查看“︁峰度”︁的源代码

{{NoteTA |G1=Math
|1= zh-hans:矩; zh-tw:動差;zh-hant:矩
|2= zh-hans:矩阵; zh-tw:矩陣;zh-hant:矩陣
|3= zh-cn:原点矩; zh-tw:原動差
|4= zh-cn:中心矩; zh-tw:主動差
}}

'''峰度'''（{{lang-en|Kurtosis}}），亦稱'''尖度'''，在[[統計學]]中衡量[[實數]][[隨機變量]][[概率分布]]的峰態。峰度高就意味著[[方差]]增大是由低頻度的大於或小於[[平均值]]的極端差值引起的。 

[[Image:KurtosisChanges.png|thumb|200px|遠紅光對[[小麥]][[胚芽鞘]][[向地性|向地反應]]的平均速度沒有影響，但是峰度由低峰態轉變成了尖峰態 (−0.194 → 0.055)]]

==定義==
[[母體]]峰態係數定義為：
:<math>\frac{\mu_4}{\sigma^4},\! </math>
即四階[[標準矩]]，其中<math>\mu_4</math>是四階[[主動差]]，<math>\sigma</math>是[[標準差]]。

在更通常的情況下，峰度被定義為四階[[累積量]]除以二階累積量的平方，它等於四階中心矩除以[[概率分布]]方差的平方再減去3：
:<math>\gamma_2 = \frac{\kappa_4}{\kappa_2^2} = \frac{\mu_4}{\sigma^4} - 3</math>

這也被稱為超值峰度（excess kurtosis）。「減3」是為了讓[[正態分布]]的峰度為0。

假定<math>Y</math>為<math>n</math>個獨立變量之和，且這些變量和<math>X</math>具有相同的分布，那麽：<math>\mathrm{Kurt}[Y] = \frac{\mathrm{Kurt}[X]}{n}</math>，
但如果峰度被定義為：<math>\frac{\mu_4}{\sigma^4}</math>，公式可變得更加複雜。

更一般地說，假定<math>X_1,\ldots,X_n</math>為方差相等的獨立隨機變量，那麼：

:<math>\operatorname{Kurt}\left(\sum_{i=1}^n X_i \right) = {1 \over n^2} \sum_{i=1}^n \operatorname{Kurt}(X_i),</math>
而定義中如果不包含「減3」就無法成立。

如果超值峰度為正，稱為'''高狹峰'''（leptokurtic）。如果超值峰度為負，稱為'''低闊峰'''（platykurtic）。

==樣本峰度==
對於具有''<math>n</math>''個值的[[樣本 (統計學)|樣本]]，'''樣本峰度'''為：

:<math> g_2 = \frac{m_4}{m_{2}^2} -3 = \frac{\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^4}{\left(\tfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2\right)^2} - 3 </math>

其中<math>m_4</math>是四階樣本中心矩，<math>m_2</math>是二階中心矩（即使[[樣本方差]]），<math>x_i</math>是第<math>i^{th}</math>個值，<math>\overline{x}</math>是[[樣本平均值]]。注意此处计算方差的时候除数是<math>N</math>，而不是单独计算样本方差的<math>(N-1)</math>。

有時候也使用公式：
:<math> D = {1 \over n} \sum_{i=1}^n{ (x_i - \bar{x})^2} </math>,
:<math> E = {1 \over n D^2} \sum_{i=1}^n{ (x_i - \bar{x})^4} - 3 </math>
其中，<math>n</math>為樣本大小，<math>D</math>為事先計算的方差，<math>x_i</math>為第<math>i</math>個測量值，<math>\bar{x}</math>為事先計算的[[算術平均數]]。

在一些统计软件中，其公式有所差别。如EXCEL，计算样本的峰度公式如下：
:<math> \text{Kurtosis} = {n(n+1) \over (n-1)(n-2)(n-3)}\sum_{i=1}^n({x_i-\bar{x} \over \text{StDev}})^4 - {3(n-1) ^2\over (n-2)(n-3)} </math>

==參見==
*[[偏度]]
*[[主動差]]

==參考資料==
*Joanes,<!--sic--> D. N. & Gill, C. A. (1998) Comparing measures of sample skewness and kurtosis. ''Journal of the Royal Statistical Society (Series&nbsp;D): The Statistician'' '''47''' (1), 183–189. {{doi|10.1111/1467-9884.00122}}
*[http://www.spcforexcel.com/are-skewness-and-kurtosis-useful-statistics Are the Skewness and Kurtosis Useful Statistics?] {{Wayback|url=http://www.spcforexcel.com/are-skewness-and-kurtosis-useful-statistics |date=20150316124235 }}

{{統計學}}
{{概率分布理论}}

[[Category:概率论]]