y'' ∈ ''F''}} 滿足<ref>{{harvnb|Rudin|1987|loc=Theorem 4.11}}</ref>

:<math> y \in F \,, \quad x - y \perp F \,.</math>

該點 {{math|''y''}} 稱為 {{math|''x''}} 到 {{math|''F''}} 上的  ''正交射影'' ，而這給出的映射 {{math|''P<sub>F</sub>'' : ''x'' ↦ ''y''}} 是線性的。此結論於[[應用數學]]有用，而[[數值分析]]尤甚，因這結論是[[最小二乘法]]的基礎。 <ref>{{cite book
 | last = Blanchet | first = Gérard | last2 = Charbit | first2 = Maurice
 | title = Digital Signal and Image Processing Using MATLAB
 | publisher = Wiley | series = Digital Signal and Image Processing
 | volume = 1 | edition = Second | date = 2014
 | location = New Jersey | pages = 349–360 | isbn = 978-1848216402 }}</ref>

特別到，當 {{math|''F''}} 不等於 {{math|''H''}} 時，可找到一支非零向量 {{math|''v''}} 與 {{math|''F''}} 正交（選 {{math|''x'' ∉ ''F''}} 並考慮 {{math|''v'' {{=}} ''x'' − ''y''}}）。由此得到一個有用的判定條件： 

:{{math|''H''}} 的子集 {{math|''S''}} 線性生成一個稠密的子空間當且僅當向量 {{math|0}} 是 {{math|''H''}} 中與 {{math|''S''}} 正交的唯一向量。

=== 對偶性 ===
[[对偶空间]] {{math|''H''*}} 是所有由{{math|''H''}} 到其系數域的[[連續]]線性函數組成的空間。 其具有一個自然的範數，由下式給出：

:<math>\|\varphi\| = \sup_{\|x\|=1, x\in H} |\varphi(x)| \,.</math>

這滿足平行四邊形恆等式，故對偶空間亦為一個內積空間。同時它也是完備的，所以希爾伯特空間的對偶空間也是希爾伯特空間。

[[里斯表示定理]] 描述了這個對偶空間。 對每個 {{math|''H''}} 的元素 {{math|''u''}} ， {{math|''H''*}} 中有唯一的 {{math|''φ<sub>u</sub>''}} 滿足

:<math>\varphi_u(x) = \langle x,u\rangle \,.</math>

則 {{math|''u'' ↦ ''φ<sub>u</sub>''}} 是從 {{math|''H''}} 到 {{math|''H''*}} 的[[反线性映射]]。里斯表示定理說此映射是個反線性同構。 <ref>{{harvnb|Weidmann|1980|loc=Theorem 4.8}}</ref> 所以對每個 {{math|''H''*}} 的元素 {{math|''φ''}}，都存在唯一的 {{math|''u<sub>φ</sub> ∈ H''}} 使得

:<math>\langle x, u_\varphi\rangle = \varphi(x)</math>

對任意 {{math|''x'' ∈ ''H''}} 都成立。 對偶空間 {{math|''H''*}} 上的內積滿足

:<math> \langle \varphi, \psi \rangle = \langle u_\psi, u_\varphi \rangle \,.</math>

注意右邊的次序反轉了，才使 {{math|''u<sub>φ</sub>''}} 的反線性變回上述內積對 {{math|''φ''}} 的線性。當 {{math|''H''}} 是實希爾伯特空間時，從 {{math|''H''}} 到其對偶的反線性同構實際上是一般的同構，所以實希爾伯特空間[[自然變換|自然]]地與其對偶同構。

表示 {{math|''φ''}} 的向量 {{math|''u<sub>φ</sub>''}} 可藉下列方法找到。 當 {{math|''φ'' ≠ 0}} 時， [[核 (代数)|核]] {{math|''F'' {{=}} Ker(''φ'')}} 是 {{math|''H''}} 的閉子空間，且不等於 {{math|''H''}} ，故存在非零向量 {{math|''v''}} 與 {{math|''F''}} 正交。 取向量 {{math|''u''}} 為 {{math|''v''}} 的純量倍 {{math|''λv''}}，於是條件 {{math|''φ''(''v'') {{=}} ⟨''v'',''u''⟩}} 給出

:<math> u = \langle v, v \rangle^{-1} \, \overline{\varphi (v)} \, v \,.</math>

[[物理學]]上廣泛應用的[[狄拉克符号]]正利用了{{math|''φ'' ↔ ''u''}} 的對應關係。 物理學家通常約定，內積 {{math|{{bra-ket|''x''|''y''}}}} 對右邊的運算元線性，即

:<math>\langle x| y \rangle = \langle y, x \rangle \,.</math>

於是 {{math|{{bra-ket|''x''|''y''}}}} 可以視為線性泛函 {{math|{{bra|''x''}}}} （稱為 ''左矢'' ）作用在向量 {{math|{{ket|''y''}}}} （稱為 ''右矢'' ）的結果。

里斯表示定理要求空間的完備性。事實上，從定理可知任意內積空間的拓撲對偶都與其完備化空間同構。作為里斯表示定理的直接推論， 希爾伯特空間 {{math|''H''}} 是 [[自反空间]], 即由 {{math|''H''}} 到其對偶之對偶的自然映射是同構。

==希尔伯特空间的基==
希尔伯特空间的一个中间概念是[[标准正交基]]，即其上的一族函数<math>\{e_k\}_{k \in B}</math>满足：

* 所有元素都是[[单位化]]的：即对于任意<math>x</math>，<math>\Vert e_k \Vert = 1</math>，<math>\forall k \in B</math>。
* 所有元素彼此[[正交]]：若<math>x</math>和<math>y</math>是这族基中的不同元素，那么<math><x, y> = 0</math>。
* 其线性扩张稠密：即其中的所有元素的有限的[[线性组合]]是<math>H</math>的一个[[稠密子集]]。

有时也使用''标准正交列''或''标准正交集''指代。

标准正交基的一些实例：

* [[集合 (数学)|集合]]（<math>\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math>）

==希尔伯特空间的相互作用==
给定任意两个（或更多）希尔伯特空间，利用[[直和]]或[[张量积]]的方式，可以给出一个更大的希尔伯特空间。

==请参见==
* [[完备度量空间|完备的度量空间]]或[[完备距离空间|完备的距离空间]]
* [[巴拿赫空间|完备的赋范空间]]
* [[欧几里得空间|n维欧几里得空间]]

== 参考文献 ==
=== 引用 ===
<references/>

=== 书目 ===
{{Refbegin|colwidth=30em}}
* {{Citation | last1=Bachman | first1=George | last2=Narici | first2=Lawrence | last3=Beckenstein | first3=Edward | title=Fourier and wavelet analysis | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-0-387-98899-3 | mr=1729490 | year=2000}}.
* {{citation|last1= Bers|first1=Lipman|author-link=Lipman Bers|first2=Fritz|last2= John|author-link2=Fritz John | first3= Martin | last3= Schechter|title=Partial differential equations | publisher= American Mathematical Society|year=1981|isbn=978-0-8218-0049-2}}.
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