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[[数学]]中，'''层'''（sheaf，或译'''束'''、'''捆'''）是一种系统地追踪数据的工具。数据附着在[[拓扑空间]]的[[开集]]上，局部定义于开集本身。例如，数据可以是定义在开集上的[[连续函数]]环。这些数据的行为是良好的：可限制在更小的开集中，而且（直观地说）每个数据都是其组成数据之和。这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如[[开集]]，[[解析函数]]，[[流形]]，等等。

研究层的数学领域叫做'''层论'''（sheaf theory）。

从概念上讲，层是比较一般、抽象的[[数学对象]]，其正确定义是相当技术性的。例如，根据分配给开集的数据类型，可分为'''集合层'''、[[赋环空间|'''环层''']]等。

相同類型的層之間可以定義[[映射]]（或称[[态射]]），這使得（同類型的）层构成了一個[[范畴 (数学)|范畴]]。另一方面，每个[[连续函数|连续]]映射都关联着[[直像函子]]（将[[定义域]]上的层与态射送到[[到达域]]的层与态射）和[[反像函子]]（代表相反的运算）。这些[[函子]]及其部分变体是层论的重要组成部分。

层由于其普遍性与多功能性，在拓扑学，特别是[[代数几何]]与[[微分几何]]中有多种应用。
* [[微分流形]]或[[概形]]等的几何结构可用空间上的环层表示。这时，[[向量丛]]与[[除子]]等几何结构都可很自然地用层表示。
* 层为非常一般的[[层上同调|上同调论]]提供了框架，其中也包括“通常”的拓扑上同调论，如[[奇异上同调]]。特别是在代数几何与[[复流形]]理论中，层上同调为空间的拓扑与几何属性提供了有力的联系。
* 层提供了[[D模]]理论的基础，进而为[[微分方程]]理论找到了应用。
* 可将层推广到比拓扑空间更一般的场景，如[[格罗滕迪克拓扑]]，为[[数理逻辑]]和[[数论]]提供了应用。

== 定义与例子 ==
在很多数学分支中，很多定义在[[拓扑空间]]''X''上的结构（如[[微分流形]]）可很自然地「局部化」或「限制到」开子集<math>U \subset X</math>：典型例子如[[连续函数|连续]][[实数|实]]值或[[复数 (数学)|复]]值函数、''n''次[[可微函数]]、[[有界函数|有界]]实值函数、[[向量场]]、空间上任意[[向量丛]]的[[截面 (纤维丛)|截面]]等等。将数据限制在更小开子集上的能力产生了'''预层'''（presheaf）的概念，粗略地说就是局部数据可粘合到全局数据。

=== 预层 ===
{{See also|预层 (范畴论)}}
设''X''为拓扑空间，'''C'''是[[范畴 (数学)|范畴]]（常是[[集合 (数学)|集合]]范畴、[[交换群]]范畴、[[交换环]]范畴，或固定的环上的[[模]]范畴)。'''C'''中的物件在空间''X''上的'''预层（presheaf）''' <math>F</math> 由如下数据给出：

* 对每個开子集<math>U\subset X</math>， <math>F</math> 給出一個'''C'''中的物件 <math>F(U)</math> ，也记作<math>\Gamma(U, F)</math> 。這個物件称作 <math>F</math> 在 <math>U</math> 上的'''截面'''（section）， <math>F</math> 在 <math>X</math> 上的截面称作 <math>F</math> 的'''全局截面'''（global section）。
* 对于每个开集之间的包含关系<math>V \subseteq U</math>，有范畴'''C'''中的一个[[态射]]<math>\operatorname{res}_{V, U} \colon F(U) \rightarrow F(V)</math>，称为'''限制态射'''。若<math>s \in F(U)</math>，则<math>\text{res}_{V,U}(s)</math>常类比以函数限制的写法，记作<math>s|_V</math>。限制态射满足以下两点性质：
** 对于''X''中每个开集''U''，我们有<math>\operatorname{res}_{U, U} =\operatorname{id}_{F(U)}</math>，也即，从''U''到''U''的限制是''F''(''U'')上的恒等态射。
** 给定任何三个开集<math>W\subseteq V\subseteq U</math>，有<math>\text{res}_{W,V}\circ\text{res}_{V,U}=\text{res}_{W,U}</math>，即从''U''到''V''再到''W''的限制和从''U''直接到''W''的限制相同。
预层的很多例子来自不同类函数：对任意''U''，可给其上的连续实值函数集<math>C^0(U)</math>分配限制映射，限制映射就是将''U''上的连续函数限制到开子集''V''，且又是连续函数。两条预层公理立即得到检验，从而给出预层例子。这可以扩展成全纯函数层<math>\mathcal{H}(-)</math>与光滑函数层<math>C^\infty(-)</math>。

另一类常见例子是将''U''上的常实值函数集分配给''U''，这个预层也叫做关联于<math>\mathbb{R}</math>的常预层，记作<math>\underline{\mathbb{R}}^{psh}</math>。
这个定义可以用[[范畴论]]的术语很自然的表达。首先我们定义''X''上的[[开集]]的范畴为范畴<math>\text{Top}_X</math>，其对象是''X''的开集而其态射为包含映射。<math>\text{Top}_X</math>就成了和''X''的开子集上的偏序⊂相关的范畴。''X''上的'''C'''预层就是从<math>\text{Top}_X</math>到'''C'''的反变[[函子]]。
=== 层 ===
给定预层，很自然的问题是，它在开集''U''上的截面在多大程度上由到''U''开子集的限制决定。确切地讲，预层的截面由限制条件唯一决定时，即成为层。

层是满足以下两条公理的预层：
# （局部性：）假设''U''是开集，<math>\{ U_i \}_{i \in I}</math>是''U''的开覆盖，满足<math>\forall i \in I,\ U_i \subseteq U</math>，且<math>s, t \in F(U)</math>是截面。<math>\forall i \in I,\ s|_{ U_i} = t|_{ U_i}</math>，则<math>s = t</math>。
# （[[粘合公理|粘合性]]：）假设''U''是开集，<math>\{ U_i \}_{i \in I}</math>是''U''的开覆盖，满足<math>\forall i \in I,\ U_i \subseteq U</math>，且<math>\{ s_i \in F(U_i) \}_{i \in I}</math>是一族截面。若所有截面对都与其定义域的重合一致，即若<math>\forall i, j \in I,\ s_i|_{U_i\cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}</math>，则存在截面<math>s \in F(U)</math>使<math>\forall i \in I,\ s|_{U_i} = s_i</math>。<ref>{{Citation|title=The Geometry of Schemes|last1=Eisenbud|last2=Harris|first1=David|first2=Joe|publisher=Springer|location=New York, NY|isbn=978-0-387-22639-2|series=[[Graduate_Texts_in_Mathematics|GTM]]|date=6 April 2006 |pages=11–18}}</ref>

两个公理中，关于开覆盖的假设等价于假设<math display="inline">\bigcup_{i \in I} U_i = U</math>。

公理2保证存在的截面''s''称作截面<math>s_i</math>的粘合（gluing）、连接（concatenation）或整理（collation）。据公理1，是唯一的。满足公理2的一致前提的截面<math>s_i,\ s_j</math>常称作相容（compatible），于是公理1、2共同说明：任何成对相容截面的集合都可唯一地粘合起来。分离预层（separated presheaf）或单预层（monopresheaf）是满足公理1的预层。<ref>{{Citation | last1=Tennison | first1=B. R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390  | year=1975}}</ref>

上述由连续函数组成的预层是层。这简化为检验给定连续函数<math>f_i : U_i \to \R</math>（在交<math>U_i \cap U_j</math>上一致）是否有唯一的连续函数<math>f: U \to \R</math>，其限制等于<math>f_i</math>。相比之下，常预层常常不是层，因为不满足空集上的局部性公理。

预层和层一般用大写字母表示，''F''尤为常见，应为[[法语]]表示“层”的''faisceau''的首字母。花体字母也常见，如<math>\mathcal{F}</math>。

可以证明，要指定一个层，只需指定其对底空间拓扑[[基 (拓扑学)|基]]开集的限制即可。此外，还可证明，只要验证覆盖的开集是否符合层公理即可。这个观察用来构造代数几何中十分重要的准[[凝聚层]]。这里所说的拓扑空间是交换[[环的谱|环''R''的谱]]，其点是''R''中的[[素理想]]''p''。开集<math>D_f := \{ p \subset R, f \notin p\}</math>构成了空间上的[[扎里斯基拓扑]]的基。给定''R''基''M''，Spec ''R''上有层<math>\tilde M</math>，满足
:<math>\tilde M(D_f) := M[1/f],</math>是''M''在''f''的[[环的局部化|局部化]]。

还有一种与前述等价的层表示。当且仅当对任意开''U''、''U''的任意开覆盖<math>(U_a)</math>，都有<math>\mathcal{F}(U)</math>是纤维积<math>\mathcal{F}(U)\cong\mathcal{F}(U_a)\times_{\mathcal{F}(U_a\cap U_b)}\mathcal{F}(U_b)</math>时，预层<math>\mathcal{F}</math>是层。这在构造层时特别有用，例如若<math>\mathcal{F},\mathcal{G}</math>是阿贝尔层，则层态射<math>\mathcal{F}\to\mathcal{G}</math>的核也是层，因为射影极限与射影极限可交换。上核不总是层，因为诱导极限不一定与射影极限可交换。一种解决方法是考虑诺特拓扑空间：开集都紧，由于有限射影极限与诱导极限可交换，所以上核是层了。

=== 更多例子 ===

* 任何[[纤维丛]]产生一个集合的层，通过取截面就可以得到。
* [[赋环空间]]是有赋交换环层的空间；特别重要的有[[局部赋环空间]]，其中每个茎（参看下面）是[[局部环]]。
* [[概形]]是特殊的局部赋环空间，在[[代数几何]]中很重要；模的层在相关理论中很重要。

==== 连续映射的截面层 ====
拓扑空间的任何连续映射<math>f:Y\to X</math>决定了''X''上的层<math>\Gamma(Y/X)</math>，方法是置
:<math>\Gamma(Y/X)(U) = \{s: U \to Y, f \circ s = \operatorname{id}_U\}.</math>
这样的''s''一般叫做''f''的[[截面 (范畴论)|截面]]，这个例子也就是<math>F(U)</math>中的元素通常叫截面的原因。当''f''是[[纤维丛]]在基空间上的投影时，这种构造尤为重要。例如，光滑函数层是[[平凡丛]]截面层。另一例：
:<math>\C \stackrel{\exp} \to \C\setminus \{0\}</math>
的截面层是''U''上[[复对数]]的分支集合分配给任意''U''的层。

给定一个点''x''与阿贝尔群''S''，摩天层（skyscraper sheaf）<math>S_x</math>的定义如下：若''U''是含''x''的开集，则<math>S_x(U)=S</math>；否则<math>S_x(U)=0</math>，是[[平凡群]]。若开集都包含''x''，则限制映射是''S''上的恒等映射，否则是零映射。

==== 流形上的层 ====
''n''维<math>C^k</math>流形''M''上，有很多重要的层，如''j''阶连续可微函数层<math>\mathcal{O}^j_M\ (j \leq k)</math>。它在某开''U''上的截面是<math>C^j</math>函数<math>U \to \R</math>。对<math>j = k</math>，这个层称为结构层，记作<math>\mathcal{O}_M</math>。非零<math>C^k</math>函数也形成一个层，记作<math>\mathcal{O}_X^\times</math>。（度为''p''的）[[微分形式]]也形成层<math>\Omega^p_M</math>。所有例子中，限制态射都由限制函数或形式给出。

将''U''分配到''U''上的紧支持函数不是层，因为一般没法传递到更小开子集后仍保留这性质。相反，这形成了[[上层]]的[[对偶 (数学)|对偶]]概念，其中限制映射的方向与层相反。<ref>{{harvtxt|Bredon|1997|loc=Chapter V, §1}}</ref>然而，从这些向量空间的[[对偶空间]]中确实可得到一个层，即[[分布 (数学分析)|分布]]层。

==== 不是层的预层 ====
除了上述常预层外，还有很多不是层的预层：
* 令''X''是离散两点空间<math>\{x,y\}</math>，具有离散拓扑。定义预层''F''：<math display="block">F(\varnothing) = \{\varnothing\},\ F(\{x\}) = \R,\ F(\{y\}) = \R,\ F(\{x, y\}) = \R\times\R\times\R</math>

限制映射<math>F(\{x, y\}) \to F(\{x\})</math>是<math>\R \times\R\times\R</math>在第一坐标的投影，限制映射<math>F(\{x, y\}) \to F(\{y\}) </math>是<math>\R \times\R\times\R</math>在第二坐标的投影。''F''是不分离的预层：全局截面由3个数确定，但截面在<math>\{x\},\ \{y\}</math>上的值则只决定了其中2个数字。因此，虽然可将<math>\{x\},\ \{y\}</math>上的任意两截面粘在一起，但没有唯一的粘合。

* 令<math>X = \R</math>为[[实线]]，并令<math>F(U)</math>为''U''上的[[有界函数|有界]]连续函数集。这不是层，因为不总可粘合。例如，令<math>U_i=\{x||x|<i\}</math>。恒等函数<math>f(x)=x</math>在每个<math>U_i</math>上都有界，因此我们得到<math>U_i</math>上的截面<math>s_i</math>。然而，由于函数''f''在实线上无界，所以这些截面并不粘合。于是''F''是预层，但不是层。其实，''F''是分离的，因为是连续函数层的子预层。

=== 复解析空间和代数几何的动机 ===
层的历史动机之一来自研究[[复流形]]、<ref>{{cite web|last=Demailly|first=Jean-Pierre|title=Complex Analytic and Differential Geometry|url=https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200828212129/https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf|archive-date=2020-08-28}}</ref>复解析几何<ref>{{cite web|last=Cartan|first=Henri|title=Variétés analytiques complexes et cohomologie|url=http://www.inp.nsk.su/~silagadz/Cartan.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20201008164857/http://www.inp.nsk.su/~silagadz/Cartan.pdf|archive-date=2020-10-08}}</ref>与代数几何中的[[概形]]论。这是因为在前面的所有情形中，我们考虑的都是拓扑空间''X''及赋予其复流形、复解析空间或概形结构的结构层<math>\mathcal{O}</math>。这种为拓扑空间配备层的观点对局部赋环空间理论至关重要（下详）。

==== 复流形的技术挑战 ====
引入层的主要历史动机之一，是构造一种跟踪[[复流形]]上[[全纯函数]]的结构。例如，[[紧空间|紧]]复流形''X''（如[[复射影空间]]或[[齐次多项式]]射影空间的趋零[[轨迹]]）上，唯一的全纯函数是<blockquote><math>f:X \to \C</math></blockquote>是常函数。<ref name="stackexchange1">{{cite web|title=differential geometry - Holomorphic functions on a complex compact manifold are only constants|url=https://math.stackexchange.com/questions/881742/holomorphic-functions-on-a-complex-compact-manifold-are-only-constants|access-date=2020-10-07|website=Mathematics Stack Exchange|archive-date=2023-09-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230904200948/https://math.stackexchange.com/questions/881742/holomorphic-functions-on-a-complex-compact-manifold-are-only-constants|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite journal |doi=10.2307/1969438|jstor=1969438 |last1=Hawley |first1=Newton S. |title=A Theorem on Compact Complex Manifolds |url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1950-11_52_3/page/637|journal=Annals of Mathematics |year=1950 |volume=52 |issue=3 |pages=637–641 }}</ref>这意味着存在2个不同构的紧复流形<math>X,X'</math>，全局全纯函数环<math>\mathcal{H}(X), \mathcal{H}(X')</math>则同构。这与光滑流形相反，当中每个流形''M''都可嵌入<math>\R^n</math>，于是其光滑函数环<math>C^\infty(M)</math>来自于对光滑函数<math>C^\infty(\R^n)</math>的限制。考虑复流形''X''上的全纯函数环的另一个复杂性在于，给定足够小的开集<math>U \subset X</math>，全纯函数将同构于<math>\mathcal{H}(U) \cong \mathcal{H}(\C^n)</math>。层是处理这种复杂性的直接工具，因为层能跟踪任意开子集<math>U \subset X</math>上''X''的底拓扑空间的全纯结构。这意味着，随着''U''变得越来越复杂，环<math>\mathcal{H}(U)</math>可通过粘合<math>\mathcal{H}(U_i)</math>表达。注意，当要强调结构层所关联的空间时，有时这个层被表示为<math>\mathcal{O}(-)</math>或只是<math>\mathcal{O}</math>、<math>\mathcal{O}_X</math>。

==== 用层追踪子流形 ====
另一个常见的层的例子见于复子流形<math>Y \hookrightarrow X</math>。有相关层<math>\mathcal{O}_Y</math>，取开子集<math>U \subset X</math>，并给出<math>U \cap Y</math>上的全纯函数环。这种形式化非常强大，激发了很多[[同调代数]]，如[[层上同调]]，因为[[相交理论]]可用这类层从塞尔相交公式中建立起来。

== 层的运算 ==
==态射==
令''F''和''G''为''X''上两个层，都在范畴''C''中取值。我们定义从''G''到''F''的[[态射]]为一族在范畴''C''内对于所有在''X''中的开''U''的态射<math>\varphi_U:\ G(U)\to F(U)</math>，它们和限制映射可交换。也就是，下面的图必须[[交换图|可交换]]

<div style="text-align: center;">[[File:SheafMorphism-01.png]]</div>
对于''X''中的每一对开集<math>U\subseteq V</math>。若''F''和''G''视为<math>\text{Top}_X\to C</math>的[[反变函子]]，则它们之间的态射不过就是[[自然变换]]。采用这个定义，所有''X''上的''C''-值层构成一个范畴（一个[[函子范畴]]）。''X''上的层的一个''同构''就是这个范畴里的一个同构。

可以把这个概念推广到不同空间上的层之间的态射。令<math>f:\ X\to Y</math>为一个两个拓扑空间之间的[[连续函数]]，并令''F''为''X''上的层且''G''为''Y''上的层，二者都在''C''中取值。那么从''G''到''F''的相对于''f''的态射为一族态射<math\>varphi_U:\ G(U)\to F(f^{-1}(U))</math>对于''Y''中每个开集''U''，使得图
<div style="text-align: center;">[[File:SheafMorphism-02.png]]</div>
对于''Y''中每一对开集<math>U\subseteq V</math>可交换。前面的定义是''f''是''X''上的恒等映射时的特殊情况。

在一般情况中范畴理论的表述稍微复杂一点。令Top为从[[拓扑空间范畴]]'''Top'''到[[小范畴范畴]]'''Cat'''的反变函子，它把每个拓扑空间''X''映到其开集的偏序集范畴<math>\text{Top}_X</math>。这里<math>\text{Top}(f):\ \text{Top}_X\to \text{Top}_X</math>是反变函子，把每个开集映到它的[[原象]]。把''F''和Top(''f'')复合，得到<math>\text{Top}_Y\to C</math>的反变函子。一个从''G''到''F''相对于''f''的态射就是<math>G\to F\circ\text{Top}(f)</math>的自然变换。

注意上面所有这些对于预层也成立。

=== 层的茎 ===
{{Main|茎 (层)}}

层<math>\mathcal{F}</math>的茎（stalk）<math>\mathcal{F}_x</math>捕捉了层在点<math>x\in X</math>“周围”的性质，推广了函数的芽（germ）。此处的“周围”是说要观察点附近越来越小的[[邻域]]。没有足够小的邻域时，就要考虑某种极限，更确切地说茎的定义是

:<math>\mathcal{F}_x = \varinjlim_{U\ni x} \mathcal{F}(U),</math>
[[有向极限]]（direct limit，用范畴论术语，这是一个[[余极限]]（colimit）的例子）是包含给定点''x''的''X''的所有开子集。即，茎的一个元素由''x''的某开邻域上的截面给出。两个这样的截面的限制若在更小的邻域上一致，则视作等价。

自然态射<math>F(U)\to F_x</math>将<math>F(U)</math>中的截面''x''发送到''x''处的芽，推广了芽的通常定义。

很多时候，知道了层的茎就足以控制层。例如，从茎就能判断层的态射是单射、满射还是同构，这样来看层是由茎（局部数据）决定的；相对地，全局截面（整个空间''X''上的截面<math>\mathcal F(X)</math>）携带的全局信息通常就少些，例如对[[紧空间|紧]]复流形''X''，全纯函数层的全局截面就只是<math>\C</math>，因为任何全纯函数
:<math>X \to \C</math>
由[[刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理]]都是常值的。<ref name="stackexchange1"/>

=== 将预层变为层 ===
预层数据取出、表示为层总是很有用。事实证明，取预层''F''再产生新层''aF''总有最好的方法，称作层化（sheafification）或取与预层相关联的层''F''，如常预层（上详）的层化称作[[常层]]（constant sheaf）。不过，其截面是[[局部常值函数]]。

层<math>aF</math>可用''F''的[[平展空间]]构造，即作为映射
:<math>\mathrm{Spe}(F) \to X</math>
的截面层。另一种构造是通过预层到预层的函子''L''，渐进地改进预层的性质：对任意预层''F''，<math>LF</math>是分离预层；对任意分离预层''F''，<math>LF</math>是层。相关层<math>aF</math>由<math>LLF</math>给出。<ref>[[Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie#SGA 4|SGA 4]] II 3.0.5</ref>

层<math>aF</math>是对预层''F''的最佳近似，下列[[泛性质]]使其变得更精确：有预层的自然态射<math>i\colon F\to aF</math>，使得对任意层''G''、任意预层态射<math>f\colon F\to G</math>，都有唯一的层态射<math>\tilde f \colon aF \rightarrow G</math>使<math>f = \tilde f i</math>。其实''a''是从层范畴到预层范畴的包含函子（或[[遗忘函子]]）的左[[伴随函子]]，''i''是伴随的单位。这样，层范畴变为预层的Giraud子范畴。这就是为什么在构造层态射或层张量积的上核时会出现层化函子，而非在构造核时出现。

=== 子层、商层 ===
若''K''是阿贝尔群的层''F''的子层，则'''商层'''''Q''是与预层<math>U \mapsto F(U)/K(U)</math>相联系的层；即，商层符合阿贝尔群层的正合序列（exact sequence）：
:<math>0 \to K \to F \to Q \to 0.</math>
（这也称作层扩张。）

令<math>F,G</math>为阿贝尔群层。层''F''到''G''的态射的集合<math>\operatorname{Hom}(F, G)</math>形成阿贝尔群（由''G''的阿贝尔群结构决定）。则，''F''与''G''的'''层同态'''记作
:<math>\mathcal{Hom}(F, G)</math>
是阿贝尔群层<math>U \mapsto \operatorname{Hom}(F|_U, G|_U)</math>，其中<math>F|_U</math>是<math>(F|_U)(V) = F(V)</math>给出的''U''上的层（此处不需层化）。''F''、''G''的直和是<math>U \mapsto F(U) \oplus G(U) </math>给出的层，''F''、''G''的张量积是与预层<math>U \mapsto F(U) \otimes G(U)</math>相关联的层。

所有运算都可扩张到[[环层]]''A''上的[[模层]]；''A''是[[常层]]<math>\underline{\mathbf{Z}}</math>时，以上是特殊情形。

=== 基本泛函性 ===
由于（预）层的数据取决于基空间的开子集，不同拓扑空间上的层彼此无关，即之间没有态射。不过，给定两拓扑空间之间的连续映射<math>f:X\to Y</math>，则前推和拉回将''X''上的层和''Y''上的层联系起来，反之亦然。

====直像====
层<math>\mathcal{F}</math>在''X''上的前推（也称作[[直像函子|直像]]）是层
:<math>(f_* \mathcal F)(V) = \mathcal F(f^{-1}(V)).</math>
其中''V''是''Y''的开子集，因此根据''f''的连续性，其预像在''X''中是开的。
这构造恢复了上述摩天层<math>S_x</math>：
:<math>S_x = i_* (S)</math> 
其中<math>i: \{x\} \to X</math>是包含，而''S''被视作[[单元集]]上的层（由<math>S(\{*\})=S, S(\emptyset) = \emptyset</math>）。

对于[[局部紧]]空间之间的映射，有紧支撑集的直像是直像的子层。<ref>{{harvtxt|Iversen|1986|loc=Chapter VII}}</ref>由定义，<math>(f_! \mathcal F)(V)</math>包含[[支撑集]]为''V''上的[[紧合映射]]的<math>f \in \mathcal F(f^{-1}(V))</math>。若''f''自身紧合，则<math>f_! \mathcal F = f_* \mathcal F</math>，但一般不一致。

====逆像====
拉回或[[逆像函子|逆像]]则相反，在''X''上从''Y''上的层<math>\mathcal G</math>产生层<math>f^{-1} \mathcal G</math>。若''f''是开子集的包含，则逆像只是一个限制，即对开的<math>U\subset X</math>，由<math>(f^{-1} \mathcal G)(U) = \mathcal G(U)</math>给出。现有某空间''X''，如对一些开子集<math>U_i</math>，<math>X= \bigcup_{i \in I} U_i</math>且''F''的限制对所有开子集为常值，则层''F''是局部常层。在很多拓扑空间''X''上，这种层[[范畴的等价|等价]]于[[基本群]]<math>\pi_1(X)</math>的[[群表示论|表示]]。

对一般映射''f''而言，<math>f^{-1} \mathcal G</math>的定义更复杂，在逆像函子处很详细。从自然识别的角度来看，茎是拉回中的基本特例，其中''i''如上：
:<math>\mathcal G_x = i^{-1}\mathcal{G}(\{x\}).</math>
更一般地说，茎满足<math>(f^{-1} \mathcal G)_x = \mathcal G_{f(x)}.</math>

====零扩张====
对开子集的包含<math>j : U \to X</math>，''U''上阿贝尔群层的零扩张的定义是
:<math>(j_! \mathcal F)(V) = \mathcal F(V)</math>，若<math>V \subset U</math>，否则<math>(j_! \mathcal F)(V) = 0</math>。
对''X''上的层<math>\mathcal G</math>，这构造在某种意义上是<math>i_*</math>的补充，其中''i''是''U''之补的包含：
:<math>(j_! j^* \mathcal G)_x = \mathcal G_x,\ \forall x\in U</math>，否则茎为零；而
:<math>(i_* i^* \mathcal G)_x = 0,\ \forall x\in U</math>，否则等于<math>\mathcal G_x</math>。
因此，这些函子十分利于将''X''的层理论问题简化为分层问题（即将''X''分解为更小的局部闭子集）。

== 补 ==
===更一般范畴中的层===
上述（预）层的<math>\mathcal F(U)</math>只是集合，很多时候跟踪界面上的附加结构也很重要。例如，连续函数层的截面自然形成了实[[向量空间]]，限制是其间的[[线性映射]]。

在任意范畴''C''中取值的预层是这样定义的：将''X''上的开集范畴视作[[偏序范畴]]<math>O(X)</math>，其对象是''X''的开集，态射是包含。则，''X''上的''C''值预层等同于<math>O(X)\to C</math>的[[函子#協變與反變|反变函子]]。这函子范畴中的态射（也称作[[自然变换]]）与上面定义的态射相同，由定义自明。

若目标范畴''C''允许所有[[极限 (范畴论)|极限]]，则对任意开集''U''的每个开覆盖<math>\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}</math>，若下图是[[等化子]]，则''C''值预层是层：

:<math>F(U) \rightarrow \prod_{i} F(U_i) {{{} \atop \longrightarrow}\atop{\longrightarrow \atop {}}} \prod_{i, j} F(U_i \cap U_j).</math>

其中第一个映射是下面的限制映射之积：

:<math>\operatorname{res}_{U_i, U} \colon F(U) \rightarrow F(U_i)</math>

那对箭头是两组限制集之积：

:<math>\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_i} \colon F(U_i) \rightarrow F(U_i \cap U_j)</math>

及

:<math>\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_j} \colon F(U_j) \rightarrow F(U_i \cap U_j).</math>

若''C''是[[阿贝尔范畴]]，则这条件也可改写为要求有[[正合序列]]
:<math>0 \to F(U) \to \prod_i F(U_i) \xrightarrow{\operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_i} - \operatorname{res}_{U_i \cap U_j, U_j}} \prod_{i,j} F(U_i \cap U_j).</math>

这层条件的特殊情形是：''U''是空集，索引集''I''也是空集。这时层条件要求<math>\mathcal F(\emptyset)</math>是''C''中的[[终对象]]。

=== 赋环空间与模层 ===
{{Main|赋环空间|模层}}
在[[代数几何]]与[[微分几何]]等学科中，空间伴随着环的自然层，常称作结构层，记作<math>\mathcal{O}_X</math>。这样的对子<math>(X, \mathcal O_X)</math>称作[[赋环空间]]。很多种空间都可定义为某种赋环空间。通常，结构层的所有茎<math>\mathcal O_{X, x}</math>都是[[局部环]]，这时称作局部赋环空间。
 
例如，''n''维<math>C^k</math>流形''M''是局部赋环空间，其结构层包含''M''的开子集上的<math>C^k</math>函数。局部赋环空间的性质，意味着''x''点非零的函数在''x''的足够小的开邻域上也非零。有人将实（或复）流形定义为局部赋环空间，且局部同构于<math>\R^n</math>（或<math>\C^n</math>）的开子集及<math>C^k</math>（或全纯）函数的层组成的对子。<ref>{{harvtxt|Ramanan|2005}}</ref>相似地，代数几何的基础空间概念——[[概形]]，是与[[环的谱]]局部同构的局部赋环空间。

给定赋环空间，模层是层<math>\mathcal{M}</math>，使对开集<math>\forall U\subset X,\ \mathcal{M}(U)</math>是<math>\mathcal{O}_X(U)</math>模；对每个开集的包含<math>V\subseteq U</math>，限制映射<math>\mathcal{M}(U) \to \mathcal{M}(V)</math>与限制映射<math>\mathcal{O}(U) \to \mathcal{O}(V)</math>相容：<math>\forall f\in \mathcal{O}(U),\ s\in \mathcal{M}(U)</math>，对''fs''的限制是''f''的限制乘以''s''的限制。

最重要的几何对象是模的层。例如，[[向量丛]]与<math>\mathcal{O}_X</math>模的[[凝聚层|局部自由层]]间存在一一对应关系。这范式适用于实向量丛、复向量丛和代数几何中的向量丛（其中<math>\mathcal O</math>分别包含光滑函数、全纯函数与正规函数）。微分方程解的层是[[D模]]，即[[微分算子]]层上的模。在任何拓扑空间上，常层<math>\underline{\mathbf{Z}}</math>上的模都与上述意义的阿贝尔群层是一样的。

对环层的模层，有个不寻常的逆像函子，通常记作<math>f^*</math>，与<math>f^{-1}</math>不同。

==== 模层的有限性条件 ====
[[交换环]]上模的有限性条件也会引起类似的模层的有限性条件：若对每个点<math>x\in X</math>，存在''x''的开邻域''U''、自然数''n''（可能取决于''U''）及层的满射<math>\mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}|_U</math>，则<math>\mathcal{M}</math>称作有限生成；若满射是<math>\mathcal{O}_X^m|_U \to \mathcal{O}_X^n|_U \to \mathcal{M}|_U \to 0</math>（''m''也是自然数），则称作有限表示。与[[凝聚模]]的概念相似，若<math>\mathcal{M}</math>是有限类，且对每个开集''U''、每个层态射<math>\phi : \mathcal{O}_X^n \to \mathcal{M}</math>（不必是满射），<math>\phi</math>的核也是有限类，则称<math>\mathcal{M}</math>是[[凝聚层]]。<math>\mathcal{O}_X</math>若作为自身上的模是凝聚的，则也是凝聚的。与模类似，凝聚一般是个严格强于有限表示的条件。[[冈凝聚定理]]指出，[[复流形]]上全纯函数层是凝聚的。

== 层的平展空间 ==
上面的例子中可以观察到，有些层是以截面层的形式自然出现的。实际上，集合的所有层都可表为拓扑空间的截面层，前者即是平展空间。

层论发展的早期，就证明了给定层''X''上的''F''和给定一个特定拓扑空间''E''以及一个从''E''到''X''的连续函数一样。更精确的讲：对于一个''X''上的集合层''F''，存在一个[[局域同胚]]
:π: ''E'' → ''X'' 

使得''F''和上节例子中所述的π的截面层同构。

进一步的有，空间''E''是确定的，[[最多差]]一个''F''的[[同胚]]。这是''F''的''茎空间''：每个茎给了[[离散拓扑]]，并且我们取所有茎的不交并，而π把所有的茎''F''<sub>''x''</sub>映射到''x''。这个茎的空间的拓扑可以取为这样一个拓扑，它使得层''F''可以从π截面的层中重建出来。

在高一级的抽象中，我们可以说''X''上的集合的层的范畴是[[范畴的等价|等价]]于到''X''的局部同胚的范畴的。（也可以从[[可表示函子]]的理论的角度来考虑这样一个空间；历史表明这个理论也在1950年代中期发展出来）。

在Godement的深具影响的关于[[同调代数]]和层论的书中（''Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux'', [[R. Godement]]），空间''E''被称为'''平展空间'''（espace étalé）；在那本书中，层事实上''定义''为从局部同胚的截面得到；上面给出的函子方式的定义后来才出现，但现在更为普遍。

上面的考虑对于''X''上的'''C'''层也成立：我们还是从茎的空间出发，每个茎是'''C'''中的一个对象，而截面自然也成为''C''中的对象。

给定任意连续映射''g'' : ''Z'' → ''X'',相应的截面的层给了上述方式的茎的空间''E''和一个局部同胚π : ''E'' → ''X''。在某种意义上，这是处理映射''g''的所有'[[分支]]'，并且是以'尽可能最好的方式'。这可以用[[共轭函子]]表示；但是从某种意义上讲层的更广泛的概念远离了几何直觉。

== 层上同调 ==
{{Main|层上同调}}
在开集''U''固定、层被视为变量的情形中，集合<math>F(U)</math>也常表示为<math>\Gamma(U, F).</math>
如上所述，这函子并不保留满态射，层满态射<math>\mathcal F \to \mathcal G</math>是具有以下性质的映射：对任意截面<math>g \in \mathcal G(U)</math>，有覆盖<math>\mathcal{U} = \{U_i\}_{i \in I}</math>，其中<blockquote><math>U = \bigcup_{i \in I} U_i</math> </blockquote>的开子集，使限制<math>g|_{U_i}</math>在<math>\mathcal F(U_i)</math>的像中；但''g''本身不一定在<math>\mathcal F(U)</math>的像中。这种现象的一个具体例子是[[全纯函数]]层与非零全纯函数间的指数映射
:<math>\mathcal O \stackrel{\exp} \to \mathcal O^\times</math>
这映射是满态射，相当于说，任意非零全纯函数''g''（如在某''C''的开子集上）允许局部的[[复对数]]，即将''g''限制到适当的开子集后，有复对数。不过''g''不一定有全局对数。

层上同调捕捉到了这一现象：对阿贝尔群层[[正合序列]]
:<math>0 \to \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \to \mathcal F_3 \to 0,</math>
（即满态射<math>\mathcal F_2 \to \mathcal F_3</math>，核是<math>\mathcal F_1</math>），有长正合序列<math display="block">0 \to \Gamma(U, \mathcal F_1) \to \Gamma(U, \mathcal F_2) \to \Gamma(U, \mathcal F_3) \to H^1(U, \mathcal F_1) \to H^1(U, \mathcal F_2) \to H^1(U, \mathcal F_3) \to H^2(U, \mathcal F_1) \to \dots</math>通过序列，第一上同调群<math>H^1(U, \mathcal F_1)</math>是<math>\mathcal F_2,\ \mathcal F_3</math>截面之间映射的非满射性的度量。

有几种不同方法构造层上同调。{{harvtxt|Grothendieck|1957}}将其定义为<math>\Gamma</math>的[[导出函子]]，这方法在理论上很令人满意，但由于基于单射[[消解 (代数)|消解]]，在具体计算中用处不大。Godement消解是另一种通用但实际无法使用的方法。

=== 计算层上同调 ===
特别是在流形上的层的背景下，层上同调通常可由[[单射层|软层]]、[[单射层|细层]]和[[单射层|弛层]]的消解来计算。例如，[[单位分解]]表明，流形上的光滑函数层是软的。更高阶上同调群<math>H^i(U, \mathcal F)\ (i > 0)</math>对软层为零，这就提供了计算其他层的上同调的方法，例如德拉姆复形是任何光滑流形上的常层<math>\underline{\mathbf{R}}</math>的消解，于是<math>\underline{\mathbf{R}}</math>的层上同调等于其[[德拉姆上同调]]。

另一种方法是[[切赫上同调]]，是第一个为层发展的上同调论，非常适合具体计算，如计算复射影空间<math>\mathbb{P}^n</math>的[[凝聚层上同调]]。<ref>Hartshorne (1977), Theorem III.5.1.</ref>其将空间开子集上的截面同空间上的上同调类联系起来。切赫上同调与导出函子上同调往往能算出相同的上同调群，但对某些病态空间，切赫上同调能给出正确的<math>H^1</math>，而给出错误的更高阶上同调群。为解决这问题，[[让-路易·韦迪耶]]提出了[[超覆叠]]，不仅能给出正确的高阶上同调群，还允许用来自另一空间的某些态射替换上述开子集。这种灵活性在部分应用中非常有必要，如[[皮埃尔·德利涅]]的[[混合霍奇结构]]构造。

很多其他凝聚层上同调群存在于空间''X''嵌入已知上同调的空间（如<math>\mathbb{P}^n</math>或一些[[加权射影空间]]）<math>i:X \hookrightarrow Y</math>找到的。这样，这些环境空间上的已知的层上同调群可与层<math>i_*\mathcal{F}</math>相关联，给出<math>H^i(Y,i_*\mathcal{F}) \cong H^i(X,\mathcal{F})</math>。例如，计算射影面曲线的凝聚层上同调就很容易。这空间中的一个重要定理是用与层上同调群相关的谱序列找到的[[霍奇结构|霍奇分解]]，是德利涅证明的。<ref>{{Cite journal|last=Deligne|first=Pierre|date=1971|title=Théorie de Hodge : II|url=http://www.numdam.org/item/?id=PMIHES_1971__40__5_0|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|language=en|volume=40|pages=5–57|doi=10.1007/BF02684692|s2cid=118967613|access-date=2023-12-18|archive-date=2023-09-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230904202448/http://www.numdam.org/item/?id=PMIHES_1971__40__5_0|dead-url=no}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Deligne|first=Pierre|date=1974|title=Théorie de Hodge : III|url=http://www.numdam.org/item/PMIHES_1974__44__5_0/|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|language=en|volume=44|pages=5–77|doi=10.1007/BF02685881|s2cid=189777706|access-date=2023-12-18|archive-date=2023-09-04|archive-url=https://web.archive.org/web/20230904222512/http://www.numdam.org/item/PMIHES_1974__44__5_0/|dead-url=no}}</ref>本质上，<math>E_1</math>页的项<blockquote><math>E_1^{p,q} = H^p(X,\Omega^q_X)</math></blockquote>是[[光滑簇|光滑]][[射影簇]]''X''的层上同调的退化，即<math>E_1 = E_\infty</math>。这给出了上同调群上的正规霍奇结构<math>H^k(X,\mathbb{C})</math>。后来发现，这些上同调群很容易用[[庞加莱留数|格里菲斯留数]]计算，见[[雅可比理想]]。这类定理引出了关于代数簇上同调的最深刻的定理之一——[[分解定理]]，为[[混合霍奇模]]奠定了基础。

计算某些上同调群的另一种简便方法是[[博雷尔–韦伊–博特定理]]，将一些[[广义标志簇|标志流形]]上的[[线丛]]的上同调群与[[李群]]的[[不可约表示]]联系起来。比如说，这定理可用来轻松计算射影空间和[[格拉斯曼流形]]上所有线丛的上同调群。

很多时候，层有一种对偶理论，推广了[[庞加莱对偶性]]。见[[凝聚对偶性]]与[[韦迪耶对偶性]]。

=== 层的导出范畴 ===
（举例来说，某空间''X''上阿贝尔群的）层范畴的[[导出范畴]]可记作<math>D(X)</math>，是层上同调概念的避风港，因为有以下关系：
:<math>H^n(X, \mathcal F) = \operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbf Z, \mathcal F[n]).</math>
<math>f^{-1}</math>是<math>f_*</math>的左伴随（已经在阿贝尔群层的级别），给出了伴随
:<math>f^{-1} : D(Y) \rightleftarrows D(X) : R f_*</math> (for <math>f: X \to Y</math>),
其中<math>Rf_*</math>是导出函子。后一个函子包含了层上同调的概念，因为<math>H^n(X, \mathcal F) = R^n f_* \mathcal F</math> for <math>f: X \to \{*\}.</math>

与<math>f_*</math>相似，也可推导出具有紧支撑集的直像<math>f_!</math>。根据下面的同构，<math>R f_! F</math>参数化了''f''的[[纤维 (数学)|纤维]]的具有紧支撑集的上同调：
:<math>(R^i f_! F)_y = H^i_c(f^{-1}(y), F).</math><ref>{{harvtxt|Iversen|1986|loc=Chapter VII, Theorem 1.4}}</ref>
这同构是[[基变换定理]]的一例。还有伴随
:<math>Rf_! : D(X) \rightleftarrows D(Y) : f^!.</math>
不同于上述所有函子，扭（或特殊）反像函子<math>f^!</math>一般只定义在[[派生范畴]]的层级上，即函子不是阿贝尔范畴间的某函子的导出函子。若<math>f: X \to \{*\}</math>，''X''是''n''维光滑[[可定向性#流形的可定向性|有向流形]]，则
:<math>f^! \underline \mathbf R \cong \underline \mathbf R [n].</math><ref>{{harvtxt|Kashiwara|Schapira|1994|loc=Chapter III, §3.1}}</ref>
这种计算，以及函子与对偶性的相容性（见[[韦迪耶对偶性]]）蕴含着对[[庞加莱对偶性]]的高深见解。在概形上的准凝聚层中，有类似的对偶性，称作[[凝聚对偶性]]。

[[错致层]]是<math>D(X)</math>中的某些对象，即复层（但一般不是真（proper）层），是研究[[奇点 (数学)|奇点]]几何的重要工具。<ref>{{harvtxt|de Cataldo|Migliorini|2010}}</ref>

==== 凝聚层的导出范畴与格罗滕迪克群 ====
层导出范畴的另一重要应用是概形''X''上[[凝聚层]]的导出范畴，记作<math>D_{Coh}(X)</math>。格罗滕迪克在研究[[相交理论]]<ref>{{cite web|last=Grothendieck|title=Formalisme des intersections sur les schema algebriques propres|url=http://library.msri.org/books/sga/sga/6/6t_519.html|access-date=2023-12-18|archive-date=2023-06-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20230629053130/http://library.msri.org/books/sga/sga/6/6t_519.html|dead-url=yes}}</ref>时使用了[[导出范畴]]与[[K-理论]]，即子概形<math>Y_1, Y_2</math>的交积在[[格罗滕迪克群|K-理论]]中表示为<blockquote><math>[Y_1]\cdot[Y_2] = [\mathcal{O}_{Y_1}\otimes_{\mathcal{O}_X}^{\mathbf{L}}\mathcal{O}_{Y_2}] \in K(\text{Coh(X)})</math></blockquote>其中<math>\mathcal{O}_{Y_i}</math>是[[凝聚层]]，由其[[结构层]]给出的<math>\mathcal{O}_X</math>模定义。

== 景与意象（拓扑斯） ==
{{Main|格罗滕迪克拓扑|Topos}}
[[安德烈·韦伊]]的[[韦伊猜想]]认为，[[有限域]]上的[[代数簇]]有一种[[韦伊上同调论|上同调论]]，可给出[[黎曼猜想]]的类似理论。复流形的上同调可定义为欧氏拓扑中局部常层<math>\underline{\mathbf{C}}</math>的层上同调，这意味着将正示性的韦伊上同调论定义为常层的层上同调。但是，这样的簇上唯一的经典拓扑是[[扎里斯基拓扑]]，其开集非常少，以至于不可约簇上任何扎里斯基常层的上同调都为零。[[亚历山大·格罗滕迪克]]通过引入[[格罗滕迪克拓扑]]解决了这问题，其公理化了“覆叠”的概念。格罗滕迪克的独到见解是，层的定义只取决于拓扑空间的开集，而非单个点。公理化了覆叠的概念，就可以把开集换成其他对象。预层可把每个对象作为数据，而层就是在新覆叠概念下满足粘合公理的预层。这使得格罗滕迪克能定义[[平展上同调]]和ℓ进上同调，最终用于证明韦伊猜想。
具有格罗滕迪克拓扑的范畴叫做景（site）。景上的层范畴称作意象（topos，或音译拓扑斯）或格罗滕迪克意象。意象的概念后来被William Lawvere和Miles Tierney抽象化，以定义[[拓撲斯#基本拓撲斯（邏輯中的拓撲斯）|基本意向]]，与[[数理逻辑]]有关。

==历史==
'''层论'''最初的起源很难确认—它们可能和[[解析延拓]]的思想共存。可以识别的独立的层论才从[[上同调]]的基础工作中出现大约花了15年的时间。 

*1936年[[爱德华·切赫]]引入''[[开覆盖的神经|神经]]（Nerve）''构造，以将一个[[单纯复形]]关联到一个开覆盖。
*1938年[[Hassler Whitney]]给出上同调的一个'现代'定义，归纳了自[[J. W. Alexander]]和[[Kolmogorov]]首次定义''余链（cochain）''以来的工作。
*1943年[[诺曼·斯廷罗德]]发表了关于''带局部系数''的同调类的工作。
*1945年[[让·勒雷]]发表了作为[[POW]]进行的工作，由应用到[[偏微分方程]]理论的[[不动点]]定理的证明作为其动机；它是层论和[[谱序列]]的开始。
*1947年[[昂利·嘉当]]在和[[安德烈·韦伊]]的通信中用层的方法重新证明了[[德拉姆定理]]。勒雷在他的课程中通过闭集（后来的''壳（carapaces）'')给了一个层的定义。
*1948年嘉当研讨班首次写下层论
*1950年嘉当研讨班的层论'第二版':使用了[[层空间]]（''éspace étalé''，平展空间）的定义，采用茎方面的结构。[[支集]]和有支集的上同调被引入。连续映射导致了[[谱序列]]。同时[[岡潔|冈洁]]在[[多复变量]]中引入和理想的层相似的思想。
*1951年嘉当研讨班基于冈洁的工作证明了[[定理A和B]]]。
*1953年[[凝聚层]]的有限性定理在解析理论中由卡当和[[塞尔]]证明，[[塞尔对偶性]]也得到了证明。
*1954年塞尔的论文''Faisceaux algébriques cohérents''（发表于1955年）把层引入[[代数几何]]。这些思想很快为[[Hirzebruch]]所采用，他在1956年写了一本拓扑方法的重要著作。
*1955年[[格罗滕迪克]]在[[堪萨斯]]的讲演中定义了[[可交换范畴]]和''预层''，然后使用[[內射分解|内射分解]]（injective resolution）使得层上同调可以在所有拓扑空间作为[[导函子]]直接使用。
*1956年[[扎里斯基]]（Oscar Zariski）的报告''代数层论，第二个夏季学院的科学报告：多复变量[1954年, Boulder (Col.)]'',第三部，美国数学学会公告, t. 62, 1956年, 117-141页. 
*1957年格罗滕迪克的''Tohoku''论文重写了[[同调代数]]；他证明了[[格罗滕迪克对偶性]]（也即，对于可能有[[奇点 (数学)|奇点]]的代数簇的塞尔对偶性）。
*1958年Godement关于层论的著作出版。大约同一时间[[佐藤干夫]]建议了他的[[超函数]]，它具有层论的本质。
*1957年以后：格罗滕迪克按照代数几何的需要扩展了层论，引入：[[概形]]和其上的一般层，''局部上同调''，[[导出范畴]]（derived category，与Verdier的共同工作)，以及[[格罗滕迪克拓扑]]。也出现了他极有影响的同调代数的'六操作'的概形思想。

至此，层成为数学的一个主流部分，其应用根本不局限于[[代数拓扑]]。后来层范畴的逻辑被发现是[[直觉逻辑]]（该发现现在经常被称为[[关系语义#Kripke-Joyal_语义|Kripke-Joyal语义]]，但可能应该归功于一系列作者）。这表明层论的某些方面甚至可以追述到[[莱布尼兹]]。

==参看==
*[[束 (数学)]]
*[[堆 (范畴论)]]
==脚注==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Citation | last1=Bredon | first1=Glen E. | author1-link = Glen Bredon | title=Sheaf theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94905-5 | mr=1481706  | edition=2nd | year=1997 | volume=170}} (oriented towards conventional topological applications)
* {{cite journal
 |url          = http://www.ams.org/notices/201005/rtx100500632p.pdf
 |last1        = de Cataldo
 |first1       = Andrea Mark
 |first2       = Luca
 |last2        = Migliorini
 |title        = What is a perverse sheaf?
 |journal      = [[Notices of the American Mathematical Society]]
 |date         = 2010
 |volume       = 57
 |issue        = 5
 |pages        = 632–4
 |arxiv        = 1004.2983
 |bibcode      = 2010arXiv1004.2983D
 |mr           = 2664042
 |access-date  = 2023-12-16
 |archive-date = 2023-12-11
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20231211080825/http://www.ams.org/notices/201005/rtx100500632p.pdf
 |dead-url     = no
}}
* {{Citation | last1=Godement | first1=Roger | author1-link = Roger Godement | title=Topologie algébrique et théorie des faisceaux | publisher=Hermann | location=Paris | mr=0345092  |orig-year=1973 |year=2006 |isbn=2705612521}}
* {{Citation | last1=Grothendieck | first1=Alexander | author1-link=Alexander Grothendieck | title=Sur quelques points d'algèbre homologique | mr=0102537  | year=1957 | journal=The Tohoku Mathematical Journal |series=Second Series | issn=0040-8735 | volume=9 | issue=2 | pages=119–221 | doi=10.2748/tmj/1178244839| doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Hirzebruch | first1=Friedrich | author1-link = Friedrich Hirzebruch | title=Topological methods in algebraic geometry | publisher=Springer-Verlag | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-58663-0 | mr=1335917  | year=1995}} (updated edition of a classic using enough sheaf theory to show its power)
* {{Citation|last1=Iversen|first1=Birger|title=Cohomology of sheaves|series=Universitext|publisher=Springer|year=1986|isbn=3-540-16389-1|mr=842190|doi=10.1007/978-3-642-82783-9}}
* {{Citation | last1=Kashiwara | first1=Masaki | author1-link=Masaki Kashiwara | last2=Schapira | first2=Pierre | title=Sheaves on manifolds | publisher=Springer-Verlag | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | isbn=978-3-540-51861-7 | mr=1299726  | year=1994 | volume=292}} (advanced techniques such as the [[derived category]] and [[vanishing cycle]]s on the most reasonable spaces)
* {{Citation | last1=Mac Lane | first1=Saunders | author1-link = Saunders Mac Lane | last2=Moerdijk | first2=Ieke | author2-link = Ieke Moerdijk | title=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory | publisher=Springer-Verlag | series=Universitext | isbn=978-0-387-97710-2 | mr=1300636  | year=1994}} (category theory and toposes emphasised)
* {{Citation | last1=Martin | first1=William T. | last2=Chern | first2=Shiing-Shen | author2-link=Shiing-Shen Chern | last3=Zariski | first3=Oscar | author3-link=Oscar Zariski | title=Scientific report on the Second Summer Institute, several complex variables | mr=0077995  | year=1956 | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9904 | volume=62 | pages=79–141 | doi=10.1090/S0002-9904-1956-10013-X | issue=2| doi-access=free }}
* {{Citation|last1=Ramanan|first1=S.|title=Global calculus|series=Graduate Studies in Mathematics|volume=65|publisher=American Mathematical Society|year=2005|isbn=0-8218-3702-8|mr=2104612|doi=10.1090/gsm/065}}
* {{Citation |author1-link=J. Arthur Seebach |first1=J. Arthur |last1=Seebach |first2=Linda A. |last2=Seebach |author3-link=Lynn A. Steen |first3=Lynn A. |last3=Steen |year=1970 |title=What is a Sheaf |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=77 |issue=7 |pages=681–703  |doi=10.1080/00029890.1970.11992563 |mr=0263073|s2cid=203043621 }}
* {{Citation | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=Faisceaux algébriques cohérents | url=http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf | mr=0068874 | year=1955 | journal=[[Annals of Mathematics]] | series=Second Series | issn=0003-486X | volume=61 | pages=197–278 | doi=10.2307/1969915 | jstor=1969915 | issue=2 | accessdate=2023-12-16 | archive-date=2011-07-17 | archive-url=https://web.archive.org/web/20110717012046/http://www.mat.uniroma1.it/people/arbarello/FAC.pdf | dead-url=yes }}
* {{Citation | last1=Swan | first1=Richard G. | author-link=Richard Swan| title=The Theory of Sheaves | publisher=[[University of Chicago Press]]| year=1964 |isbn=9780226783291 |series=Chicago lectures in mathematics |edition=3 }} (concise lecture notes)
* {{Citation | last1=Tennison | first1=Barry R. | title=Sheaf theory | publisher=[[Cambridge University Press]] | mr=0404390 | year=1975 | url=https://books.google.com/books?id=JOglpKIw6kIC | isbn=978-0-521-20784-3 | volume=20 | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | accessdate=2023-12-16 | archive-date=2023-07-09 | archive-url=https://web.archive.org/web/20230709044525/https://books.google.com/books?id=JOglpKIw6kIC | dead-url=no }} (pedagogic treatment)
* {{Cite book |last=Rosiak |first=Daniel |url=https://direct.mit.edu/books/oa-monograph/5460/Sheaf-Theory-through-Examples |title=Sheaf theory through examples |date=2022 |isbn=978-0-262-37042-4 |location=Cambridge, Massachusetts |doi=10.7551/mitpress/12581.001.0001 |s2cid=253133215 |oclc=1333708310 |access-date=2023-12-16 |archive-date=2023-06-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230606041342/https://direct.mit.edu/books/oa-monograph/5460/Sheaf-Theory-through-Examples |dead-url=no }} (introductory book with open access)

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