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{{NoteTA |G1=Math }}

{{Otheruses|差分信号|subject=数学当中的一种函数或运算|other=电子系统设计与信号传输中的差分传输}}

'''差分'''，又名'''差分函數'''或'''差分運算'''，一般是指'''有限差分'''（{{lang-en|Finite difference}}），是数学中的一个概念，将原函数 <math>f(x)</math> [[映射]]到 <math>f(x+a)-f(x+b)</math>。差分運算，相應於微分運算，是[[微积分]]中重要的一个概念。
{{微積分學}}

==定义==
差分分为'''前向差分'''和'''逆向差分'''。

===前向差分===

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数<math>\ f(x)</math>，如果在等距节点：
:<math>x_k = x_0 + kh, (k = 0,1,...,n)</math>
:<math>\ \Delta f(x_k)=f(x_{k+1})-f(x_k)</math>
则称<math>\ \Delta f(x)</math>，函数在每个小区间上的增量<math>y_{k+1} - y_k</math>为<math>\ f(x)</math>一阶差分。<ref>科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P204.</ref>

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是[[微分]]在[[离散]]的函数中的等效运算。[[差分方程]]的解法也与[[微分方程]]的解法相似。当<math>\ f(x)</math>是[[多项式]]时，前向差分为Delta算子（称<math>\Delta</math>为差分[[算子]]<ref>科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅（编） 第六章 第2节 Newton插值. P205.</ref>），一种[[线性算子]]。前向差分会将多项式阶数降低 1。

===逆向差分===

对于函数<math>\ f(x_k)</math>，如果：
:<math>\ \nabla f(x_k)=f(x_k)-f(x_{k-1}).\,</math>
则称<math>\ \nabla f(x_k)</math>为<math>\ f(x)</math>的一阶逆向差分。

==差分的阶==
'''一阶差分'''的差分为'''二阶差分'''，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

<math>\ \Delta^n [f](x)</math>为<math>\ f(x)</math>的<math>\ n</math>阶差分。

如果
:{|
|<math>\ \Delta^n [f](x) </math>
|<math>\ = \Delta \{ \Delta^{n-1} [f](x) \} </math>
|-
|
|<math>\ = \Delta^{n-1} [f](x+1) - \Delta^{n-1} [f](x)</math>
|}
根据数学归纳法，有
:<math>\ \Delta^n [f](x) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} (-1)^{n-i} f(x+i)</math>
其中，<math>\ {n \choose i}</math>为[[二项式系数]]。

特别的，有
:<math>\ \Delta^2 [f](x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x) </math>

前向差分有时候也称作[[数列]]的[[二项式变换]]

==差分的性质==
对比[[解析函数]]中的[[微分]]的属性，差分的性质有：

*如果C为[[常数]]，则有
::<math>\Delta C=0</math>
*[[线性]]：如果 <math>\ a</math> 和 <math>\ b</math> 为常数，则有
::<math>\Delta (af+bg) = a \Delta f + b \Delta g </math>
*[[乘法]]定则(此处步长<math>h\equiv1</math>)：
::<math>\Delta (fg) = f \Delta g + g \Delta f + \Delta f \Delta g </math>
::<math>\nabla (f g) = f \nabla g + g \nabla f - \nabla f \nabla g </math>
*[[除法]]定则：
::<math>\nabla \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \nabla f & \nabla g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \nabla g \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} </math>
::<math>\Delta \left( \dfrac{f}{g} \right) = \dfrac{1}{g} \det \begin{bmatrix} \Delta f & \Delta g \\ f & g \end{bmatrix} \det {\begin{bmatrix} g & \Delta g \\ -1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} </math>
:或
::<math>\nabla\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \nabla f - f \nabla g}{g \cdot (g - \nabla g)}</math>
::<math>\Delta\left( \frac{f}{g} \right)= \frac {g \Delta f - f \Delta g}{g \cdot (g + \Delta g)}</math>
*[[级数]]：
::<math>\sum_{n=a}^{b} \Delta f(n) = f(b+1)-f(a)</math>
::<math>\sum_{n=a}^{b} \nabla f(n) = f(b)-f(a-1)</math>

==牛頓級數==
{{seealso|均差}}
[[File:Principia1846-466.png|thumb|300px|right|《[[自然哲學的數學原理]]》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。]]
'''牛頓插值公式'''也叫做'''[[牛頓多項式|牛頓級數]]'''，由“牛頓前向[[差分方程]]”的項組成，得名於[[伊薩克·牛頓]]爵士，最早发表为他在1687年出版的《[[自然哲學的數學原理]]》中第三編“宇宙體系”的引理五<ref>Newton, Isaac, (1687). [http://books.google.com/books?id=KaAIAAAAIAAJ&dq=sir%20isaac%20newton%20principia%20mathematica&as_brr=1&pg=PA466#v=onepage&q&f=false ''Principia'', Book III, Lemma V, Case 1]</ref>，此前[[詹姆斯·格雷果里]]於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續[[泰勒級數|泰勒展開]]的離散對應。

===單位步長情況===
當<math>x</math>值間隔為單位步長<math>1</math>時，有：
: <math>\begin{align}
f(x) &= f(a) + \frac {x-a} {1} \left[\Delta^1 [f](a) + \frac {x-a-1} {2}\left( \Delta^2 [f](a) + \cdots  \right) \right]
\\ 
 &= f(a) + \sum_{k=1}^n \Delta^k [f](a)  \prod_{i=1}^{k} \frac{[(x-a)-i+1]}{i} \\
 &= \sum_{k=0}^n {x-a \choose k}~ \Delta^k [f](a) \\
\end{align} 
</math> 
這成立於任何[[多項式]]函數和大多數但非全部[[解析函數]]。這裡的表達式
:<math>{x \choose k} = \frac{(x)_k}{k!} \quad\quad (x)_k=x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)</math>
是[[二項式係數]]，其中的<math>(x)_k</math>是“[[下降階乘冪]]”(另一種常見的標記法為<math>x^\underline{k}</math>)，[[空積]]<math>(x)_0</math>被定義為<math>1</math>。這裡的<math>\Delta_k\left[f\right](x)</math>是“前向差分”的特定情況，即間距<math>h=1</math>。

===實例===
為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例[[數列]] 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個[[多項式]]重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x<sub>0</sub>（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，
:<math>
\begin{matrix}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}
\hline
 x & \Delta^0 & \Delta^1 & \Delta^2 & \Delta^3 \\
\hline
1&\underline{1}& & &\\
 & &\underline{3}& &\\
2&4& &\underline{2} &\\
 & &5& &\underline{0}\\
3&9& &2 &\\
 & &7& &\\
4&16& & &\\
\hline
\end{array}
& 
\quad 
\begin{align}
f(x)&=\Delta^0 +\Delta^1 \dfrac{(x-x_0)}{1!} + \Delta^2\dfrac{(x-x_0)(x-x_0-1)}{2!} \quad (x_0=1)\\
&=1 + 3 \cdot \dfrac{x-1}{1} + 2 \cdot \dfrac{(x-1)(x-2)}{2} \\
&=1 + 3(x-1) + (x-1)(x-2) \\
&=x^2
\end{align}
\end{matrix}
</math>

===一般情況===
對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算[[均差]]，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：
: <math>
\begin{align}
f(x) &= f(a) + \frac {x-a} {h} \left[ \Delta_h^1[f](a) + \frac {x-a-h} {2h}\left(\Delta_h^2[f](a) + \cdots \right) \right] \\
 &= f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!h^k} \prod_{i=0}^{k-1} [(x-a)-ih] \\
 &=f(a) + \sum_{k=1}^n \frac{\Delta_h^k[f](a)}{k!} \prod_{i=0}^{k-1} \left(\frac{x-a}{h}-i\right)
\end{align} </math>
在最終公式中h<sup>k</sup>被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

==参考==
{{reflist|2}}

==参见==
* [[递归]]
* [[招差术]]
* [[遞迴關係式]]
* [[拉格朗日多项式]]
* [[吉尔布雷斯猜想]]
* [[牛顿多项式]]
* [[牛顿级数表]]
* [[泰勒级数]]
* [[时标微积分]]
* [[分部求和法]]

==参考文献==
*{{citation | first1 = Philippe | last1 = Flajolet | authorlink2 = Robert Sedgewick (computer scientist) | first2 = Robert | last2 = Sedgewick | url = http://www-rocq.inria.fr/algo/flajolet/Publications/mellin-rice.ps.gz | title = Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals | journal = Theoretical Computer Science | volume = 144 | issue = 1–2 | year = 1995 | pages = 101–124 | doi = 10.1016/0304-3975(94)00281-M }}{{dead link|date=2017年12月 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}.

[[Category:有限差分| ]]
[[Category:数值微分方程]]
[[Category:数学分析]]
[[Category:阶乘与二项式主题]]
[[Category:微积分中的线性算子]]
[[Category:数值分析]]