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|G2 = Math
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在[[数学]]中，'''布尔环'''''R''是对于所有''R''中的''x''有<math>x^2 = x</math>的环，就是说''R''由[[幂等律|幂等]]元素组成。这些环引发自（和引发）[[布尔代数]]。

==例子==

一个例子是任何集合''X''的[[幂集]]，在这个环中：0是[[空集]]，1是[[全集]]，加法是[[对称差]]，乘法是[[交集]]。另一个例子我们考虑''X''的所有[[有限集合|有限]]子集的集合，运算还是对称差和交集。更一般的说通过这些运算任何[[集合域]]都是布尔环。通过[[Stone布尔代数表示定理]]所有布尔环都同构于一个集合域（作为带有这些运算的环处理）。

== 与布尔代数的关系 ==

如果定义

:<math>x \land y = xy</math>
:<math>x \lor y = x + y + xy</math>
:<math>\lnot x = 1 + x</math>

则它们满足在布尔代数中交、并和补的所有公理。所以每个布尔环都成为了布尔代数。类似的，通过如下定义布尔代数成为了布尔环：

:<math>xy = x \land y</math>
:<math>x + y =(x \lor y)\land \lnot(x \land y) =(x \land \lnot y) \lor(\lnot x \land y)</math>

在两个布尔环之间的映射是[[环同态]]，当且仅当它是相应的布尔代数的同态。进一步的，布尔环的子集是[[环理想]]（素环理想，极大环理想），当且仅当它是相应的布尔代数的[[理想 (数学)|理想]]（素理想，极大理想）。布尔环模以环理想的[[商环]]对应于相应的布尔代数模以相应的理想的商代数。

== 性质 ==

所有布尔环''R''满足对于所有''R''中的''x''有''x'' + ''x'' = 0；因此 -''x'' = x，所有元素都是自身的[[加法逆元]]，在布尔环中使用减号没有意义。因为我们知道

:''x'' + ''x'' =(''x'' + ''x'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> + 2''x''<sup>2</sup> + ''x''<sup>2</sup> = ''x'' + 2''x'' + ''x'' = ''x'' + ''x'' + ''x'' + ''x''

并且因为<''R'',+>是[[阿贝尔群]]，我们可以从这个等式的两端减去''x'' + ''x''，这给出了''x'' + ''x'' = 0。类似的证明证实了布尔环是[[交换律|可交换的]]：

:''x'' + ''y'' =(''x'' + ''y'')<sup>2</sup> = ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''yx'' + ''y''<sup>2</sup> = ''x'' + ''xy'' + ''yx'' + ''y''

而这产生了''xy'' + ''yx'' = 0，它意味着''xy'' = −''yx'' = ''yx''（使用上面第一个性质）。

''x'' + ''x'' = 0的性质证实了布尔环是在带有两个元素的[[域 (數學)|域]]'''F'''<sub>2</sub>上的[[结合代数]]，但只在这个方向上。特别是，任何有限布尔环都有[[二的幂]]的[[基数 (数学)|势]]。不是所有的在'''F'''<sub>2</sub>上的[[单作]]结合代数都是布尔环：比如[[多项式环]]'''F'''<sub>2</sub>[''X'']。

任何布尔环''R''模以任何环理想''I''的商环''R''/''I''也是布尔环。类似的，布尔环的任何[[子环]]是布尔环。

在布尔环''R''中所有素环理想''P''是极大环理想： ''R''/''P''的[[商环]]是[[整环]]并其同时是布尔环，所以它必定同构于域'''F'''<sub>2</sub>，这证实了''P''的极大性。因为极大环理想总是素环理想，我们得出素环理想和极大环理想在布尔环中是一致的。

==引用==
*{{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael Francis | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I.G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to Commutative Algebra | publisher=Westview Press | isbn=978-0-201-40751-8 | year=1969}}

[[Category:環論|B]]
[[Category:布尔代数|B]]