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{{NoteTA
|G1 = IT
}}
[[File:Bloch Sphere.svg|thumb|256px|布洛赫球面]]

[[量子力學]]中，以[[自旋|自旋物理]]與[[核磁共振]]專家[[费利克斯·布洛赫]]命名的'''布洛赫球面'''是一種對於[[雙態系統]]中[[純態]]空間的幾何表示法。在討論[[量子位元]]的場合上常常運用到。<ref>{{cite journal|last=Bloch|first=Felix|title=Nuclear induction|journal=Phys. Rev.|date=Oct 1946|volume=70|issue=7-8|pages=460–474|doi= 10.1103/physrev.70.460 |bibcode = 1946PhRv...70..460B }}</ref>

== 布洛赫球面諸點與純態的對應 ==

對量子位元這樣的双态量子系統而言，其存在的可能狀態<math>|\psi \rangle </math>（採用[[狄拉克標記]]的[[右矢]]表示）可以由兩個互相[[正交]]的[[基底]]以[[复数 (数学)|複數]][[態疊加原理|線性疊加]]所構成，這兩個基底可以選用<math>|0 \rangle</math>和<math>|1 \rangle </math>為代表。在物理實作上，<math>|0 \rangle</math>和<math>|1 \rangle </math>代表了做[[量子測量|投影式量子測量]]所會得到的唯二結果。

從任意純態出發：<math> |\psi \rangle = \alpha \, |0 \rangle + \beta \, |1 \rangle</math>，其中<math>\alpha, \beta \isin \mathbb{C}</math>，且归一化为<math>\quad |\alpha |^2 + |\beta |^2 = 1 \,</math>。

故可設：
:<math>\alpha = \cos \theta \, e^{i \delta},\quad \beta = \sin \theta \, e^{i (\delta + \phi)} \,</math>
:<math>\Rightarrow |\psi \rangle = \cos \theta \, e^{i \delta} \, |0 \rangle + \sin \theta  \, e^{i (\delta + \phi)} \, |1 \rangle = e^{i \delta}( \cos \theta \, |0 \rangle + \sin \theta \, e^{i \phi} \,|1 \rangle )</math>

其中<math> e^{i \delta} \,</math>稱作'''共同相位'''（{{lang|en|global phase}}），因為對<math> |0 \rangle</math>、對<math>|1 \rangle </math>都一樣影響，而在實驗上測量不出來，故可以將之捨棄不看。也因為如此，我們可以令<math>\cos \theta \,</math>為非負實數。

至於'''相對相位'''（{{lang|en|relative phase}}）<math> e^{i \phi} \,</math>就不同了，它的影響可以在球面上表現出來。故得：
:<math>|\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + \sin \theta \, e^{i \phi} \,|1 \rangle </math>
由於<math> e^{i \phi} \,</math>的存在，我們也能令<math>\sin \theta \,</math>非負實數。

由上述條件可定出<math>\theta \,</math>與<math>\phi \,</math>的範圍如下：
:<math> 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \Rightarrow 0 \leq 2\theta \leq \pi, \quad  </math>
:<math>0 \leq \phi < 2 \pi</math>

將<math>2\theta \,</math>和<math>\phi \,</math>的所有分佈在三維空間<math>\mathbb{R}^3</math>中畫出來，就可以得到一個球面，此即'''布洛赫球面'''，如同圖1。

:<math> \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta \end{matrix}</math>

可以注意到'''正交'''（有「'''垂直'''，呈90度關係」的意思）的兩個基底<math>|0 \rangle</math>和<math>|1 \rangle</math>在此幾何表示法下成為一軸的兩端，變成180度關係（<math>2\theta \,</math>的緣故）。通常設定它們處在<math>z \,</math>軸，即：
* <math>|0 \rangle</math>是<math>z_+: \, (0,0,1) </math>、
* <math>|1 \rangle</math>是<math>z_-: \, (0,0,-1)</math>，
離球心距離皆是1。

== 習慣差異 ==
有些學者及書刊對於球面所採用的表示為：
:<math> \begin{matrix} x & = & \sin \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos \theta \end{matrix}</math>
角度範圍：
:<math>0 \leq \theta \leq \pi ,\quad 0 \leq \phi < 2\pi</math>

是故，其狀態<math>| \psi \rangle </math>的定義為：
:<math>|\psi \rangle = \cos \frac{\theta}{2} \, |0 \rangle + \sin \frac{\theta}{2} \, e^{i \phi} \,|1 \rangle </math>

此種表示法的用意在使'''布洛赫球面'''上<math>(\theta , \phi) \,</math>表示方式和一般 <math>\mathbb{R}^3</math>中的球面以[[球坐標]] <math>(r_0, \theta , \phi) \,</math>表示方式一致。

== 布洛赫球與混合態 ==
'''布洛赫球'''（Bloch ball）是'''布洛赫球面'''的擴充，[[混合態]]會出現在球內（離球心距離<math><1</math>的點）而不是球面上。<ref name="nc">
{{cite book |title=Quantum Computation and Quantum Information |last1=Nielsen |first1=Michael A. |authorlink1=Michael_Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |authorlink2=Isaac_Chuang |year=2004 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-63503-5}}
</ref><ref>{{Cite web |url=http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere |title=存档副本 |access-date=2017-07-25 |archive-date=2015-09-25 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150925164645/http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere |dead-url=no }}</ref>並可從此推論出球心該點所代表的量子狀態是'''最大混合態'''（maximally mixed state），用[[密度矩陣]]形式及[[狄拉克標記]]表示即（另見「[[量子位元]]」）：
:<math>\frac{1}{2}\mathbf{I} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math>
:<math>= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math><math> = \frac{1}{2} |0 \rangle\langle 0| + \frac{1}{2} |1 \rangle\langle 1| = \frac{1}{2} z_+ + \frac{1}{2} z_-</math>
:<math>= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} x_+ + \frac{1}{2} x_-</math>
:<math>= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} \\ \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2} \\ -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} y_+ + \frac{1}{2} y_-</math>。

可以看到这是兩個彼此正交的[[純態]]以恰好一半一半的比例構成[[混合態]]。

==參見==
*[[居量反轉]]
*[[量子計算機]]

==註釋==
{{reflist}}

== 外部連結 ==
*[https://web.archive.org/web/20060903114235/http://beige.ovpit.indiana.edu/B679/node79.html  Density Operator of a Single Qubit: The Bloch Sphere]

{{Quantum mechanics topics}}

[[Category:量子力學|B]]
[[Category:量子信息|B]]
[[Category:射影几何]]