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[[數論]]中，'''岩澤理論'''（{{lang-en|Iwasawa theory}}）是[[理想類群]]的[[伽羅瓦模]]理論，由[[日本]]數學家[[岩澤健吉]]於1950年代提出，是[[割圓域]]理論的一部分。1970年代初，{{tsl|en|Barry Mazur|貝利·馬祖爾}}考慮了岩澤理論在[[阿貝爾簇]]上的推廣。到1990年代初，[[拉爾夫·格林伯格]]將岩澤理論應用到[[動形理論]]（法文：motifs、英文：motives）。

==陳述==

岩澤健吉起初觀察到[[代數數論]]中某些[[數域]]所成的'''塔'''的[[伽羅瓦理論|伽羅瓦群]]同構於[[p進數]]所構成的加法群。這個群通常寫作 &Gamma; 並採乘法符號，它是加法群<math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>的'''逆極限'''，其中''p''是固定的[[素數]]而<math>n=1,2,\dots</math>。我們可以用[[龐特里亞金對偶定理]]得到另一種表法：&Gamma; 對偶於所有複數域裡的 <math>p</math>-次單位根所成的離散群。

==例子==

設 <math>\zeta</math> 為<math>p</math>次本原根，並考慮下述數域所成的塔：

<math> K = \mathbb{Q} (\zeta) \subset K_{1} \subset K_{2} \subset \cdots \subset \mathbb{C}, </math>

其中 <math>K_n</math> 是 <math>p^{n+1}</math>次本原根生成的數域。這個塔的聯集稱作<math>L</math>。由於 <math>\mathrm{Gal}(K_n/K) = \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z}</math>，<math>\mathrm{Gal}(L/K)</math>同構於 &Gamma; 。為了得到一個有趣的伽羅瓦模，岩澤健吉取<math>K_n</math>的理想類群，並令<math>I_n</math>為其<math>p</math>-撓部份。對於<math>m>n</math>，有'''範數映射'''<math>I_m \rightarrow I_n</math>，於是得到一個逆系。令 <math>I</math> 為其逆極限， &Gamma; 作用其上，我們欲描述這個作用。

毫無疑問，這裡的動機在於 <math>K</math> 的理想類群的 <math>p</math>-撓部份已被[[恩斯特·庫默爾]]認出是他證明[[費馬大定理]]的主要障礙。岩澤健吉的創見在於他在一個新的意義上「跑到無窮大」。事實上，<math>I</math>是[[群環]]的完备化 <math>\mathbb{Z}_p[[\Gamma]]</math>上的模；这个环性质很好（它是一个二維[[正則局部環]]），這意味著我們可以對其上的模作夠精細的分類。

==歷史==

自岩澤理論在1950年面世起，已經有了一套豐富的理論。人們注意到在模論與黎貝和Heinrich-Wolfgang Leopoldt在1960年定義的[[p進數L-函數]]間有根本的聯繫。後者從<math>\zeta</math>函數在'''負整數點'''的取值（與[[伯努利數]]有關）作插值，得到[[狄利克雷L函數]]在p進數域的類比。顯然此理論有希望從庫默爾一個世紀創建前的[[正則素數]]理論向前邁進。

「岩澤理論主猜想」被陳述為：以兩種不同方法定義的 p進數L-函數（模理論／插值法）應當相等，只要它們是明確定義的。這個猜想在<math>\mathbb{Q}</math>上的情形最後由{{tsl|en|Barry Mazur|貝利·馬祖爾}}與[[安德魯·懷爾斯]]證明，並由懷爾斯證明所有[[代數數域|實域]]的情形，稱作馬祖爾-懷爾斯定理。他們仿造[[肯尼斯·阿蘭·黎貝]]證明埃爾布朗定理之逆定理（即所謂埃爾布朗-黎貝定理）的辦法。

近來 Chris Skinner 與 Eric Urban 也仿用肯尼斯·阿蘭·黎貝的辦法，公佈了GL(2) 的「主猜想」的一個證明。藉由 Kolyvagin 發展的[[歐拉系統]]，可以得到馬祖爾-懷爾斯定理更初等的證明（請參見 Washington 的書）。Karl Rubin 等人用歐拉系統得到主猜想其它的推廣形式。

== 文獻 ==

* Greenberg, Ralph, ''Iwasawa Theory - Past & Present'', Advanced Studies in Pure Math. 30 (2001), 335-385. 可下載 [http://www.math.washington.edu/~greenber/iwhi.ps] {{Wayback|url=http://www.math.washington.edu/~greenber/iwhi.ps |date=20070205163856 }}.
* Coates, J. and Sujatha, R., ''Cyclotomic Fields and Zeta Values'', Springer-Verlag, 2006
* Lang, S., ''Cyclotomic Fields'', Springer-Verlag, 1978
* Washington, L., ''Introduction to Cyclotomic Fields, 2nd edition'', Springer-Verlag, 1997
* {{cite journal | author = Barry Mazur and Andrew Wiles| year = 1984 |  title = ''Class Fields of Abelian Extensions of Q'' | url = https://archive.org/details/sim_inventiones-mathematicae_1984-05_76_2/page/179| journal = Inventiones Mathematicae | volume = 76 | issue = 2 | pages = 179-330 }}
* {{cite journal | author = Andrew Wiles|year = 1990 |  title = ''The Iwasawa Conjecture for Totally Real Fields'' | url = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1990-05_131_3/page/493| journal = Annals of Mathematics | volume = 131 | issue = 3 | pages = 493-540 }}
* {{cite journal | author = Chris Skinner and Eric Urban| year = 2002 |  title = ''Sur les deformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa'' | journal = C. R. Math. Acad. Sci. Paris | volume =335 | issue = 7 | pages = 581-586 }}

{{Authority control}}
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[[Category:類域論|I]]
[[Category:分圆域]]