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'''希尔伯特旅馆悖论'''是一个与[[无限集合]]有关的数学[[悖论]]，由德国数学家[[大卫·希尔伯特]]提出。

== 旅馆悖论 ==
假设有一个拥有[[可数集|可数无限]]多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。或许有人会认为此时这一旅馆将无法再接纳新的客人（如同[[有限集合|有限个]]房间的情况），但事实上并非如此。

=== 有限个新客人 ===
设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间，以此类推，这样就空出了1号房间留给新的客人。重复这一过程，我们就能够使任意有限个客人入住到旅馆内。

=== 无限个新客人 ===
另外，我们还能使可数无限个新客人住到旅馆中：将1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到4号房间、''n''号房间原有的客人安置到2''n''号房间，这样所有的[[奇数]]房间就都能够空出来以容纳新的客人。

=== 无限个客车且每个客车有无限客人 ===
我们甚至能够将可数无限个客车上的旅行團員（其中每个客车上有可数无限个客人）安排进旅馆。不过，这需要有一个前提条件：所有客车上的每个座位都已经编好了次序（即旅馆管理员对客人的安排满足[[选择公理]]）。首先，如同前面一样将所有奇数房间都清空，再将第一辆客车上的客人安排在第3<sup>''n''</sup>号房间（''n''=1, 2, 3, ...）、第二辆客车上的客人安排在第5<sup>''n''</sup>号房间，以此类推，将第''i''辆客车上的客人安排在第''p''<sup>''n''</sup>号房间（其中，''p''是第''i''+1个[[质数]]）。

另外，还能够通过客车的车牌号与客人的座位号来解决这一问题。先将旅馆设为第0号客车，然后将车牌号与座位号交替书写，即能得到客人的房间号码。如果客人已經住在旅館，且是在1729号房间，则移动到01070209号房间，如果客人是在198号客车上的4935座则移到第04199385号房间。

== 分析 ==
这一问题虽然被称作“悖论”，但事实上它并不矛盾，而仅仅是与我们直觉相悖而已。在有无限个房间时，“每个房间都客满”与“无法入住新的客人”两者其实并不等价。

无限集合的性质与有限集合的性质并不相同。对于拥有有限个房间的旅馆，其奇数号房间的数量显然总是小于其房间总数的。然而，在希尔伯特所假想的这一旅馆中，奇数号房间数与总房间数是相同的。在数学上可以表述为包含所有房间的[[集合 (数学)|集合]]的[[势 (数学)|势]]与包含所有奇数号房间的[[子集]]的势相同。事实上，无限集合都拥有这样的特点，所有无限集合都与它的某些子集的势相同。对于可数集，其势记为<math>\aleph_0</math>（[[阿列夫数|阿列夫零]]）。

另外，我们还可以说，对于任意可数无限集，都存在由这一集合至自然数集的[[双射]]，即便这一集合（如[[有理数]]集）本身就包含了自然数集。

== 宇宙哲学争论 ==
由于希尔伯特的这一悖论违反了我们的直觉，因而被经常利用否定[[实无穷]]的存在來作[[實質謬誤]]推論。

== 参见 ==
*[[鴿巢原理]]
*[[巴拿赫－塔斯基定理]]
*[[伽利略悖論]]（{{le|Galileo's paradox}}）

== 参考文献 ==
===註釋===
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===參考資料===
* [http://eom.springer.de/h/h130080.htm Hilbert infinite hotel.] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/h/h130080.htm |date=20070711184420 }} M. Hazewinkel. ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer. Accessed May 25, 2007.
* [https://web.archive.org/web/20100528092350/http://www.ccs3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/infinity.html Welcome to the Hotel Infinity!]
* Francis Casiro: ''Das Hotel Hilbert''. In: ''Spektrum der Wissenschaft Spezial. Unendlich (plus eins)''. 2/2005, S. 76–80
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==外部連結==
* [http://eom.springer.de/h/h130080.htm Hilbert infinite hotel] {{Wayback|url=http://eom.springer.de/h/h130080.htm |date=20070711184420 }}. M. Hazewinkel. ''Encyclopedia of Mathematics'', Springer. Accessed May 25, 2007. 
* [https://web.archive.org/web/20100528092350/http://www.ccs3.lanl.gov/mega-math/workbk/infinity/infinity.html Welcome to the Hotel Infinity!] — The paradox told as a humorous narrative, featuring a hotel owner and a building contractor based on the feuding 19th-century mathematicians Georg Cantor and Leopold Kronecker.

[[Category:集合论悖论]]
[[Category:虛構旅館]]