查看“︁布朗常数”︁的源代码

{{Infobox number
| name=布朗常数
| number=1.902160583
| symbol=<math>B_2</math>
| OEIS=A065421
| 發現者=[[瑋哥·布朗]]
| other name=
| type=
| define=<math>\sum\limits_{ p \, : \, p + 2 \in \mathbb{P} } {\left( {\frac{1}{p} + \frac{1}{{p + 2}}} \right)} </math>
| root of=
| 連分數=
| series=
| basedata = {{Infobox number/base
| 二進制 = {{FractionalGaps|{{進制|2|1.902160583|precision=9}}|4|…}}
| 八進制 = {{FractionalGaps|{{進制|8|1.902160583|precision=9}}|4|…}}
| 十進位 = {{FractionalGaps|1.902160583|4|…}}
| 十六進位 = {{FractionalGaps|{{進制|16|1.902160583|precision=8}}|4|…}}}}
}}
1919年，挪威数学家[[瑋哥·布朗]]（[[Viggo Brun]]）证明了所有[[孪生素数]]的[[倒數和收斂|倒数之和收敛]]于一个[[数学常数]]，称为'''布朗常数（Brun's constant）'''，记为''B''<sub>2</sub> {{OEIS|id=A065421}}。他的證明也對[[篩法]]的發展造成歷史性的影響，而這是因為他為了證明此定理而開發了[[布朗篩法]]這種篩法並進而影響質數研究之故。

== 數學描述 ==
''B''<sub>2</sub> {{OEIS|id=A065421}}的形式如下：
:<math>B_2 = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right)
+ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{29} + \frac{1}{31}\right) + \cdots</math>

以上收斂的結論，稱為[[布朗定理]]。而[[证明所有素数的倒数之和发散|所有'''素数'''的倒数之和]]则是发散的。假如以上的级数发散，则我们立刻就可以证明[[孪生素数猜想]]。但由于它收敛，我们就不知道是否有[[无穷多]]个孪生素数（若孪生素数之[[平方根]]的倒數和發散，則亦可知其為無限多）。类似地，如果证明了布朗常数是[[无理数]]，也立刻就可以证明[[孪生素数猜想]]。但如果它是[[有理数]]，则仍然无法知道孪生素数是不是无限的。

我们知道1.9 < ''B''<sub>2</sub>，但不知道是否能大于2。  

== 數值估計 ==
這數列收斂極慢，Thomas Nicely指出，即使在最初的十億項彼此相加後，其相對誤差值依舊超過5%。<ref name=nicely>{{cite web |url=http://www.trnicely.net/twins/twins2.html |last=Nicely |first=Thomas R. |title=Enumeration to 1.6*10^15 of the twin primes and Brun's constant |access-date=16 February 2010 |work=Some Results of Computational Research in Prime Numbers (Computational Number Theory) |date=18 January 2010 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131208192242/http://trnicely.net/twins/twins2.html |archive-date=8 December 2013 |url-status=dead }}</ref>

Thomas R. Nicely把孪生素数算到10<sup>14</sup>，估计布朗常数大约为1.902160578<ref name=nicely/>，Nicely在這過程中也發現了[[奔騰浮點除錯誤]]；之後Nicely在2010年1月18日將估計延展到大小約為1.6{{e|15}}的孿生質數上，但這還不是截至目前為止最大的計算。

目前最精确的估计是Pascal Sebah和Patrick Demichel在2002年发现的，他们把孪生素数算到了10<sup>16</sup>：<ref>{{cite document | last1=Sebah | first1=Pascal | last2=Gourdon | first2=Xavier | title=Introduction to twin primes and Brun's constant computation |citeseerx = 10.1.1.464.1118}}</ref>

: ''B''<sub>2</sub> ≈ 1.902160583104.

截至目前為止，對於布朗常數的估計如下：

{|class="wikitable" style="text-align:left"
!年分!! ''B''<sub>2</sub>!! 小於#的孿生質數數量 !! 發現者
|-
|1976|| 1.902160540 || 1&thinsp;×&thinsp;10<sup>11</sup> || Brent
|-
|1996|| 1.902160578 || 1&thinsp;×&thinsp;10<sup>14</sup> || Nicely
|-
|2002|| 1.902160583104 || 1&thinsp;×&thinsp;10<sup>16</sup> || Sebah及Demichel
|-
|}

最後一項是根據小於<math>10^{16}</math>的孿生質數和1.830484424658...的[[外推]]而來。Dominic Klyve在一篇未發表的論文證明說在[[廣義黎曼猜想]]成立的狀況下，''B''<sub>2</sub>&nbsp;<&nbsp;2.1754；而在不假定任何條件的狀況下，''B''<sub>2</sub>&nbsp;<&nbsp;2.347。<ref>{{cite web |url=https://collections.dartmouth.edu/archive/object/dcdis/dcdis-klyve2007?ctx=dcdis#?length=12&start=0&view=list&rdat_only_u=no&rdat_u=yes&col=dcdis&oc_0=main-title&od_0=a&sv=Brun%27s+constant |last=Klyve |first=Dominic |title=Explicit bounds on twin primes and Brun's Constant |access-date=24 May 2021 |archive-date=2023-05-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230513110740/https://collections.dartmouth.edu/archive/object/dcdis/dcdis-klyve2007?ctx=dcdis#?length=12&start=0&view=list&rdat_only_u=no&rdat_u=yes&col=dcdis&oc_0=main-title&od_0=a&sv=Brun%27s+constant |dead-url=no }}</ref>

除此以外，还有一个'''四胞胎素数的布朗常数'''，它是所有的[[四胞胎素数]]的倒数之和，记为''B''<sub>4</sub>：

:<math>B_4 = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{13}\right)
+ \left(\frac{1}{11} + \frac{1}{13} + \frac{1}{17} + \frac{1}{19}\right)
+ \left(\frac{1}{101} + \frac{1}{103} + \frac{1}{107} + \frac{1}{109}\right) + \cdots</math>

它的值为

:''B''<sub>4</sub> =0.87058 83800 ± 0.00000 00005。根據Nicely的說法，其誤差範圍的置信區間為99%。<ref name=nicely/>

這常數不該跟也記做''B''<sub>4</sub>、對於形如<math>(p, p+4)</math>的質數對倒數和的'''[[表兄弟質數]]的布朗常數'''搞混，倭爾夫（Wolf）估計說形如<math>(p, p+n)</math>的質數對的倒數和大約為<math>\frac{4}{n}</math>。

== 延伸結果 ==
設<math>C_2=0.6601\ldots</math>{{OEIS|A005597}}為[[孿生質數|孿生質數常數]]，則有猜想認為
:<math>\pi_2(x) \sim 2C_2\frac{x}{(\log x)^2}.</math>
特別地，對於任意充分大的<math>x0</math>以及任意的<math>\varepsilon>0</math>，有
:<math>\pi_2(x) < (2C_2+\varepsilon)\frac{x}{(\log x)^2}</math>

對於特殊情況，目前已有證明；在近期，Jie Wu正明說對於任意充分大的<math>x0</math>而言，有
:<math>\pi_2(x) < 4.5\,\frac{x}{(\log x)^2}</math>
其中4.5的部分相當於上述的<math>\varepsilon \approx 3.18</math>。

== 數學之外 ==
Thomas Nicely在研究布朗常數時曾使用包括66 MHz [[Intel Pentium]]處理器的電腦對布朗常數進行計算，但用包括66 MHz [[Intel Pentium]]處理器的[[電腦]]處理[[長除法]]時一直出錯<ref name="NicelyFAQ">{{cite web|url=http://www.trnicely.net/pentbug/pentbug.html|title=Pentium FDIV flaw FAQ|author=Nicely|first=Thomas|date=August 19, 2011|website=trnicely.net|archive-url=https://web.archive.org/web/20190618044444/http://www.trnicely.net/pentbug/pentbug.html|archive-date=2019-06-18|dead-url=yes|access-date=June 18, 2019}}</ref> 。他用一個數字去除以824,633,702,441時，答案一直是錯誤的，而這使得[[奔騰浮點除錯誤]]受到揭發，進而造成Intel的[[公關]]災難，並導致英特爾在1994年受到4.75億美元的損失。<ref>{{Cite web |date=June 20, 2020 |title=1994 - Annual Report |publisher=Intel |url=https://www.intel.com/content/www/us/en/history/history-1994-annual-report.html|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170226113353/https://www.intel.com/content/www/us/en/history/history-1994-annual-report.html|archive-date=February 26, 2017|access-date=June 20, 2020}}</ref>

另外[[Google]]曾使用三個數學常數作為交易金額，而其中一個常數是布朗常數。Google曾在[[北電網路]]的專利交易中出價1,902,160,540美元，而1.9021605...是布朗常數的約略值。

== 参见 ==
*[[孪生素数]]
* [[孪生素数猜想]]
*[[埃拉托斯特尼筛法]]
*[[素数判定法则]]
*[[Meissel-Mertens常数]]
*[[奔騰浮點除錯誤]]─Thomas Nicely在研究布朗常數時發現的技術錯誤。

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

=== 参考文献 ===
* Finch, S. R. "Brun's Constant." §2.14 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 133-135, 2003. 
* Segal, B. "Généralisation du théorème de Brun." Dokl. Akad. Nauk SSSR, 501-507, 1930.  

== 外部链接 ==

* [https://web.archive.org/web/20191224151419/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/twin.html 布朗常数的计算]
* {{MathWorld|urlname=BrunsConstant|title=Brun's Constant}}
* {{PlanetMath|urlname=BrunsConstant|title=Brun's constant}}

[[Category:解析数论]]
[[Category:数学常数]]