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{{NoteTA |G1=Math}}
在[[统计学]]中，'''巴苏定理'''（Basu's Theorem）指出任何[[完全性 (统计学)|有界完全]]的[[充分统计量]]与任何[[辅助统计量]][[独立 (概率论)|独立]]。 这是Debabrata Basu于1955年发现的结论。<ref>{{cite journal
 |last=Basu |first=D. |authorlink=Debabrata Basu
 |title=On Statistics Independent of a Complete Sufficient Statistic
 |journal= [[Sankhya (journal)|Sankhyā]]
 |volume=15 |issue=4 |year=1955 |pages=377–380
 |mr=74745
 |zbl=0068.13401
 |jstor=25048259
}}</ref>

== 定理陈述 ==
设<math>P_\theta</math>是可测空间<math>(X, \Sigma)</math>上的一族分布。如果<math>T</math>是<math>\theta</math>的充分且有界完全的统计量，<math>A</math>是关于<math>\theta</math>的辅助统计量，那么<math>T</math>独立于<math>A</math>。

== 证明 ==
对任意博雷尔集<math>B</math>，构造函数<math>h_B(T)\equiv P_\theta(A\in B|T)-P_\theta(A\in B)</math>。注意到记号<math>h_B</math>是合理的，因为这一函数不取决于<math>\theta</math>。第一项不取决于<math>\theta</math>是因为<math>T</math>的充分性，第二项不取决于<math>\theta</math>是因为<math>A</math>是关于<math>\theta</math>的辅助统计量。注意到<math>h_B</math>有界并且期望为0。因此，<math>T</math>的有界完全性保证了<math>h_B</math>几乎处处为0。由于<math>B</math>可以是任意博雷尔集，定理得证。

== 例子 ==

=== 正态分布（方差已知）的样本期望值独立于样本方差 ===
让 ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>,..., ''X''<sub>''n''</sub> 是独立同分布的[[正态分布]][[随机变量]]，其中方差<math>
\sigma^2</math>已知，均值<math>\mu</math>未知。

关于参数''<math>\mu</math>，''可以证明样本均值
:<math>\widehat{\mu}=\frac{\sum X_i}{n},</math>
是充分完全统计量，并且样本方差
:<math>\widehat{\sigma}^2=\frac{\sum \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1},</math>
是辅助统计量，即其分布并不依赖于''<math>\mu</math>。''

因此，巴苏定理指出二者独立。

尽管上述证明是借助方差已知均值未知的正态分布模型完成的，这一结论并不只在该情况下成立。实际上，无论方差或均值已知与否，正态分布的样本均值和样本方差都是独立的。更进一步，正态分布是唯一具有这一性质的分布<ref>{{cite journal
 |doi=10.2307/2983669
 |first=R.C. |last=Geary |authorlink=Roy C. Geary
 |year=1936
 |title=The Distribution of the "Student's" Ratio for the Non-Normal Samples
 |journal=Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society
 |volume=3 |issue=2 |pages=178–184
 |jfm=63.1090.03
 |jstor=2983669
}}</ref>。

== 参考文献 ==

{{Authority control}}
[[Category:统计定理]]
[[Category:獨立 (機率論)]]
[[Category:包含证明的条目]]