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在[[线性代数]]中，'''希尔伯特矩阵'''是一种[[系数]]都是[[單位分數]]的[[方块矩阵]]。具体来说一个希尔伯特矩阵'''H'''的第'''i'''横行第'''j'''纵列的系数是：
:<math> H_{ij} = \frac{1}{i+j-1}. </math>

举例来说，<math>5 \times 5</math>的希尔伯特矩阵就是：

:<math>H_5 = \begin{bmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}.</math>


希尔伯特矩阵的系数也可以看作是以下[[积分]]：
:<math> H_{ij} = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx, </math>
也就是当[[向量]]是关于变量''x'' 的各阶[[幂]]时关于积分[[范数]]<math>\mathbb{L}^1</math>的[[格拉姆矩阵]]。

希尔伯特矩阵是[[条件数|低条件矩阵]]的典型例子。与希尔伯特矩阵的数值计算是十分困难的。举例来说，当范数为<math>l^2</math>[[矩阵范数]]时希尔伯特矩阵的[[条件数]]大约是<math>4.8 \times 10^5</math>，远大于1。

==性质==
希尔伯特矩阵是[[对称矩阵|对称]]而[[正定矩阵|正定]]的矩阵。希尔伯特矩阵也是全正定矩阵，也就是说它的每个[[子矩阵]]的行列式都是正数。

希尔伯特矩阵是[[汉克尔矩阵]]的一种。

希尔伯特矩阵的行列式可以被表达为[[闭形式]]，算是[[柯西行列式]]的一种。一个<math>n \times n</math>的希尔伯特矩阵的[[行列式]]可以表达为：
:<math>\det(H)={{c_n^{\;4}}\over {c_{2n}}}</math> 
其中
:<math>c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i!</math>

希尔伯特在其著作中已经注意到希尔伯特矩阵的行列式也是一个[[单位分数]]，并且有明确的表达式：
: <math>{1 \over \det (H)}={{c_{2n}}\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}</math> 

用关于[[阶乘]]的[[斯特灵公式]]，我们可以得到以下近似的结果：
:<math>\det(H)=a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}</math>

其中当<math>n\rightarrow\infty</math> 的时候''a''<sub>''n''</sub> 收敛于常数<math>e^{1/4} 2^{1/12} A^{ - 3} \approx 0.6450 </math>（其中的'''A'''是[[Glaisher-Kinkelin常数]]）。

用二项式系数，希尔伯特矩阵的[[逆矩阵]]也可以表示为闭形式。一个<math>n \times n</math>的希尔伯特矩阵的逆矩阵的系数为：
:<math>(H^{-1})_{ij}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2</math>

也就是说，希尔伯特矩阵的逆矩阵的系数都是整数。

当<math>n\rightarrow\infty</math> 的时候，<math>n \times n</math>的希尔伯特矩阵的条件数近似为<math>O((1+\sqrt{2})^{4n}/\sqrt{n})</math>。

==参见==
*[[最小二乘法]]
*[[特征多项式]]

==参考来源==

* David Hilbert, ''Collected papers'', vol. II, article 21.
* Beckermann, Bernhard.  "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices" in Numerische Mathematik.  '''85'''(4), 553--577, 2000.
* Choi, M.-D.  "[http://www.jstor.org/stable/2975779 Tricks or Treats with the Hilbert Matrix] {{Wayback|url=http://www.jstor.org/stable/2975779 |date=20190428080252 }}" in ''American Mathematical Monthly''. '''90''', 301–312, 1983.
* Todd, John.  "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix" in ''National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series.  '''39''', 109–116, 1954.
* Wilf, H.S.  ''Finite Sections of Some Classical Inequalities''.  Heidelberg: Springer, 1970.


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