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{{NoteTA|G1=物理學}}
在[[物理學]]中，'''布拉格定律'''給出[[晶格]]的[[相干性|相干]]及不相干[[散射]]角度。當[[X射線]]入射於[[原子]]時，跟任何[[電磁波]]一樣，它們會使[[電子|電子雲]]移動。[[電荷]]的[[運動 (物理學)|運動]]把[[波動]]以同樣的頻率再發射出去（會因其他各種效應而變得有點模糊）；這種現象叫[[瑞利散射]]（或彈性散射）。散射出來的波可以再相互散射，但這種進級散射在這裏是可以忽略的。當[[中子]]波與[[原子核]]或不成對電子的[[相干性|相干]][[自旋]]進行相互作用時，會發生一種與上述電磁波相近的過程。這些被重新發射出來的波來相互[[干涉 (物理學)|干涉]]，可能是相長的，也可能是相消的（重疊的波某程度上會加起來產生更強的波峰，或相互消抵），在探測器或底片上產生繞射圖樣。而所產生的波干涉[[圖樣]]就是[[繞射]]分析的基本部份。這種解析叫'''布拉格繞射'''。 

布拉格繞射（又稱'''X射線繞射的布拉格形式'''），最早由[[威廉·勞倫斯·布拉格]]及[[威廉·亨利·布拉格]]於1913年提出，他們早前發現了固體在反射[[X射線]]後產生的[[晶體]]線（與其他物態不同，例如液體），而這項定律正好解釋了這樣一種效應。他們發現，這些晶體在特定的波長及入射角時，反射出來的輻射會形成集中的波峰（叫'''[[布拉格尖峰]]'''）。布拉格繞射這個概念同樣適用於[[中子繞射]]及[[電子繞射]] <ref>John M. Cowley (1975) ''Diffraction physics'' (North-Holland, Amsterdam) ISBN 0-444-10791-6.</ref> 。中子及X射線的波長都於原子間距離(~150&nbsp;[[皮米|pm]])相若，因此它們很適合在這種[[長度]]作“探針”之用。

[[Image:Diffusion rayleigh et diffraction.png|thumb|400px|X射線與一[[晶體]]內原子的相互作用。]]
威廉·勞倫斯·布拉格使用了一個模型來解釋這個結果，模型中晶體為一組各自分離的平行平面，相鄰平面間的距離皆為一常數''d''。他的解釋是，如果各平面反射出來的X射線成相長[[干涉 (物理學)|干涉]]的話，那麼入射的X射線經晶體反射後會產生布拉格尖峰。當[[相位|相位差]]為2π及其倍數時，干涉為相長的；這個條件可經由布拉格定律表示<ref>例如，見使用布拉格定律計算原子間距離的[http://www.encalc.com/?expr=n%20lambda%20%2F%20(2*sin(theta))%20in%20nanometers&var1=n&val1=1&var2=lambda&val2=620%20nm&var3=theta&val3=45%20degrees&var4=&val4= 例子] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110710191659/http://www.encalc.com/?expr=n%20lambda%20%2F%20%282%2Asin%28theta%29%29%20in%20nanometers&var1=n&val1=1&var2=lambda&val2=620%20nm&var3=theta&val3=45%20degrees&var4=&val4= |date=2011-07-10 }}。</ref>：
:<math>n\lambda=2d\sin\theta\!</math>
其中''n''為整數，''λ''為入射波的[[波長]]，''d''為原子晶格內的平面間距，而''θ''則為入射波與散射平面間的夾角。注意移動中的粒子，包括電子、質子和中子，都有對應其速度及質量的[[德布羅意波長]]。

[[Image:Braggs Law.svg|right|thumb|400px|根據 {{Smallmath|f=2\theta}} 推導，[[相位|相位差]]會導致相長（圖左）或相消（圖右）[[干涉 (物理學)|干涉]]。]]
布拉格定律由物理學家[[威廉·勞倫斯·布拉格|威廉·勞倫斯·布拉格爵士]]<ref>有一些資料來源，例如《美國學術百科》，把這項發現歸功於威廉·勞倫斯·布拉格及其父威廉·亨利·布拉格，然而 [http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1915/present.html 諾貝爾獎官方網站] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1915/present.html |date=20171223225142 }}及關於他的傳記 ("Light Is a Messenger: The Life and Science of William Lawrence Bragg", Graeme K. Hunter, 2004 and "Great Solid State Physicists of the 20th Century", Julio Antonio Gonzalo, Carmen Aragó López) 都有明確指出，威廉·勞倫斯·布拉格是獨立地推導出這條定律的。</ref>於1912年推導出來，並於1912年11月11日首度於[[劍橋哲學會]]中發表。儘管很簡單，布拉格定律確立了[[亞原子粒子|粒子]]在原子大小下的存在，同時亦為[[晶體]]研究提供了有效的新工具──X射線及中子繞射。威廉·勞倫斯·布拉格及其父，[[威廉·亨利·布拉格|威廉·亨利·布拉格爵士]]獲授1915年諾貝爾物理學獎，原因為晶體結構測定的研究，他們測定了[[氯化鈉]]、[[硫化鋅]]及[[鑽石]]的結構。 他們是唯一一隊同時獲獎的父子隊伍，而威廉·勞倫斯·布拉格時年25歲，因此成了最年輕的諾貝爾獎得主。

== 布拉格條件 ==
[[Image:BraggPlaneDiffraction.svg|thumb|400px|圖為布拉格繞射。兩束相同波長及相的輻射，向着固態晶體前進，最後被裏面的兩個原子所散射出去。下面的束被散射後，比上面的束多行了 {{Smallmath|f=2d\sin\theta}} 的距離。當這個距離等於輻射波長的倍數時，散射後的兩束輻射就會產生相長干涉。]]

當電磁輻射或亞原子粒子波的波長，與進入的晶體樣本的原子間距長度相若時，就會產生布拉格繞射，入射物會被系統中的原子以鏡面形式散射出去，並會按照布拉格定律所示，進行相長[[干涉 (物理學)|干涉]]。對於晶質固體，波被晶格平面所散射，各相鄰平面間的距離為''d''。當被各平面散射出去的波進行相長干涉時，它們的[[相位]]依然相同，因此每一波的路徑長度皆為波長的[[整數]]倍。進行相長干涉兩波的路徑差為{{Smallmath|f=2d\sin\theta}}，其中{{Smallmath|f=\theta}}為散射角。由此可得'''布拉格定律'''，它所描述的是晶格中相鄰[[晶體學|晶體平面]]（由[[米勒指數]]''h''、''k''及''l'' 標記），產生相長干涉的條件<ref>{{Cite book|title=Introductory Solid State Physics|author=H. P. Myers|publisher=Taylor & Francis|year=2002|isbn=0-7484-0660-3}}</ref> ：
:<math>
2 d\sin\theta = n\lambda\!
</math>，
其中''n''為整數，按各項參數大小而定，而λ則為波長<ref>{{Cite document|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/bragg.html|title=Bragg's Law|author=Carl. R. Nave|publisher=HyperPhysics, Georgia State University|accessdate=2008-07-19|journal=|archive-date=2020-11-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20201112015933/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/bragg.html}}</ref>。通過量度散射後入射波的強度，並將之表示成入射角的函數，可得干涉圖樣。在干涉圖樣中，當散射波滿足布拉格條件，就會產生非常強的強度，它們叫布拉格尖峰。

== 倒空間 ==
儘管很多人都以為布拉格定律量度的是實空間中的原子距離，但事實並不是這樣的。在布拉格實驗中，只有在量度的距離與晶格圖中的''d''成反比時，第一陳述才似乎會是正確的。而且，從布拉格定律的<math> n\lambda</math>項，可以看出定律量度兩排原子間到底能放多少個波長，因此它所量度的是倒距離。[[倒晶格]]向量描述的是某組晶格平面，它是這組平面的[[法線|法向量]]，其長度為<math> G = 2\pi / d</math>。[[馬克斯·馮·勞厄]]用向量形式正確地詮釋了倒晶格向量，並得出以他命名的[[勞厄方程式]]：

:<math> \vec G\ =\ \vec{k_f}\ -\ \vec{k_i}</math>

其中<math>\vec G</math>為倒晶格向量，而<math>\vec{k_f}</math>及<math>\vec{k_i}</math>為入射及繞射束的[[波向量]]。

彈性散射條件<math> |k_f| = |k_i|</math>，及散射角<math>2 \theta</math>與上式結合後，基本上與布拉格方程等效。這是因為[[動量轉移]]守恆的緣故。在這個系統中，其掃掠變量可以是長度、入射方向或出射[[波向量]]，其中波向量與系統中的能量及角度彌散有關。繞射角與Q空間的關係可用一簡單的式子表示：

:<math> Q = \frac {4 \pi \sin \left ( \theta \right )}{\lambda}</math>。

[[倒晶格]]是一晶格的[[頻域|傅立葉空間]]，在晶格上應用完整的波動力學時，這個概念是不可或缺的。

== 另一種推導 ==
[[Image:Bragg law.png|thumb|250px]]
設一[[單色光|單色]][[波]]（任何種類），進入一組對齊的平面晶格點，其平面間距為<math>d</math>，入射角為<math>\theta</math>，如右圖所示。波被晶格點A反射後會沿'''AC''''行進，而沒有被反射的波則沿'''AB'''繼續行進，被晶格點B反射後路徑為'''BC'''。AC'與BC間存在路徑差，表達式為
:<math>(AB+BC) - (AC')</math>。

只有在路徑差等於[[波長]]的[[整數]]倍時，這兩股分開的波，在到達某一點時，會是同[[相位]]的，才會因此產生[[相長干涉]]，故相長干涉的產生條件為
:<math>(AB+BC) - (AC') = n\lambda</math>，    （需要為C'下定義）
其中<math>n</math>與<math>\lambda</math>的定義同上。

從上圖可見，
:<math>AB=BC=\frac{d}{\sin\theta}\,</math> 且 <math>AC=\frac{2d}{\tan\theta}</math>，
由此可得，
:<math>AC'=AC\cdot\cos\theta=\frac{2d}{\tan\theta}\cos\theta=\left(\frac{2d}{\sin\theta}\cos\theta\right)\cos\theta=\frac{2d}{\sin\theta}\cos^2\theta</math>。

組合上述各式，得
:<math>n\lambda=\frac{2d}{\sin\theta}(1-\cos^2\theta)=\frac{2d}{\sin\theta}\sin^2\theta</math>，
簡化後可得：
:<math>n\lambda=2d\sin\theta</math>，
即布拉格定律。

== 膠體晶體的布拉格可見光散射 ==

{{link-en|膠體晶體|Colloidal crystal}}為一種非常{{link-en|有序|Order and disorder (physics)}}的粒子陣列，可以在大範圍內形成（長度從幾[[微米]]到幾[[毫米]]不等），而且可被看作原子及分子晶體的[[類比]]<ref name='Pieranski_1983'>{{Cite journal|title=Colloidal Crystals|journal=Contemporary Physics|date=1983|first=P|last=Pieranski|coauthors=|volume=24|issue=|pages=25|id= |url=|format=|doi=10.1080/00107518308227471 |bibcode = 1983ConPh..24...25P }}</ref>。球狀粒子的週期性陣列，會形成出相似的空隙陣列，而這種陣列可被用作[[可見光]]的[[繞射光柵]]，尤其是當空隙與入射波長為同一[[數量級]]的時候<ref name='Hiltner_1969'>{{Cite journal|title=Diffraction of Light by Ordered Suspensions|journal=Journal of Physical Chemistry|date=1969|first=PA|last=Hiltner|coauthors=IM Krieger|volume=73|issue=|pages=2306|id= |url=|format= }}</ref><ref name='Aksay_1984'>{{Cite journal|title=Microstructural Control through Colloidal Consolidation|journal=Proceedings of the American Ceramic Society|date=1984|first=IA|last=Aksay|coauthors=|volume=9|issue=|pages=94|id= |url=|format= }}</ref><ref>Luck, W. et al., Ber. Busenges Phys. Chem. , Vol. 67, p.84 (1963)</ref>。

因此，科學家們在很多年前就發現了，由於相斥[[庫侖定律|庫侖]]相互作用的關係，水溶液中的帶[[電荷]][[高分子]]，會表現出大範圍的類[[晶體]]相互關聯，當中粒子間距一般會比粒子直徑要大得多。在自然的所有這種例子中，都可到看到一樣的漂亮[[構造色]]（或晃動的色彩），這都可以歸功於可見光波的[[相長干涉]]，而此時光波會滿足布拉格條件，跟結晶固體的[[X射線]][[繞射]]類似。

== 選擇定則與實驗晶體學 ==
就跟上文提過的那樣，布拉格定律可用於計算某[[立方晶系]]的晶格間距，關係式如下：

: <math> d = \frac{a}{ \sqrt{h^2 + k^2 + l^2}} </math>

其中<math>a</math>為[[立方晶系|立方晶體]]的晶格間距，而<math>h</math>、<math>k</math>及<math>l</math>則為布拉格平面的[[密勒指數]]，將上式與布拉格定律結合可得：

: <math> \left( \frac{ \lambda\ }{ 2a }  \right)^2 = \frac{ \sin ^2 \theta\ }{ h^2 + k^2 + l^2 } </math>。

我們可以推導出各種不同立方[[布拉菲晶格]]的[[密勒指數]]選擇定則；以下是其種幾種晶格的選擇定則。

{| class="wikitable"
|+ 密勒指數的選擇定則
! 布拉菲晶格
! 化合物例子
! 可行反射
! 不可行反射
|-
| 簡單立方
| [[釙]]、[[氯化鉀]] 
| 任何''h''、''k''、''l''
| 無
|-
| 體心立方
| [[鐵]]、[[鎢]]、[[鉭]]、[[鉻]]
| ''h'' + ''k'' + ''l'' 為偶數
| ''h'' + ''k'' + ''l'' 為奇數
|-
| 面心立方
| [[銅]]、[[鋁]]、[[鎳]]、[[氯化鈉]]、[[氫化鋰]]、[[硫化鉛]]
| ''h''、''k''、''l''皆為奇數或偶數
| ''h''、''k''、''l''當中有奇數也有偶數
|-
| 金刚石型
| [[硒化鋅]]、[[氯化銅]]、[[碘化銀]]、[[氟化銅]]、[[硅]]、[[鍺]]
| 皆為奇數，或皆為偶數且''h''+''k''+''l'' = 4n
| 同上，或皆為偶數但''h''+''k''+''l'' ≠ 4n
|-
| {{link-en|三角点阵|Hexagonal lattice}}
| [[鈦]]、[[鋯]]、[[鎘]]、[[鈹]]
| ''l''為偶數或''h'' + 2''k'' ≠ 3''n''
| ''l''為奇數且''h'' + 2''k'' = 3''n''
|}

這些選擇定則可用於對應晶體結構下的任何晶體。儘管氯化鈉呈現面心立方的結構，但是由於氯離子跟鈉離子的大小相近，因此繞射圖樣實質上跟簡單立方結構一致，只是各項晶體參數都小了一半。其他結構的選擇定則可在各種相關的參考文獻中找到，也可以自行[[倒晶格|推導]]出來。

== 另見 ==
* [[晶格]]
* [[繞射]]
* [[分散式布拉格反射器]]
* {{link-en|光纖布拉格光柵|Fiber Bragg grating}}
* {{link-en|亨德森極限|Henderson limit}}
* {{le|繞射的動力學理論|Dynamical theory of diffraction}}
* [[勞厄方程式]]
* {{link-en|粉末繞射|Powder diffraction}}
* [[結構因子]]
* [[威廉·勞倫斯·布拉格]]
* [[X射線晶體學]]
* [[奥古斯特·布拉菲]]
** [[布拉菲晶格]]

== 參考資料 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==
* Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, ''Solid State Physics'' (Harcourt: Orlando, 1976).
*{{cite journal |last1=Bragg |first1=W.L. |author-separator= |author-name-separator= |year=1913 |title=The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal |url= |journal=Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |volume=17 |issue= |pages=43–57}}

== 外部連結 ==
* [http://nobelprize.org/physics/laureates/1915/index.html 1915年諾貝爾物理學獎] {{Wayback|url=http://nobelprize.org/physics/laureates/1915/index.html |date=20080723224536 }}
* http://www.citycollegiate.com/interference_braggs.htm {{Wayback|url=http://www.citycollegiate.com/interference_braggs.htm |date=20210227103600 }}
* https://web.archive.org/web/20100421231804/http://srs.dl.ac.uk/station/9.4/diffraction-selection-rules.htm
* http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf {{Wayback|url=http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf |date=20110608141639 }}
{{DEFAULTSORT:B}}
{{固體物理學}}
[[Category:繞射]]
[[Category:中子]]
[[Category: X射线]]
[[Category: 凝聚体态物理学]]