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在[[數論]]中，'''布朗篩法'''（Brun sieve；或稱'''布朗純篩法''' (Brun's pure sieve)）是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧，而這些條件一般都以[[同餘]]表示。該篩法由[[维戈·布朗]]於1915年發展，並在後來由其他學者推廣為[[篩法基本引理]]。

==描述==
在[[篩法]]的術語中，布朗篩法是一種「組合篩法」，也就是一種透過小心應用[[容斥原理]]進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前，先定義一些表記：

設<math>A</math>為正整數的有限集，而<math>P</math>則為質數的集合，然後設<math>A_p</math>是<math>A</math>中可為<math>P</math>中的質數<math>p</math>整除的數組成的集合；此外，可設<math>d</math>為<math>P</math>中的不同質數的乘積，在這種狀況下，可相應地定義<math>A_d</math>為<math>A</math>中可被<math>d</math>整除的數的集合，也就是與<math>d</math>的質因數<math>p</math>相應的集合<math>A_p</math>的交集；而<math>A_1</math>也可相應地定義成<math>A</math>本身。

設<math>z</math>為任意實數，那麼該篩法的目標就是估計下式：
<math display=block>S(A,P,z) = \biggl\vert A \setminus \bigcup_{p \in P\atop p \le z} A_p \biggr\vert , </math>

在上式中，<math>|X|</math>是集合<math>X</math>的[[勢 (數學)|元素個數]]。

此外，假若<math>|A_d|</math>的元素個數可由下式估計的話（下式中，<math>w</math>是一個[[積性函數]]，而<math>R_d</math>是與之相應的誤差項）：
<math display=block> \left\vert A_d \right\vert = \frac{w(d)}{d} |A| + R_d,</math>

那就可定義下式：
<math display=block> W(z) = \prod_{p \in P\atop p \le z} \left(1 - \frac{w(p)}{p} \right) . </math>

===布朗純篩法===
以下內容取自[https://books.google.com/books?id=1swo9Yf3d2YC Cojocaru & Murty] {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=1swo9Yf3d2YC |date=20230508034859 }}的定理6.1.2.，並使用上述的表記。

若以下條件成立：
*對於任意由<math>P</math>中的質數構成的無平方因子數<math>d</math>而言，有<math>| R_d | \leq  w(d) </math>
*存在常數<math>C, D, E</math>使得對於任意實數<math>z</math>而言，有<math> \sum_{p \in P\atop p \le z} \frac{w(p)}{p} < D \log\log z + E.</math>
*對於任意<math>P</math>中的質數<math>p</math>，有<math>w(p) < C </math>

則有以下的關係式：
<math display=block> S(A,P,z) = X \cdot W(z) \cdot \left({1 + O\left((\log z)^{-b \log b}\right)}\right) + O\left(z^{b \log\log z}\right)</math>

其中<math>X</math>是<math>A</math>的元素個數、<math>b</math>是任意正整數，而<math>O</math>則是[[大O符號]]。

此外，設<math>x</math>為<math>A</math>的最大元，那在存在足夠小的<math>c</math>使得<math>\log z< c\log x/\log\log x</math>的狀況下，有下列關係式：
<math display=block> S(A,P,z) = X \cdot W(z) (1+o(1)) .</math>

==應用==
* [[布朗定理]]：所有[[孿生質數]]的倒數和收斂。
* [[施尼勒爾曼密度]]：所有的偶數至多<math>C</math>個質數之和。<math>C</math>的大小可小至6。
* 存在有無限多個彼此差為2的整數對，而在該整數對中的兩個數都至多是九個質數的乘積。
* 所有的偶數都可表示成兩個至多是九個質數乘積的數之和。

最後兩個定理弱於[[陳氏定理]]及[[弱哥德巴赫猜想]]。

==參考資料==
* {{cite journal | author=Viggo Brun | author-link=Viggo Brun | title=Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare | journal=Archiv for Mathematik og Naturvidenskab | volume=B34 | issue=8 | year=1915 }}
* {{cite journal | author=Viggo Brun | title=La série <math>\tfrac15 + \tfrac17 + \tfrac{1}{11} + \tfrac{1}{13} + \tfrac{1}{17} + \tfrac{1}{19} + \tfrac{1}{29} + \tfrac{1}{31} + \tfrac{1}{41} + \tfrac{1}{43} + \tfrac{1}{59} + \tfrac{1}{61} +\cdots</math> où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie | journal=Bulletin des Sciences Mathématiques | year=1919 | volume=43 | pages=100–104, 124–128|jfm=47.0163.01 }} 
* {{cite book | author=Alina Carmen Cojocaru |author2=M. Ram Murty | title=An introduction to sieve methods and their applications | series=London Mathematical Society Student Texts | volume=66 | publisher=Cambridge University Press | isbn=0-521-61275-6 | pages=80–112 | year=2005 }}
* {{cite book | author=George Greaves | title=Sieves in number theory | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) | volume=43 | publisher=Springer-Verlag | date=2001 | isbn=3-540-41647-1 | pages=71–101}}
* {{cite book | author=Heini Halberstam | author-link=Heini Halberstam |author2=H.E. Richert | title=Sieve Methods | url=https://archive.org/details/sievemethods0000halb | publisher=[[Academic Press]] | date=1974 | isbn=0-12-318250-6}}
* {{cite book | author= Christopher Hooley | author-link=Christopher Hooley | title=Applications of sieve methods to the theory of numbers | publisher=Cambridge University Press | date=1976 | isbn=0-521-20915-3}}.

[[Category:篩法]]