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{{NoteTA|G1=物理學}}
[[File:Lattice systems.png|thumb|7種[[晶系]]及其三維布拉菲晶格]]

在[[幾何學]]以及[[晶體學]]中，'''布拉菲晶格'''（又译'''布拉菲点阵'''）(Bravais lattices)是為了紀念[[法国]][[物理学家]][[奥古斯特·布拉菲]] ({{harvs|txt|first=Auguste |last=Bravais|year=1850|authorlink=Auguste Bravais}}),<ref>{{cite journal|last1 = Aroyo|first1 = Mois I.|first2 = Ulrich|last2 = Müller|first3 = Hans|last3 = Wondratschek|title = Historical Introduction|journal = International Tables for Crystallography|volume = A1|issue = 1.1|pages = 2–5|year = 2006|url = http://it.iucr.org/A1a/ch1o1v0001/sec1o1o1/|doi = 10.1107/97809553602060000537|access-date = 2008-04-21|url-status = dead|archive-url = https://archive.today/20130704032928/http://it.iucr.org/A1a/ch1o1v0001/sec1o1o1/|archive-date = 2013-07-04|citeseerx = 10.1.1.471.4170}}</ref>而命名的，布拉菲晶格是由一组离散平移操作生成的无限离散点阵列，在三维空间中的描述为 

: <math>\mathbf{R} = n_1 \mathbf{a}_1 + n_2 \mathbf{a}_2 + n_3 \mathbf{a}_3,</math>

其中''n<sub>i</sub>''为任意整数，'''a'''<sub>''i''</sub>为'''原始平移向量'''或'''原始向量'''，它们位于不同的方向（不一定相互垂直），并跨越网格。对于给定的布拉菲晶格，原始向量的选择并不是唯一的。任何布拉菲晶格的一个基本特征是，对于任何方向的选择，当从所选方向观察时，从每个离散晶格点所看到的晶格都是完全相同的。

布拉菲晶格概念用于正式定义晶体排列及其（有限）边界。晶体由每个晶格点上的一个或多个原子（称为基点或母题motif）组成。晶基可能由原子、分子或固体物质的聚合物串组成，晶格提供了晶基的位置。

如果兩個布拉菲晶格具有同構[[空間對稱群]]，則通常認為它們是等價的。 從這個意義上講，在2維空間中存在5種可能的布拉菲晶格，在3維空間中存在14種可能的布拉菲晶格。 布拉菲晶格的14個可能的對稱群是230個[[空間群]]中的14個。 在空間群分類的背景下，布拉菲晶格也稱為"布拉菲類"、"布拉菲算術類"或"布拉菲聚類"(Bravais flocks)<ref>{{cite web |title=Bravais class |url=http://reference.iucr.org/dictionary/Bravais_class |website=Online Dictionary of Crystallography |publisher=IUCr |access-date=8 August 2019 |archive-date=2008-05-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20080513034230/http://reference.iucr.org/dictionary/Bravais_class |dead-url=no }}</ref>。

== 在3维空间 ==
[[File:diamond_lattice.stl|thumb|[[鑽石結構|钻石立方]]晶格的 2×2×2 单元格]]

三維布拉菲晶格只有14種可能。這14種布拉菲晶格可分成7種[[晶系]]，每種晶系又可依中心原子在晶胞中的位置不同再分成6種晶格：

* 簡單（P）：晶格點只在晶格的八個頂點處
* 體心（I）：除八個頂點處有晶格點外，晶胞中心還有一個晶格點
* 面心（F）：除八個頂點處有晶格點外，在六個面的中央還有一個晶格點
* 底心（A，B或C）：除八個頂點處有晶格點外，在晶胞的一組平行面（A，B或C）的每個面中央還有一個晶格點

7種不同晶系與每種晶系的6種不同晶格共有7 × 6 = 42種組合，但是有些組合其實是相同的，都能組成14種布拉菲晶格。例如，[[單斜晶系]]的體心晶格可以通過單斜晶系的底心（C）晶格選擇不同的晶軸得到，所以這兩種其實是同一種；同樣，所有的底心（A）、底心（B）晶格都相當於底心（C）或簡單（P）晶格。因此，去除相同的組合，可以得到14種不同的布拉菲晶格，列於下表（晶格圖下方是代表該布拉菲晶格的[[皮尔逊符号]]，表中空白的格表示於已有的晶格重複）：
{| class="wikitable" 
!rowspan=2 align=center|[[晶系]]
! rowspan="2" |点阵常数特征
! colspan="4" align="center" | 14種布拉菲晶格
|-
! 简单（P） || 底心（C） || 体心（I） || 面心（F）
|-
|align=center| '''[[三斜晶系]]'''
|a≠b≠c，α≠β≠γ≠90° 
|| [[File:Triclinic.svg|80px|Triclinic]]
||||||
|-
|align=center|''' [[單斜晶系|单斜晶系]] '''
|a≠b≠c，α=γ=90°≠β
|| [[File:Monoclinic.svg|80px|Monoclinic, simple]]
|| [[File:Base-centered monoclinic.svg|80px|Monoclinic, centered]]
||||
|-
|align=center| '''[[斜方晶系]]'''<br>（正交晶系）<br>
|a≠b≠c，α=β=γ=90°
|| [[File:Orthorhombic.svg|80px|Orthohombic, simple]]
|| [[File:Orthorhombic-base-centered.svg|80px|Orthohombic, base-centered]]
|| [[File:Orthorhombic-body-centered.svg|80px|Orthohombic, body-centered]]
|| [[File:Orthorhombic-face-centered.svg|80px|Orthohombic, face-centered]]
|-
|align=center| '''[[四方晶系]] '''
|a=b≠c，α=β=γ=90°
|| [[File:Tetragonal.svg|80px|Tetragonal, simple]]
||
|| [[File:Tetragonal-body-centered.svg|80px|Tetragonal, body-centered]]
||
|-
|align=center| '''[[三方晶系]]'''<br>（棱方晶系）<br>
|a=b=c，α=β=γ≠90°
| [[File:Rhombohedral.svg|80px|Rhombohedral]]
||||||
|-
|align=center|''' [[六方晶系]] '''
|a=b≠c，α=β=90º，γ=120°
| [[File:Hexagonal latticeFRONT.svg|80px|Hexagonal]]
||||||
|-
|align=center|''' [[等軸晶系]]'''<br><br>（立方晶系）<br>
|a=b=c，α=β=γ=90° 
|| [[File:Cubic.svg|80px|Cubic, simple]]
||
| [[File:Cubic-body-centered.svg|80px|Cubic, body-centered]]
| [[File:Cubic-face-centered.svg|80px|Cubic, face-centered]]
|}
{{-}}
每一個單位晶格的體積可以由<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \times \mathbf{c}</math>計算得知。其中<math>\mathbf{a},  \mathbf{b}</math>,和<math>\mathbf{c}</math>是晶格向量。各種布拉菲晶格的體積如下：
{| class="wikitable" 
|align=center|'''晶系'''
|colspan=4 align=center| '''体积'''
|-
|align=center| [[三斜晶系]]
| <math>abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}</math>
|-
| align=center|[[單斜晶系]]
| <math>abc \sin\alpha</math>
|-
| align=center|[[斜方晶系]] 
| <math> abc </math>
|-
| align=center|[[四方晶系]] 
| <math> a^2c </math>
|-
| align=center|[[三方晶系]] 
| <math> a^3 \sqrt{1 - 3\cos^2\alpha + 2\cos^3\alpha} </math>
|-
| align=center|[[六方晶系]]
| <math>\frac{\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}</math>
|-
| align=center|[[等軸晶系]] 
| <math> a^3</math>
|}

== 在4维空间 ==
在四维空间中，共有64个布拉菲晶格。其中，23个是简单晶格 (primitive) ，41个是中心晶格 (centered)。有10个布拉菲晶格分成"[[手性|对映体]]对"(enantiomorphic pair)。<ref>{{Citation | last1=Brown | first1=Harold | last2=Bülow | first2=Rolf | last3=Neubüser | first3=Joachim | last4=Wondratschek | first4=Hans | last5=Zassenhaus | first5=Hans | author5-link=Hans Zassenhaus | title=Crystallographic groups of four-dimensional space | publisher=Wiley-Interscience [John Wiley & Sons] | location=New York | isbn=978-0-471-03095-9 | mr=0484179  | year=1978}}</ref>

{{-}}

==參見==
*[[晶体惯态]]
*[[晶系]]
*[[translational symmetry]]
*[[lattice (group)]]
*[[Crystal system#Classification of lattices|classification of lattices]]
*[[密勒指數]]
* [[威廉·勞倫斯·布拉格]]
* [[X射線晶體學]]
* [[奥古斯特·布拉菲]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

==外部連結==
* [http://video.google.com/videoplay?docid=7864714690696625538&q=tom+barber&hl=en Contemporary Bravis Lattice Structures]{{dead link|date=2018年2月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} Designed by [[Tom Barber]]
*[http://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/ Catalogue of Lattices (by Nebe and Sloane)]
*{{Cite web|url=http://www.haverford.edu/physics-astro/songs/bravais.htm |first=Walter Fox |last=Smith
|title=The Bravais Lattices Song|year=2002}}

{{七大晶系}}
{{Crystallography}}

[[Category:晶體學|B]]
[[Category:凝聚體物理學|B]]
[[Category:镶嵌]]