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{{noteTA
|G1=Math
}}
[[File:Tetragon measures.svg|thumb|230px|一个四边形]]

在[[幾何學]]當中，'''布雷特施奈德公式'''是一條任意[[四邊形]]的[[面積]]公式，由德國的數學家{{link-en|布雷特施奈德|Carl Anton Bretschneider}}所發現：

:<math>A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)}</math>
其中，<math>a,b,c,d</math>為四邊形的邊長，<math>s</math>為半周長，即<math>s=\frac{a+b+c+d}{2}</math>，而<math>\alpha,\gamma</math>為其中二個對角。

此公式可用於任何四邊形，不論是否為[[圆内接四边形]]，可視為[[婆羅摩笈多公式]]之推廣。

== 布雷特施奈德公式的证明 ==
設四邊形的面積為<math>A</math>：
:<math>\begin{align}A&=\triangle ADB+\triangle BDC\\
&=\frac{1}{2}ad\sin\alpha+\frac{1}{2}bc\sin\gamma
\end{align}</math>
可推得：
:<math>4A^2=(ad)^2\sin^2\alpha+(bc)^2\sin^2\gamma+2abcd\sin\alpha\sin\gamma</math>
由[[餘弦定理]]：
:<math>a^2+d^2-2ad\cos\alpha=b^2+c^2-2bc\cos\gamma</math>
移項可得：
:<math>\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4}=(ad)^2\cos^2\alpha+(bc)^2\cos^2\gamma-2abcd\cos\alpha\cos\gamma</math>
加入<math>4A^2</math>：
:<math>4A^2+\frac{(b^2+c^2-a^2-d^2)^2}{4}=(ad)^2+(bc)^2-2abcd\cdot\cos(\alpha+\gamma)</math>
運用[[半角公式]]及[[因式分解]]可得：
:<math>16A^2=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)</math>
代入半周長<math>s</math>：
:<math>16A^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)</math>
:<math>\therefore A=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot\cos^2\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right)}</math>

== 相關公式 ==
只適用於[[圆内接四边形]]的[[婆罗摩笈多公式]]推廣了適用於三角形面積的[[海伦公式]]，而布雷特施奈德公式推廣了婆羅摩笈多公式。

布雷特施奈德公式中的三角函數修正項，可被重寫成與四邊形的二對角線長 <math>p</math>及<math>q</math>有關的形式<ref>J. L. Coolidge, "A historically interesting formula for the area of a quadrilateral", ''American Mathematical Monthly'', 46 (1939) 345–347.</ref>。
:<math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{1}{4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}</math>

== 相關連接==
* {{MathWorld|urlname=BretschneidersFormula|title=Bretschneider's formula}}

[[分類:四邊形]]
[[分類:数学公式]]
[[分類:面積]]