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[[File:Vonlaue.png|thumb|300px|图1. [[勞厄方程式|劳厄方程]]的光路图]]

在物理学中，'''布拉格平面'''（{{lang-en|Bragg plane}}）是指在[[倒易点阵|倒易空间]]中垂直平分倒易矢量<math>\scriptstyle \mathbf{K}</math>的平面<ref>
{{Cite book
 | last1 = Ashcroft
 | first1 = Neil W.
 | last2 = Mermin
 | first2 = David
 | title = Solid State Physics
 | publisher = Brooks Cole
 | edition = 1
 | date = January 2, 1976
 | pages = [https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc/page/96 96–100]
 | isbn = 0-03-083993-9
 | url-access = registration
 | url = https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc/page/96
 }}</ref>。布拉格平面被定义为[[X射线晶体学|X射线衍射晶体学]]中衍射峰的劳厄衍射条件的一部分。

根据图1.，入射的[[X射线]]的[[平面波]]方程为：

:<math>e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} = \cos {(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})} + i\sin {(\mathbf{k} \cdot \mathbf{r})}</math>
其中<math>\mathbf{r}</math>为两个散射中心之间的位置矢量，<math>\scriptstyle \mathbf{k}</math>为入射波矢量：

:<math>\mathbf{k} = \frac{2\pi}{\lambda}\hat{n}</math>，<math>\lambda</math>为光[[波长]]，<math>\hat{n}</math>为表示光传播方向的[[单位矢量]]。

[[布拉格方程]]是基于反射晶面是唯一的，且反射线方向也是唯一的假设条件推导得到<ref name = "qh">{{cite book |author1=潘峰、王英华、陈超 |title=X射线衍射技术 |date=2016 |publisher=化学工业出版社 |location=北京 |isbn=978-7-122-27847-0}}</ref>；而劳厄方程仅假设光为单色光，并且每个散射中心都充当[[惠更斯-菲涅耳原理|惠更斯原理]]所描述的次级小波源。每个散射波都会贡献一个新的平面波，如下所示<ref>{{cite book |author1=Marcus Frederick Charles Ladd, Rex A. Palmer |title=Structure Determination by X-ray Crystallography Volume 1 |date=2003 |publisher=Springer US |location=Netherlands |isbn=9780306474538}}</ref>：

:<math>\mathbf{k^\prime} = \frac{2\pi}{\lambda}\hat{n}^\prime</math>

在反射波方向<math>\scriptstyle \hat{n}^\prime</math>发生[[相长干涉]]的条件是[[光程|光程差]]为光波长<math>\scriptstyle \lambda</math>的整数倍：

:<math>|\mathbf{d}|\cos{\theta} + |\mathbf{d}|\cos{\theta^\prime} = \mathbf{d} \cdot \left(\hat{n} - \hat{n}^\prime\right) = m\lambda</math>

其中<math>\scriptstyle m ~\in~ \mathbb{Z}</math>. 把前面<math>\mathbf{k}</math>、<math>\mathbf{k^\prime}</math>表达式代入即可得到：

:<math>\mathbf{d} \cdot \left(\mathbf{k} - \mathbf{k^\prime}\right) = 2\pi m</math>

现在考虑晶体是一个散射中心阵列，即[[布拉维晶格]]中的每一个格点都是散射中心，

[[File:Bragg plane_illustration.png|thumb|300px|图2.蓝色即为布拉格平面, 其位置与倒易格矢K有关]]

选定其中一个散射中心设置为阵列的原点，以原点为起点到达某一个散射中心的格矢为<math>\scriptstyle \mathbf{R}</math>，则发生相长干涉的条件是：

:<math>\mathbf{R} \cdot \left(\mathbf{k} - \mathbf{k^\prime}\right) = 2\pi m</math>

写成指数形式是<ref name = "qh"/>：

:<math>e^{i\left(\mathbf{k} - \mathbf{k^\prime}\right) \cdot \mathbf{R}} = 1</math>

根据该方程以及[[倒易点阵|倒易矢量]]的定义，只有<math>\scriptstyle \mathbf{K} ~=~ \mathbf{k} \,-\, \mathbf{k^\prime}</math>与倒易点阵中一个倒易矢重合时候，才会发生相长干涉。

因为<math>\scriptstyle \mathbf{k}</math> 和 <math>\scriptstyle \mathbf{k^\prime}</math>具有相同的大小（都为单位矢量，模长为1），所以如图2所示，所有复合相长干涉条件的入射波矢量<math>\scriptstyle \mathbf{k}</math>末端都位于一个平面上，且该平面垂直平分于倒易矢量<math>\scriptstyle \mathbf{R}</math>，该平面即为布拉格平面。

==相关条目==
* [[埃瓦尔德球]]
* [[X射线衍射]]
* [[布里渊区]]
* [[布拉维晶格]]
* [[菊池線 (物理)|菊池线]]


==参考文献==
{{reflist}}

{{Crystallography}}
[[Category:晶体学]]
[[Category:傅里叶分析]]
[[Category:衍射]]