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{{noteTA
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在[[数理逻辑]]中，'''布尔值模型'''是普通的[[塔斯基]]主义者的[[结构 (数理逻辑)|结构]]或[[模型论|模型]]概念的推广，在其中[[命题]]的[[真值]]不被限定为"真"和"假"，而是从某个固定的[[完全布尔代数]]中取值，布尔值模型是 [[Dana Scott]]、[[Robert M. Solovay]] 和 [[Petr Vopěnka]] 在1960年代为了帮助理解 [[Paul Cohen]] 的[[力迫 (数学)|力迫]]方法而介入的。

==定义==
固定一个完全布尔代数 ''B'' 和[[一阶逻辑|一阶语言]] ''L''，后者由一组[[常量符号]]、[[函数符号]]和[[关系符号]]构成。''L'' 的布尔值模型因此就由[[全集]] ''M''，它是元素(或'''名字''')的集合，和对这些符号的释义组成。特别是，这个模型必须为 ''L'' 的每个常量符号指派一个 ''M'' 的元素，并为 ''L'' 的每个 ''n''-元函数符号 ''f'' 和 ''n''-元组 &lt;a<sub>0</sub>,...,a<sub>''n''-1</sub>&gt; 中的每一个指派 ''M'' 的元素，这个模型必须为项 ''f''(a<sub>0</sub>,...,a<sub>''n''-1</sub>) 指派 ''M'' 的元素。

关系符号和等式的释义是更加复杂的: 对 ''M'' 每对元素 ''a'', ''b''，模型必须为表达式 ''a''=''b'' 指派一个真值 ||''a''=''b''|| ；这个真值取自 ''B''。类似的，对于 ''L'' 的每个 ''n''-元关系符号 ''R'' 和 ''n''-元组 &lt;a<sub>0</sub>,...,a<sub>''n''-1</sub>&gt; 中的每一个指派 ''M'' 的元素，这个模型必须指派 ''B'' 的一个元素为 ||''R''(a<sub>0</sub>,...,a<sub>''n''-1</sub>)|| 的真值。
: ''需要写些文字来解释在释义等式上的额外限制，保证它是等价关系并且这个关系顾及了等价事物的代换。''

==其他公式和句子的释义==
其他公式可以使用布尔代数来释义；对于命题连结词这是很容易的；你可以简单的在子公式的真值上应用对应的布尔运算符。例如，如果 &phi;(''x'') 和 &psi;(''y'',''z'') 分别是带有一个和两个[[自由变量]]的公式，并且是要代换 ''x''、''y'' 和 ''z'' 为模型的全集的元素 ''a''、''b'' 和 ''c''，则
: <math>\phi(a)\land\psi(b,c)</math>
的真值简单的是
: <math>||\phi(a)\land\psi(b,c)||=||\phi(a)||\ \land\ ||\psi(b,c)|| </math>

对于量化的公式，我们需要利用布尔代数 ''B'' 的完全性。如果 &phi;(''x'') 是带有自由变量 ''x''(可能还有其他我们忽略的自由变量)，则
: <math>||\exists x\phi(x)||=\bigvee_{a\in M}||\phi(a)||</math>
这里右手端要被理解为在 ''B'' 中所有真值 ||&phi;(''a'')|| 的[[上确界]]，这里 ''a'' 的范围在 ''M'' 之上。

一个公式的真值有时被称为它的[[可能性]]。它不能理解为一般意义上概率，它们不是[[实数]]而是完全布尔代数的 ''B'' 的元素。

==集合论的布尔值模型==

给定一个完全布尔代数 ''B''，有一个指示为 ''V<sup>B</sup>'' 的布尔值模型，它是[[冯·诺伊曼全集]] ''V'' 的布尔取值的类似者。(严格的说，''V<sup>B</sup>'' 是[[真类]]，所以我们需要适当的重新解释对于[[模型论|模型]]意味着什么)。非形式的说，我们认为 ''V<sup>B</sup>'' 是像“布尔值集合”的某种东西；换句话说，布尔值集合，不再有定义分明的元素和非元素，而有带有是这个集合的元素的特定“可能性”的对象。这个“可能性”是 ''B'' 的一个元素，不是实数。这不同于[[模糊集合]]的概念。

布尔值集合的(“可能的”)元素，依次也是布尔值集合，它的元素也是布尔值集合，以此类推。要得到布尔值集合的非循环定义，我们需要有层次的建造它们。所以对于 ''V'' 的每个序数 α 我们定义集合 ''V<sub>α</sub><sup>B</sup>'' 为:
:''V<sub>α</sub><sup>B</sup>'' 是 β&lt;α 的 ''V<sub>β</sub><sup>B</sup>'' 的并集，如果 α 是极限序数(包括 0)。 
:''V<sub>α+1</sub><sup>B</sup>'' 是从 ''V<sub>α</sub><sup>B</sup>'' 到 ''B'' 的所有函数的集合。(这种函数表示 ''V<sub>α</sub><sup>B</sup>'' 的“可能的”[[子集]]；如果 ''f'' 是这种函数，则对于任何 ''x''∈''V<sub>α</sub><sup>B</sup>''，''f''(''x'') 是 ''x'' 在这个集合中的可能性)。
我们定义类 ''V<sup>B</sup>'' 是所有集合 ''V<sub>α</sub><sup>B</sup>'' 的并集。 

有可能相对化这个完整构造于 [[Zermelo-Fraenkel 集合论|ZF]] (或者有时它的片段)的某个传递模型 ''M''。在这种情况下我们通过应用上述构造于 ''M'' 内部而构造布尔值模型 ''M''<sup>''B''</sup>。对传递模型的限制是不严重的，因为[[Mostowski塌陷引理]]蕴涵了所有合理的(良基的外延)模型同构于传递模型。(如果模型 ''M'' 不是传递事物而使其变得更加杂乱，因为 ''M'' 对什么意味着是“函数”或“集合”的释义可能不同于“外延”释义)。

接着我们需要在集合 ''V<sup>B</sup>'' 上定义两个 ''B''-值的等于关系和成员关系。(在 ''V<sup>B</sup>'' 上的 ''B''-值关系是从 ''V<sup>B</sup>''&times;''V<sup>B</sup>'' 到 ''B'' 的函数)。为了避免混淆于通常的等式和成员关系，对于在 ''V<sup>B</sup>'' 中的 ''x'' 和 ''y''，它们指示为 ||''x''=''y''|| 和
||''x''∈''y''||。它们定义如下:
:||''x''∈''y''|| 被定义为 ∑<sub>''t''∈Dom(''y'')</sub> ||''x''=''t''|| ∧ ''y''(''t'')   ("''x'' 在 ''y'' 中如果它等于在 ''y'' 中的某个东西")
:||''x''=''y''|| 被定义为 ||''x''⊆''y''||∧||y⊆''x''||   ("''x'' 等于 ''y'' 如果 ''x'' 和 ''y'' 相互都是对方的子集")，这里的
:||''x''⊆''y''|| 被定义为 ∏<sub>''t''∈Dom(''x'')</sub> ''x''(''t'')⇒||''t''∈''y''||   ("''x'' 是 ''y'' 的子集如果所有 ''x'' 的元素都在 ''y'' 中")

符号 ∑ 和 ∏ 意味着我们在完全布尔代数 ''B'' 中采用最小上界和最大下界。第一眼看来上述定义好像是循环的: ||&nbsp; ∈&nbsp;|| 倚赖于 ||&nbsp;=&nbsp;||，它依赖于 ||&nbsp;⊆&nbsp;||，它依赖于 ||&nbsp;∈&nbsp;||。但是闭合检查证实了 ||&nbsp;∈&nbsp;|| 的定义只对于更小阶的元素依赖于 ||&nbsp;∈&nbsp;||，所以 ||&nbsp;∈&nbsp;|| 和 ||&nbsp; =&nbsp;|| 是从 ''V<sup>B</sup>''&times;''V<sup>B</sup>'' 到 ''B'' 的良好定义的函数。

最后我们需要检查在 ''V<sup>B</sup>'' 上的这两个 ''B''-值的关系 ||&nbsp;∈&nbsp;|| 和 ||&nbsp;=&nbsp;|| 使 ''V<sup>B</sup>'' 成为集合论的布尔值模型。没有自由变量的每个一阶集合论的句子都在  ''B'' 中有一个值，我们需要检查等式的所有公理和 ZF 集合论的所有公理(没有自由变量的)有 ''B'' 的元素“真”的值。这是直接了当的，但是要花很长时间因为有很多不同的公理需要检查。

==引用==
* Bell, J. L. (1985) ''Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory'', Oxford. ISBN 978-0-19-853241-5
* {{cite book|author=Jech, Thomas|title=Set theory, third millennium edition (revised and expanded)|publisher=Springer|year=2002|id=ISBN 978-3-540-44085-7}}
* {{cite book|title=Set Theory: An Introduction to Independence Proofs|url=https://archive.org/details/settheoryintrodu0000kune|author=Kunen, Kenneth|publisher=North-Holland|year=1980|id=ISBN 978-0-444-85401-8}}
* {{cite book|author=Kusraev, A. G. and  S. S. Kutateladze|title=Boolean Valued Analysis|
publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1999|id=ISBN 978-0-7923-5921-0}} Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras. 
* {{cite book|author=Manin, Yu. I.|title=A Course in Mathematical Logic|url=https://archive.org/details/courseinmathemat0000mani|publisher=Springer|year=1977|id=ISBN 978-0-387-90243-2}} Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.

==参见==
*[[模型论]]
*[[布尔值函数]]

[[Category:模型论|B]]
[[Category:布尔代数|B]]