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'''巴特勒–福尔默方程'''（{{lang-en|Butler–Volmer equation}}），也称为'''{{le|蒂博爾·埃爾第-格魯兹|Tibor Erdey-Grúz|埃爾第-格魯兹}}–福爾默方程'''（Erdey-Grúz–Volmer equation），是[[电化学]]领域的一个最基本的动力学关系。它描述了电极上的电流如何随电极电势变化，考虑到[[陰極]]方向（cathodic）和[[陽極]]方向（anodic）的反应会出现在同一个[[电极]]上：<ref>{{cite journal|author=易先玉|title=多电子电极反应的机理|journal=四川师范大学学报（自然科学版）|year=1989|issue=1|page=76-81|url=http://jsnu.paperopen.com/oa/DArticle.aspx?type=view&id=198901020|access-date=2018-05-02|archive-date=2019-08-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20190815113745/http://jsnu.paperopen.com/oa/DArticle.aspx?type=view&id=198901020|dead-url=yes}}</ref><ref>{{cite book|last=Adler|first=S.B.|chapter=Chapter 11: Sources of cell and electrode polarisation losses in SOFCs|editor1-last=Kendall|editor1-first=Kevin|editor2-last=Kendall|editor2-first=Michaela|title=High-Temperature Solid Oxide Fuel Cells for the 21st Century|edition=第二版|publisher=Academic Press|doi=10.1016/C2011-0-09278-5|isbn=9780124104532}}</ref>

:<math> j =  j_0 \cdot \left\{ \exp \left[ \frac { \alpha_a zF } {RT} (E - E_{eq}) \right] - \exp \left[ - { \frac { \alpha_c zF } {RT}} (E - E_{eq}) \right] \right\} </math>

或者更紧凑地写为：

:<math>j= j_0 \cdot \left\{ \exp \left[ \frac { \alpha_a zF \eta} {RT} \right] - \exp \left[ - { \frac { \alpha_c zF \eta} {RT}} \right] \right\} </math>

[[File:Current_density_versus_potential_according_to_butler_volmer_equation.svg|thumb|400px|上图是电流密度对过电位η的函数图，其中阳极方向和阴极方向电流密度为 j<sub>a</sub> 和 j<sub>c</sub>，α=α<sub>a</sub>=α<sub>c</sub>=0.5，j<sub>0</sub> = 1 mAcm<sup>-2 </sup>（接近铂和钯的值）。下图是对数尺度的图，在不同的α取值下。]]

其中：
* <math>j</math>：电极的[[电流密度]]，A/m<sup>2</sup>（定义为 ''i = I/A'' ）
* <math>j_o</math>：{{le|交换电流密度|exchange current density}}，A/m<sup>2</sup>
* <math>E</math>：电极电势，V
* <math>E_{eq}</math>：平衡态电势，V
* <math>T</math>：[[热力学温度]]，K
* <math>z</math>：该电极反应中涉及的电子数目
* <math>F</math>：[[法拉第常数]]
* <math>R</math>：[[氣體常數]]
* <math>\alpha_c</math>：正极（阴极）方向[[电荷转移因子|电荷传递系数]]，无量纲
* <math>\alpha_a</math>：负极（阳极）方向电荷传递系数，无量纲
* <math>\eta</math>：活化[[過電位]]（定义为 <math>\eta = (E - E_{eq})</math> ）。
右边的图展示了<math>\alpha_a = 1 - \alpha_c </math>的情况。

该方程的名字是为了纪念化学家{{le|约翰·阿尔弗雷德·瓦伦丁·巴特勒|John Alfred Valentine Butler}}<ref>{{Cite journal|title=John Alfred Valentine Butler, 14 February 1899 - 16 July 1977|last1=Mayneord|first1=W. V.|authorlink1=William Valentine Mayneord|journal=Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society|doi=10.1098/rsbm.1979.0004|year=1979|volume=25|pages=144-178}}</ref>和{{le|马克斯·福尔默|Max Volmer}}。

== 质量传递的控制 ==
当某个电极反应是被该电极的电荷传递（而不是被电极表面与主体电解质之间的质量传递）控制时，以上的巴特勒-福尔默公式的形式是有效的。尽管如此，巴特勒-福尔默公式在电化学中的使用十分广泛，并且常常被认为是“电极动力学现象的核心”。<ref>J. O'M. Bockris, A.K.N.Reddy, and M. Gamboa-Aldeco, "Modern Electrochemistry 2A. Fundamentals of Electrodics.", Second Edition, Kluwer Academic/Plenum Publishers, p.1083, 2000.</ref>

在电流接近极限的区间，也即电极反应过程受质量传递（[[传质]]）控制时，电流密度的值为：
:<math>i_{\text{limiting}} = \frac {zFD_{eff}} {\delta} C^*</math>

其中： 
* D<sub>eff</sub> 是有效[[质量扩散率|扩散系数]]（已考虑可能存在的{{le|迂曲度|tortuosity}}）；
* δ 是扩散层的厚度（扩散距离）；
* C<sup>*</sup> 是电活性物质（限制反应速率的物质）在电解质主体体积的浓度。

更一般地，考虑质量传递的影响，Butler-Volmer方程可以写成：<ref>Allen Bard and Larry Faulkner, "Electrochemical Methods. Fundamentals and Applications". 2nd edition, John Wiley and Sons, Inc., 2001.</ref>
:<math> i = i_0  \left\{ {\frac {C_o(0,t)} {C_o^*}} \exp \left[ \frac { \alpha_a nF \eta} { RT } \right] - {\frac {C_r(0,t)} {C_r^*}} \exp \left[ - { \frac { \alpha_c nF \eta} { RT } } \right] \right\} </math>

其中
* i 是电流密度，A/m<sup>2</sup>,
* C<sub>o</sub> 和 C<sub>r</sub> 分别是待氧化和待还原的物质的浓度，
* C(0,t)是依赖于时间的浓度，与表面零距离。

上述的形式被简化为传统（本文顶部的）形式，当活性物质的表面浓度和主体体积浓度相等时。

== 极限情况 ==
在两种极限情况下，巴特勒-福尔默公式有如下形式：

* 低过电势区间（即当 E≈E<sub>eq</sub> 时；此时称为“极化电阻”），巴特勒-福尔默公式简化为：
: <math>i=i_0\frac {zF} {RT} (E-E_{eq})</math>;

* 高过电势区间，此时巴特勒-福尔默方程简化为[[塔菲尔方程]]：
: 对阴极方向的反应，<math>E-E_{eq} = a_{c} - b_{c} \log(i)</math>，当 E<<E<sub>eq</sub> 时
: 对阳极方向的反应，<math>E-E_{eq} = a + b \log(i)</math> ，当 E>>E<sub>eq</sub> 时

其中a和b是常量（对于某反应、在某温度下），被称为塔菲尔方程常数。对于阴极方向和阳极方向的反应过程，a和b的理论值是不同的。

== 参见 ==
* {{le|Advanced Simulation Library}}软件
* [[能斯特方程]]
* [[戈德曼方程]]

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

{{电分析}}

[[Category:物理化学]]
[[Category:电化学方程]]