查看“︁布莱克-舒尔斯模型”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Economics
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|T=zh-hans:布莱克-舒尔斯模型; zh-tw:布萊克-休斯模型;
|1=zh-hans:舒尔斯; zh-tw:休斯;
|2=zh-hans:迈伦; zh-tw:麥倫;
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{{各地中文名
|名詞= Black-Scholes Model
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|cn=布莱克-舒尔斯模型
|tw=布萊克-休斯模型
}}
'''布莱克-舒尔斯模型'''（{{lang-en|Black-Scholes Model}}），简称'''BS模型'''，是一种[[数学模型]]，用來为[[衍生性金融商品]]中的[[選擇權]][[選擇權定價|定价]]，由[[美国]][[经济学家]][[麥倫·休斯]]與[[費雪·布萊克]]首先提出。此模型適用於沒有派發股利的歐式選擇權。[[罗伯特·C·墨顿]]其後修改了數學模型，使其於有派發股利時亦可使用，新模型被稱為'''布萊克-休斯-墨頓模型'''（{{lang-en|Black–Scholes–Merton model}}）。

此模型的應用是透過買賣價格過高或是過低的選擇權，並同時與持有的資產對沖，來消除可能潛在的風險，並因此而套利。此方法也被稱為「動態 [[Delta中性]]」。此公式问世后带来了選擇權市场的繁荣，並且也是在投資銀行與對沖基金中被廣為使用的基礎模型。

雖然在很多情况下被使用者进行一定的改動和修正。很多经验测试表明这个公式足够贴近市场价格，然而也有会出现差异的时候，如著名的「{{link-en|波動率的微笑|Volatility smile}}」。然而它假設價格的變動，會符合[[常態分配|常態分配]]（即俗稱的[[常態分配|鐘形曲線]]），但在金融市場上經常出現符合[[统计学]][[肥尾分布|厚尾現象]]的事件，這影響此公式的有效性。

1997年，[[麥倫·休斯]]和[[罗伯特·C·墨顿]]借该模型获得[[諾貝爾經濟學獎]]。[[費雪·布萊克]]不幸在1995年離世，因此未能獲獎。

== 重要假设 ==
BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產（如[[股票]]）及一種無風險資產（[[現金]]或[[債券]]）。

假設金融資產是：
*無風險資產的投資回報是不變的，此回報率稱作[[无风险利率]]
*股票價格遵從[[几何布朗运动]]（[[隨機漫步]]）
*股票在選擇權有效期内不分派[[紅利]]
*股票價格服从[[对数正态分布|对数常態分配]]，即金融資產的对数收益率服从[[常態分配]]

假設金融市場是：
*不存在[[套利]]機會
*能以[[无风险利率]]借出或借入任意數量的金錢
*能買入及賣出（沽空）任意數量的股票
*市场无摩擦，即不存在交易[[稅|税收]]和[[交易成本]]

此外，假設選擇權是欧式選擇權，即只可在特定日期行权。

== 數學模型 ==
===符號===
:V(S,t)：歐式期權的理論价格
:C(S,t)：認購期權的价格
:P(S,t)：認沽期權的价格
:ln()：[[自然對數]]
:K：交割价格
:S：即期價格（Spot）
:τ：有效期 
::T：到期日
::t：時間，以年為單位，例如0.5代表6個月
::<math>\tau = T - t</math>
:r：连续复利计无风险利率
:<math>\sigma^2</math>：年度化[[方差]]
:N()：常態分佈变量的[[累积分布函数|累积分布函数]]
::<math>N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2}\, dz</math>

===布萊克-休斯方程===
對於有效期內不派發紅利的歐式[[選擇權]]，其價格遵從以下[[偏微分方程]]：
:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0</math>

把方程重寫成左右兩邊：
:<math>\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} =  rV -rS\frac{\partial V}{\partial S} </math>

左方代表期權的時間值及與即期價格的{{link-en|凸性 (金融)|Convexity (finance)|凸性}}。右方代表期權長倉的無風險回報及<math> \frac{\partial V}{\partial S}</math>股相關資產短倉。

求解過程會轉換成為一個[[熱傳導方程式]]。

===公式===
利用以下[[边值问题|约束条件]]，可解認購期權（Call Option）的理論值。
:<math>\begin{align}
  C(0, t) &= 0\text{ for all }t \\
  C(S, t) &\rightarrow S\text{ as }S \rightarrow \infty \\
  C(S, T) &= \max\{S - K, 0\}
\end{align}</math>

認購期權的理論價格是：
:<math>\displaystyle C(S,t)= N(d_1)S - N(d_2) K e^{-r \tau}   </math>

'''其中：'''
:<math>d_1 = \begin{smallmatrix} \displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{S}{K} + \left(r+ \frac {\sigma^2}{2} \right) {\tau}}{\sigma \sqrt{\tau}} \end{smallmatrix}</math>
:<math>d_2 = \begin{smallmatrix} \displaystyle d_1-\sigma  \sqrt{\tau} \end{smallmatrix}</math>

利用相同的方法，也可解認沽期權的理論價格：
:<math>\displaystyle  P(S,t)= N(-d_2) Ke^{-r \tau} - N(-d_1) S </math>

認購期權及認沽期權的理論價格都包含 <math>e^{-r\tau}</math>，把交割價格K以連續複利折算為現值。
: <math>\displaystyle  PV(K,t)= Ke^{-r\tau}</math>

== 派发股利的選擇權定价模型 ==
布莱克-舒尔斯模型假定在期權有效期内标的股票不派发股利。若派发股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型，其公式如下：
<math>\displaystyle C = S \times e^{-k \times t} \times N(d_1)-e^{-r \times T} \times L \times N(d_2)</math>

'''其中：'''

:<math>d_1 = \begin{smallmatrix} \displaystyle \frac{\ln \displaystyle \frac{S}{L} + \left(r-k+0.5 \times \sigma^2 \right) \times{T}}{\sigma \times \sqrt{T}} \end{smallmatrix}</math>
:<math>d_2 = \begin{smallmatrix} \displaystyle d_1-\sigma \times \sqrt{T} \end{smallmatrix}</math>
:k：表示标的股票的年股利收益率（假设股利连续支付，而不是离散分期支付）
:Ln：[[自然對數]]；
:C：期權初始合理价格；
:L：期權交割价格；
:S：交易所金融资产现价；
:T：期權有效期；
:r：连续复利计无风险利率Ｈ；
:<math>\sigma^2</math>：年度化[[方差]]；
:N()：常態分布变量的[[累积分布函数|累积分布函数]]。

== 關聯項目 ==
*[[金融工程學]]
*[[金融數學]]
*{{le|瓦西塞克模型|Vasicek model}}
*[[Cox–Ingersoll–Ross model]]
*[[長期資本管理公司]]

== 外部連結 ==
* [http://www.global-derivatives.com/options/black-scholes.php The Black–Scholes Model] {{Wayback|url=http://www.global-derivatives.com/options/black-scholes.php |date=20070618160739 }}, global-derivatives.com
* [http://www.mayin.org/ajayshah/PDFDOCS/Shah1997_bms.pdf Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences] {{Wayback|url=http://www.mayin.org/ajayshah/PDFDOCS/Shah1997_bms.pdf |date=20070927064228 }}, by Ajay Shah
* [http://www.ftsmodules.com/public/texts/optiontutor/eappch6.htm The Black–Scholes Option Pricing Model] {{Wayback|url=http://www.ftsmodules.com/public/texts/optiontutor/eappch6.htm |date=20080207061628 }}, optiontutor

{{Stochastic processes}}

[[Category:数理经济学]]
[[Category:经济模型]]
[[Category:金融数学]]
[[Category:金融理论]]
[[Category:選擇權]]
[[Category:数学模型]]