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[[數學]]上，'''嵌入'''是指一個[[數學結構]]經[[映射]]包含到另一個結構中。某個物件''X''稱為嵌入到另一個物件''Y''中，是指有一個保持結構的[[單射]]''f'': ''X''→''Y''，這個[[映射]]''f''就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在[[範疇論]]中稱為[[態射]]。

要表達''f'': ''X''→''Y''是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號<math>f\colon X\hookrightarrow Y</math>。但這個帶鉤箭號有時只留作表示[[包含映射]]時用。

==拓撲與幾何==
===點集拓撲===
[[拓撲學]]上，一個嵌入是一個單射，使得[[拓撲空間]]到其[[像 (數學)|像]]上為[[同胚]]。換言之，兩個拓撲空間''X'', ''Y''之間的一個連續單射''f'': ''X''→''Y''是一個'''拓撲嵌入'''，如果''f''給出''X''與''f''(''X'')間的[[同胚]]（空間''f''(''X'')上的拓撲是由''Y''誘導的[[子空間拓撲]]。）凡是連續單射的[[開映射]]或[[閉映射]]都是拓撲嵌入，不過一個嵌入也可能既非[[開映射]]也非[[閉映射]]：當其[[像 (數學)|像]]''f''(''X'')不是''Y''中的[[開集]]或[[閉集]]時，便發生這種情況。

===微分拓撲===
在[[微分拓撲]]中，令''M'', ''N''為[[光滑流形]]，而''f'': ''M''→''N''為[[光滑映射]]。則如果''f''的[[前推 (微分)|微分]]處處皆為單射，則稱''f''為一個[[浸入]]。此時的'''嵌入'''定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入，又稱為'''光滑嵌入'''。換言之，嵌入是[[微分同胚]]於其像，所以嵌入的像必是[[子流形]]。[[浸入]]是一個局部嵌入，即在每點<math>x\in M</math>，都有[[鄰域]]<math>U\ni x</math>，使得限制到這鄰域上的<math>f|_U\colon U\to N</math>是嵌入。如果''M''是[[緊緻]]流形，則''M''的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一個重要情形是在''N''為<math>\mathbb R^n</math>時。這情形引起興趣之處，在於對任何''m''維流形''M''，''n''需多大才保證有從''M''到<math>\mathbb R^n</math>的光滑嵌入。[[惠特尼嵌入定理]]指''n'' = 2''m''便足夠，而且是最好的[[上界]]。例如嵌入一個''m''維的[[實射影平面]]便需要''n'' = 2''m''。

如果將光滑嵌入的定義中，''f''為光滑映射的條件放寬為C<sup>''k''</sup>映射，其中''k''是[[正整數]]，而其餘條件不變，則''f''稱為C<sup>''k''</sup>'''嵌入'''。
===黎曼幾何===
在[[黎曼幾何]]中，設(''M'',''g''), (''N'',''h'')是[[黎曼流形]]，一個'''等距嵌入'''是一個光滑嵌入''f'': ''M''→''N''，令[[黎曼度量]]保持不變，即將''h''由''f''[[拉回 (微分幾何)|拉回]]等於''g''，就是<math>g=f^*(h)</math>。更明確言之，對''M''中任何一點''x''，及任何兩個[[切空间|切向量]]
:<math>v,w\in T_x(M)</math>
都有
:<math>g(v,w)=h(df(v),df(w)).</math>

===度量空間===
設''X'', ''Y''為[[度量空間]]，映射<math>f\colon X\to Y</math>是一個拓撲嵌入。如果''f''和<math>f^{-1}</math>（定義在''f''(''X'')上）都是[[利普希茨連續]]，則稱''f''為'''雙利普希茨嵌入'''(bi-Lipschitz embedding)。換言之，如果存在常數<math>L \ge 1</math>，使得
:<math>\frac 1 L\ d_X(x,y) \le d_Y(f(x),f(y)) \le L\ d_X(x,y)</math>，
則稱''f''為(''L''-)雙利普希茨嵌入。

一個更廣義的嵌入是'''擬對稱嵌入'''(quasisymmetric embedding)。如前設''f''為拓撲嵌入。''f''稱為(''η''-)'''擬對稱嵌入'''，如果存在[[同胚]]<math>\eta\colon [0,\infty)\to[0,\infty)</math>（即''η''(0)=0且''η''為[[單調函數|嚴格遞增]]的[[連續函數]]），使得''X''中任何三點''x'', ''a'', ''b''若滿足
:<math>d_X(x,a) \le t\ d_X(x,b)</math>，
其中''t'' > 0，則有
:<math>d_Y(f(x),f(a)) \le \eta(t)\ d_Y(f(x),f(b)).</math>
若''f''是一個''L''-雙利普希茨嵌入，可令<math>\eta(t)=L^2 t</math>，則''f''是''η''-擬對稱嵌入。

雙利普希茨嵌入的一個相關概念是[[擬等距同構|擬等距嵌入]]。擬等距嵌入雖名為嵌入，卻不一定是嵌入，因其未必是[[單射]]。

==代數==
===域論===
[[域論]]上，從一個[[域 (數學)|域]]''E''到另一個域''F''中的一個嵌入，是一個[[環同態]]σ: ''E'' → ''F''。因為環同態的[[核 (代数)|核]]是一個[[理想 (环论)|理想]]，而域的理想只有0及整個域本身，又σ(1)=1，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是[[單態射]]，而''E''和在''F''中的σ(''E'')[[同構]]。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。

==序理論==
關於序理論中的嵌入，可參見[[序嵌入]]。

==參考==
* {{citation| first = R.W. | last = Sharpe | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1997| isbn = 0-387-94732-9}}.
* {{citation| first = F.W. | last = Warner | title = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1983| isbn = 0-387-90894-3}}.
* {{citation| first = Juha | last = Heinonen | title = Lecture on Analysis on Metric Spaces | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 2001| isbn = 0-387-95104-0}}.

[[Category:抽象代數]]
[[Category:點集拓撲學]]
[[Category:微分拓撲學]]
[[Category:度量幾何]]
[[Category:微分幾何]]
[[Category:函數]]