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{{noteTA
| G1 = IT
}}

在[[数学]]中，如果某[[自然数]]{{Nowrap|1=''n'' = ''p'' × ''q''}}是[[半素数]]，其中''p''和''q''是两个不同的[[素数]]，且等于3 [[模算數|mod]] 4，则''n''是'''布卢姆数'''。<ref name="HurdBlum">Joe Hurd, Blum Integers (1997), retrieved 17 Jan, 2011 from http://www.gilith.com/research/talks/cambridge1997.pdf {{Wayback|url=http://www.gilith.com/research/talks/cambridge1997.pdf |date=20160305160343 }}</ref>也就是说，对于某个整数''t''，''p''和''q''必须等于{{Nowrap|4''t'' + 3}}。这类整数称作布卢姆素数。<ref name="GoldBell">[[Shafi Goldwasser|Goldwasser, S.]] and [[Mihir Bellare|Bellare, M.]] [http://cseweb.ucsd.edu/~mihir/papers/gb.html "Lecture Notes on Cryptography"] {{Wayback|url=http://cseweb.ucsd.edu/~mihir/papers/gb.html |date=20120421084751 }}. Summer course on cryptography, MIT, 1996-2001</ref>因此，布卢姆数的因子是没有虚部的[[高斯素数]]。前几个布卢姆数为

: [[21]], [[33]], [[57]], [[69]], [[77]], [[93]], [[129]], [[133]], [[141]], [[161]], [[177]], 201, 209, 213, 217, 237, 249, 253, 301, 309, 321, 329, 3,41, 381, 3 413, 417, 437, 453, 469, 473, 489, 497, ...{{OEIS|id=A016105}}

{{Cn|布卢姆数取名自计算机科学家[[曼纽尔·布卢姆]]。|time=2022-07-05}}

== 性质 ==
给定某布卢姆数{{Nowrap|1=''n'' = ''p'' × ''q''}}，''Q''<sub>''n''</sub>是模''n''的所有[[二次剩余]]，且与''n''和{{Nowrap|''a'' ∈ ''Q''<sub>''n''</sub>}}互质。因此：<ref name="GoldBell"/>

* ''a''有四个模''n''的平方根，其中正好一个也在''Q''<sub>''n''</sub>中。
* ''Q''<sub>''n''</sub>中''a''的唯一平方根称为''a''模''n''的主平方根。
* 函数''f'' : ''Q''<sub>''n''</sub> → ''Q''<sub>''n''</sub>，其中''f''(''x'')被定义为''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup> mod ''n''，是一个置换。''f''的反函数为：''f''{{i sup|−1}}(''x'') = {{nowrap|''x''<sup>((''p''&minus;1)(''q''&minus;1)+4)/8</sup> mod ''n''}}。<ref>{{Cite book|title=Handbook of applied cryptography|url=https://archive.org/details/handbookappliedc00mene_146|last=Menezes|first=Alfred|last2=van Oorschot|first2=Paul|last3=Vanstone|first3=Scott|date=1997|publisher=CRC Press|isbn=0849385237|location=Boca Raton|oclc=35292671|page=[https://archive.org/details/handbookappliedc00mene_146/page/n102 102]}}</ref>
* 对于每个布卢姆整数''n''，-1的[[雅可比符号]] mod ''n''为+1，尽管-1不是''n''的二次余数：

:: <math>\left(\frac{-1}{n}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{-1}{q}\right)=(-1)^2=1</math>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:整数数列]]