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{{NoteTA
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在[[泛函分析]]中，'''巴拿赫空間'''（{{lang-en|Banach space}}）是[[完備空間|完備]][[賦範向量空間]]。更精確地說，巴拿赫空間是一個具有[[範數]]並對此範數[[完備空間|完備]]的[[向量空間]]。其完备性体现在，空间内任意向量的[[柯西序列]]总是收敛到一个良定义的位于空间内部的[[極限 (數列)|極限]]。

巴拿赫空間有兩種常見的類型：「實巴拿赫空間」及「複巴拿赫空間」，分別是指將巴拿赫空間的向量空間定義於由實數或複數組成的域之上。許多在數學分析中學到的[[向量空間的維數|無限維]][[函數空間]]都是巴拿赫空間，包括由[[連續函數]]（[[緊緻赫斯多夫空間上的連續函數]]）組成的空間、由[[勒貝格積分|勒貝格可積]]函數組成的[[Lp空间|L<sup>p</sup>空間]]及由[[全純函數]]組成的[[哈代空間]]。上述空間是[[拓撲向量空間]]中最常見的類型，這些空間的拓撲都自來其[[範數]]。

巴拿赫空間是以波蘭數學家[[斯特凡·巴拿赫]]的名字來命名，他和[[漢斯·哈恩]]及[[爱德华·赫利]]於1920-1922年提出此空間<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}</ref>。

==例子==
以下令[[體 (數學)|體]]{{math|'''K'''}}為{{math|'''R'''}}或{{math|'''C'''}}其中之一。

常見的[[歐氏空間]] '''K'''<sup>''n''</sup>（其[[範數]]為歐幾里德範數，''x''&nbsp;= (''x''<sub>1</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub>)的範數定义為||''x''||&nbsp;= (''x''<sub>1</sub><sup>2</sup>+…+ ''x''<sub>''n''</sub><sup>2</sup>)<sup>1/2</sup>）是巴拿赫空間。因此，因為在每一個有限維'''K'''向量空間上的所有範數均等價，所以每一個具有任意範數的有限維'''K'''向量空間都是巴拿赫空間。

考慮一個由定義於[[閉區間]][''a'',&nbsp;''b''] 上的所有[[連續函數]]''ƒ''&nbsp;: [''a'',&nbsp;''b'']&nbsp;→ '''K''' 所組成的空間。這個空間會成為一個巴拿赫空間（標記為C[''a'',&nbsp;''b'']），若存在一個定義在此空間中的洽當範數<math>\Vert f\Vert</math>。此類範數可以定義為<math display="inline">\Vert f\Vert = \sup_{ x\in \left[ a,b\right]}  \left|f(x)\right| </math>，稱之為[[一致範數|最小上界範數]]。上述範數是良好定義的，因為定義於閉區間的連續函數都是有界的。

若''f'' 為一個定義於閉區間上的連續函數，則此函數為有界的，並其定義如上的最小上界可由[[極值定理]]取得，因此可以用最大值來取代最小上界。在此例之中，其範數也稱為「最大值範數」。

上述空間也可推廣至由所有連續函數''X''&nbsp;→ '''K'''（其中''X'' 為一[[緊致空間]]）或所有「有界」連續函數''X''&nbsp;→ '''K'''（其中''X''為任意[[拓撲空間]]）所組成的空間，標記為C(''X'')；或由所有有界函數''X''&nbsp;→ '''K'''（其中''X'' 為任意[[集合 (数学)|集合]]）所組成的空間，標記為B(''X'')。在上述所有的例子之中，甚至可以將函數相乘，而乘積還會在原空間內；亦即，上述所有例子實際上都會是[[有單位的]][[巴拿赫代數]]。

對每一個[[開集]]Ω&nbsp;⊆&nbsp;'''C'''，由所有有界[[解析函數]]''u''&nbsp;:&nbsp;Ω&nbsp;→&nbsp;'''C''' 所組成的集合''A''(Ω) 會是一個在最小上界範數下的複巴拿赫空間。這可以用解析函數的[[莫雷拉定理#一致极限|一致極限]]也會是解析的這個事實來證明。

設''p''&nbsp;≥ 0 為一實數，考慮由'''K''' 內元素排成的所有其[[級數|無窮級數]]∑<sub>i</sub> |''x''<sub>''i''</sub>|<sup>''p''</sup> 為有限的無限[[序列]](''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, …)所組成的空間。這個級數的p次方根即定義為此序列的''p''-範數。上述空間和範數即會形成一個巴拿赫空間，標記為ℓ<sup> ''p''</sup>。

巴拿赫空間ℓ<sup>∞</sup> 是由所有在'''K'''內元素排成的所有有界序列所組成的空間；此類序列的範數定義為序列中每個數字的絕對值的最小上界。

再者，設''p''&nbsp;≥ 1 為一實數，可考慮由所有其|''ƒ''|<sup>''p''</sup>為[[勒貝格積分|勒貝格可積]]的函數''ƒ''&nbsp;: [''a'',&nbsp;''b'']&nbsp;→ '''K'''所組成的空間。此函數積分的''p'' 次方根即定義為其範數。但上述空間和範數不能形成一個巴拿赫空間，因為存在一個範數為零的非零函數。但可定義一個[[等價關係]]：''f'' 及''g'' 為等價[[若且唯若]]''ƒ''−''g'' 的範數為零。如此，其[[等價類]]即可形成一個巴拿赫空間，標記為''L''<sup>''p''</sup>([''a'',&nbsp;''b''])。在這裡使用勒貝格積分，而不是[[黎曼積分]]是有原因的，因為黎曼積分無法形成一個完備空間。這個空間可以再被推廣，詳細可見[[Lp空間|L<sup>p</sup>空間]]。

==线性变换空间==
假设 ''V'' 和 ''W'' 是同一个数域 '''K''' 上的巴拿赫空间，所有线性变换 ''A'' : ''V'' → ''W'' 的集合记为 L(''V'', ''W'')。注意：在无限维空间中，线性变换未必是连续的。L(''V'', ''W'') 本身是一个向量空间。

定义 ||''A''|| = sup { ||''Ax''|| : ||''x''|| ≤ 1 }，可以验证这是 L(''V'', ''W'') 上的一个范数，使得 L(''V'', ''W'') 成为一个巴拿赫空间。如果还将映射的复合运算定义为线性变换的乘法，则 L(''V'') = L(''V'', ''V'') 构成一个有单位元的[[巴拿赫代数]]。

== 另見 ==
* {{鏈解|空间 (数学)}}
** [[弗雷歇空间]]
** {{鏈解|哈代空間}}
** {{鏈解|希尔伯特空间}}
** {{鏈解|Lp空间|L<sup>p</sup>空間}}
** {{鏈解|索伯列夫空间}}
* [[巴拿赫代數]]
* {{鏈解|对偶空间}}

== 參考資料 ==
{{reflist}}
{{泛函分析}}

{{Banach spaces}}

{{Authority control}}
[[category:泛函分析|B]]
[[Category:赋范空间|B]]
[[Category:多重线性代数|B]]
[[Category:波兰科技]]