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[[数学]]中，'''层上同调'''是运用[[同调代数]]分析[[拓扑空间]]上[[层 (数学)|层]]的[[全局截面]]的领域。广义地说，层上同调描述了几何问题能在局部解决时，全局解决问题遇到的障碍。层上同调的核心著作是[[亚历山大·格罗滕迪克]]1957年发表在《东北数学杂志》上的论文。<ref>{{citation|first=A.|last=Grothendieck|authorlink=Alexander Grothendieck|title=Sur quelques points d'algèbre homologique|journal=[[Tôhoku Mathematical Journal]]|volume=9|issue=2|series=(2)|pages=119–221|year=1957|mr=0102537|doi=10.2748/tmj/1178244839|doi-access=free}}. [http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf English translation] {{Wayback|url=http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf |date=20210225081836 }}.</ref>

层、层上同调与[[谱序列]]是[[让·勒雷]]在奥地利战俘营[[Oflag XVII-A]]中提出的。<ref name=HaynesMiller>{{harv|Miller|2000}}</ref>勒雷在1940年到1945年与其他人在集中营组织了“狱中大学”。

1950年代，勒雷的定义得到了简化与澄清。很明显，层上同调不仅是[[代数拓扑]]中一种新的[[上同调]]方法，也是[[复解析簇|复解析几何]]与[[代数几何]]中一种强有力的方法。这些课题通常涉及构建具有特定局部性质的全局[[函数]]，层上同调非常适合。[[黎曼-罗赫定理]]、[[霍奇定理]]等很多早期结果都通过层上同调得到推广或有了更好理解。

==定义==
拓扑空间''X''上[[阿贝尔群]]的层范畴是[[阿贝尔范畴]]，因此问层的态射<math>f:\ B\to C</math>是[[单态射]]还是[[满态射]]的问题有意义。答案之一是：对''X''中每个点''x''，当且仅当相关的[[茎 (数学)|茎]]上同态<math>B_x\to C_x</math>是[[单射]]（或[[满射]]），''f''才是单射（或满射）。由此可知，对''X''中每个开集''U''，当且仅当''U''上截面的同态<math>B(U)\to C(U)</math>是单射时，''f''才是单射。而满射则更微妙：对''X''中每个开集''U''、''U''上''C''的每个截面''s''与''U''中每一点''x''，当且仅当存在''U''中''x''的开[[邻域]]''V''使限制于''V''的''s''是''V''上某截面''B''的像（即：''C''的每个截面都局部提升到''B''的截面），''f''才是满射。
于是问题来了：给定层的满射<math>B\to C</math>与''X''上''C''的截面''s''，''s''满足什么条件时是''B''在''X''上某截面的像？这是几何中各种局部与全局问题的模型。层上同调给出了令人满意的一般答案：令''A''是满射<math>B\to C</math>的[[核 (范畴论)|核]]，给定''X''上层的[[短正合列]]
:<math> 0\to A\to B\to C\to 0</math>
则有阿贝尔群[[长正合列]]，称作层上同调群：
:<math> 0\to H^0(X,A) \to H^0(X,B) \to H^0(X,C) \to H^1(X,A) \to \cdots,</math>
其中<math>H^0(X,\ A)</math>是''X''上''A''的全局截面群<math>A(X)</math>。例如，若群<math>H^1(X,\ A)</math>为零，则此正合列可以说明，''C''的每个全局截面都提升到''B''的全局截面。更一般地，正合列使高阶上同调群的知识成为理解层截面的基本工具。

[[亚历山大·格罗滕迪克]]对层上同调的定义已成为标准定义，使用的是同调代数的语言。其要点是，固定拓扑空间''X''，将上同调看做''X''上阿贝尔群层映射到阿贝尔群的[[函子]]。更精确地说，从''X''上阿贝尔群层到阿贝尔群的函子<math>E\mapsto E(X)</math>开始。这是[[左正合函子]]，但一般不是右正合的。那么，群<math>H^i(X,\ E)</math>（''i''是[[整数]]）可定义为函子<math>E\mapsto E(X)</math>的[[导出函子]]，这样''i'' < 0时，<math>H^i(X,\ E)</math>自动为零，<math>H^0(X,\ E)</math>是全局截面群<math>E(X)</math>。上述长正合列也是直接的。
任何拓扑空间''X''上阿贝尔群层范畴都有足量单射，即对层''E''，都有具备<math>E\to I</math>的[[单射层]]''I''。<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem II.3.1.}}</ref>导出函子的定义运用了这一点。由此可见，层''E''都有单射[[消解 (代数)|消解]]：
:<math>0\to E\to I_0\to I_1\to I_2\to \cdots.</math>
则，层上同调群<math>H^i(X,\ E)</math>是阿贝尔群[[链复形]][[上同调群]]（同态的核模了前一个的像）：
:<math> 0\to I_0(X) \to I_1(X) \to I_2(X)\to \cdots.</math>
同调代数中的标准论证表明，这些上同调群独立于''E''的单射消解的选择。

此定义很少直接用于计算层上同调，不过还是很强大的，因为具有很强的一般性（任何拓扑空间上阿贝尔群的任何层），且很容易隐含层上同调的形式属性，如上述长正合列。对特定类别的空间或层，有很多计算层上同调的工具，下详。

==函子性==
对拓扑空间的任意连续映射<math>f:\ X\to Y</math>、''Y''上阿贝尔群任何层''E''，对任何整数''j''都有'''拉回同态'''
:<math>f^*\colon H^j(Y,E) \to H^j(X,f^*(E))</math>

其中<math>f^*(E)</math>表示[[拉回层]]。<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.5.1.}}</ref>若''f''是''Y''的子空间''X''的含入，<math>f^*(E)</math>是''E''到''X''的'''限制'''，通常就只称作''E''，截面''s''的''Y''到''X''的拉回称作限制<math>s|_X</math>。
拉回同态在[[迈尔–维托里斯正合列]]有应用，这是一个重要的计算结果。即，设''X''是拓扑空间，是两开子集''U''、''V''的并，且令''E''是''X''上的层，则有阿贝尔群的长正合列：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.5.10.}}</ref>
:<math> 0\to H^0(X,E) \to H^0(U,E)\oplus H^0(V,E) \to H^0(U\cap V, E) \to H^1(X,E) \to \cdots.</math>

==常系数层上同调==
对拓扑空间''X''与阿贝尔群''A''，[[常层]]<math>A_X</math>是值在''A''中的局部常值函数的层。具有常系数的层上同调群<math>H^j(X,A_X)</math>通常简写为<math>H^j(X,A)</math>，除非这会导致与[[奇异上同调]]之类相混。

对连续映射<math>f:\ X\to Y</math>与阿贝尔群''A''，拉回层<math>f^*(A_Y)</math>同构于<math>A_X</math>。因此，拉回同态使得常系数层上同调变为拓扑空间到阿贝尔群的[[函子#協變與反變|反变函子]]。

对任意空间''X''、''Y''与任意阿贝尔群''A''，''X''到''Y''的两[[同伦]]映射''f''、''g''在层上同调上导出相同的同态：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem IV.1.1.}}</ref>
:<math>f^*=g^*: H^j(Y,A)\to H^j(X,A).</math>
由此可见，两[[同伦等价]]空间有同构的常系数层上同调。

令''X''是[[仿紧空间|仿紧]][[豪斯多夫空间]]，是[[可收缩空间#局部可收缩空间|局部可收缩空间]]，甚至在弱意义上，点''x''的开邻域''U''都包含''x''的开邻域''V''，使得含入<math>V\to U</math>同伦于常值映射。则，''x''的奇异上同调群（系数在阿贝尔群''A''中）同构于常系数层上同调<math>H^*(X,\ A_X)</math>。<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem III.1.1.}}</ref>例如，对''X''是[[拓扑流形]]或[[CW复形]]的情形，这一点是成立的。

因此，很多常系数层上同调的许多基本计算与奇异上同调的计算相同，球面、射影空间、环面与曲面的上同调见[[餘調#例子]]。

对任意拓扑空间，奇异上同调与层上同调（常系数）可能是不同的，<math>H^0</math>也可能发生：<math>H^0(X,\ \Z)</math>是''X''的[[连通空间#道路连通，弧连通|路径分量]]集到整数<math>\Z</math>的函数群的奇异上同调，而层上同调<math>H^0(X,\ \Z_X)</math>是''X''到<math>\Z</math>的局部常值函数群层上同调。例如，当''X''是[[康托尔集]]时，情形就不同了。事实上，在这种情况下，层上同调<math>H^0(X,\ \Z_X)</math>是[[可数集|可数]]阿贝尔群，而奇异上同调<math>H^0(X,\ \Z)</math>是''x''到<math>\Z</math>所有函数的群，其[[势 (数学)|势]]为
:<math>2^{2^{\aleph_0}}.</math>

对仿紧豪斯多夫空间''X''、''X''上阿贝尔群的任意层''E''，上同调群<math>H^j(X,\ E)</math>对大于''X''的[[拓扑维数]]的''j''都是零<ref>{{harv|Godement|1973|loc=II.5.12.}}</ref>（对奇异上同调来说在一般情形下不成立，例如有欧氏空间<math>\R^3</math>的[[紧空间|紧]]子集，其在无限多度上具有非零的奇异上同调<ref>{{harv|Barratt|Milnor|1962}}</ref>）。拓扑维数与拓扑流形或CW复形的通常维度概念一致。

==弛层与软层==
拓扑空间''X''上阿贝尔群的层''E'' 若对<math>\forall j>0,\ H^j(X,\ E)=0</math>，则称作'''无环'''的（acyclic）。根据层上同调的长正合列，任何层的上同调都可从''E''的任何无环消解（而非单射消解）计算得来。单射层是无环的，但对计算来说，有其他无环层的例子很有用。

''X''上层''E''，若''E''在''X''某开子集上的每个截面都延伸到''E''在''X''全体上的某截面，就称''E''是'''弛'''（英语：flabby，法语：flasque）的。弛层无环。<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem II.3.5.}}</ref>Godement通过任何层上的规范弛消解，定义了任何层的层上同调。由于弛层无环，Godement的定义与上述层上同调定义一致。<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.3.6.}}</ref>

仿紧豪斯多夫空间''X''上的层''E''，若''E''到''X''闭子集的限制的每个截面都延伸到''E''在''X''全体上的某截面，就称''E''是'''软'''的。软层无环。<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.11.}}</ref>
软层的一些例子如仿紧豪斯多夫空间上实值[[连续函数]]层、[[光滑流形]]上[[光滑函数|光滑（<math>C^\infty</math>）函数]]层。<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Example II.9.4.}}</ref>更一般地，[[赋环空间|交换环软层]]上的[[模层]]还是软的，例如光滑流形上[[向量丛]]的光滑截面层是软的。<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.9.16.}}</ref>
例如，这些结果形成了[[德拉姆定理]]证明的一部分。对光滑流形''X''，[[庞加莱引理]]指出，德拉姆复形是常层<math>\R_X</math>的消解：
:<math>0\to\mathbf{R}_X\to\Omega^0_X\to\Omega^1_X\to\cdots,</math>
其中<math>\Omega_X^j</math>是光滑[[微分形式|''j''形式]]的层，映射<math>\Omega_X^j\to \Omega_X^{j+1}</math>是[[外微分]]<math>\rm d</math>。根据上面的结果，层<math>\Omega_X^j</math>是软的，因此是无环的。可知，''X''的实系数层上同调同构于''X''的德拉姆上同调，后者定义为实[[向量空间]]复形的上同调：
:<math>0\to \Omega^0_X(X)\to\Omega^1_X(X)\to\cdots.</math>
德拉姆定理的另一部分是识别''X''的实系数层上同调、奇异上同调；如上所述，这在更大的推广上成立。

==切赫上同调==
[[切赫上同调]]是层上同调的近似，常用于计算。即，令<math>\mathcal{U}</math>为拓扑空间''X''的[[开覆盖]]，令''E''为''X''上阿贝尔群的层。记覆盖中的开集为<math>U_i</math>，其中''i''属于集合''I''，且''I''的顺序固定，则切赫上同调<math>H^j(\mathcal{U},E)</math>可定义为有''j''个群的阿贝尔群显式复形的上同调：
:<math>C^j(\mathcal{U},E)=\prod_{i_0<\cdots<i_j}E(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_j}).</math>
有自然同构<math>H^j(\mathcal{U},E)\to H^j(X,E)</math>，因此切赫上同调是层上同调的近似，仅使用在开集<math>U_i</math>的有限交上的''E''的截面。

若<math>\mathcal{U}</math>中开集的每个有限交''V''都没有系数在''E''中的高阶上同调，即对<math>\forall j>0,\ H^j(V,\ E)=0</math>，则切赫上同调<math>H^j(\mathcal{U},E)</math>到层上同调的[[同态]]是[[同构]]。<ref>{{harv|Godement|1973|loc=section II.5.4.}}</ref>

将切赫上同调与层上同调相联系的另一种方法如下。'''切赫上同调群'''<math>\check{H}^j(X,E)</math>定义为<math>H^j(\mathcal{U},E)</math>在''X''所有开覆盖<math>\mathcal{U}</math>上的[[直极限]]（其中开覆盖由[[加细 (拓扑)|加细]]排序）。有切赫上同调到层上同调的同态<math>\check{H}^j(X,E)\to H^j(X,E)</math>，对<math>j\le 1</math>是同构。对任意拓扑空间，切赫上同调与层上同调在更高的度上会有不同，但方便地说，对仿紧豪斯多夫空间上的任何层，切赫上同调都同构于层上同调。<ref>{{harv|Godement|1973|loc=section II.5.10.}}</ref>

同构<math>\check{H}^1(X,E)\cong H^1(X,E)</math>隐含着对拓扑空间''X''上阿贝尔群任何层''E''的<math>H^1(X,\ E)</math>的描述：此群在同构意义上分类了''X''上的''E'''''扭子'''（也叫[[主丛|主''E''丛]]）（通过[[非阿贝尔上同调]]集<math>H^1(X,\ G)</math>，这论述可推广到群''G''（不必阿贝尔）的任何层）。由定义，''X''上的''E''扭子是集合的层''S''以及''E''在''X''上的[[群作用]]，使''X''中每点都有''S''同构于''E''的开邻域，''E''通过平移（translation）作用于自身。例如，[[赋环空间]]<math>(X,\ O_X)</math>上，''X''上[[可逆层]]的[[皮卡德群]]同构于层上同调群<math>H^1(X,\ O_X^*)</math>，其中<math>O_X^*</math>是<math>O_X</math>中[[可逆元]]的层。

==相对上同调==
对整数''j''、拓扑空间''X''的子集''Y''与''X''上阿贝尔群的层''E''，可以定义'''[[相对同调|相对上同调]]'''群：<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=section II.12.}}</ref>
:<math>H^j_Y(X,E)=H^j(X,X-Y;E)</math>
还可称作在''Y''中有'''支持'''的''X''的上同调，或（''Y''对''X''封闭时）'''[[局部上同调]]'''。长正合列可在通常意义上将相对上同调与层上同调关联：
:<math>\cdots \to H^j_Y(X,E)\to H^j(X,E)\to H^j(X-Y,E)\to H^{j+1}_Y(X,E)\to\cdots.</math>

''Y''对''X''封闭时，在''Y''中有支持的上同调可定义为函子
:<math>H^0_Y(X,E):=\{s\in E(X): s|_{X-Y}=0\},</math>
的导出函子，即在''Y''上有支持的''E''的截面群。
有几种同构称作'''[[切除定理|切除]]'''。例如，若''X''是拓扑空间，其子空间''Y''、''U''使''Y''的闭包在''U''内部，''E''是''X''上的层，则约束

:<math>H^j_Y(X,E)\to H^j_Y(U,E)</math>
是同构<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.12.9.}}</ref>（因此，在闭子集''Y''中具有支持的上同调只取决于空间''X''与层''E''在''Y''附近的行为）。另外，若''X''是仿紧豪斯多夫空间、是闭子集''A''、''B''的并、''E''是''X''上的层，则约束
:<math>H^j(X,B;E)\to H^j(A,A\cap B;E)</math>
是同构。<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Corollary II.12.5.}}</ref>

==具有紧支持的上同调==
令''X''是[[局部紧]]拓扑空间（本文将局部紧空间理解为豪斯多夫空间）。对''X''上阿贝尔群的层''E''，可定义'''有紧支持的上同调'''<math>H_c^j(X,\ E)</math>。<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Definition III.1.3.}}</ref>这些群被定义为紧支持截面的函子的导出函子：
:<math>H^0_c(X,E)=\{s\in E(X): \text{有}X\text{的紧子集}K,\ \text{且}s|_{X-K}=0\}.</math>
有自然同构<math>H_c^j(X,\ E)\to H^j(X,\ E)</math>，是''X''紧的同构。

对局部紧空间''X''上的层''E''，<math>X\times \R</math>的系数在''E''的拉回中的紧支持上同调是''X''的紧支持上同调的移位（shift）：<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.15.2.}}</ref>
:<math>H^{j+1}_c(X\times\mathbf{R},E)\cong H^j_c(X,E).</math>
举例来说，若<math>j=n</math>，则<math>H_c^j(\R^n,\ \Z)</math>同构于<math>\Z</math>，否则为零。

就任意连续映射而言，紧支持上同调不是函子性的。而对局部紧空间上的[[紧合映射]]<math>f:\ Y\to X</math>与''X''上的层''E''，紧支持上同调上有拉回同态
:<math>f^*\colon H^j_c(X,E)\to H^j_c(Y,f^*(E))</math>
另外，对局部紧空间''X''的开子集''U''与''X''上的层''E''，有称作'''零点扩张'''（extension by zero）的前推同态：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.7.4.}}</ref>
:<math>H^j_c(U,E)\to H^j_c(X,E).</math>
对局部紧空间''X''与闭子集''Y''，这两个同态都见于紧支持上同调的长正合'''局部化列'''中：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc= II.7.6.}}</ref>
:<math>\cdots\to H^j_c(X-Y,E)\to H^j_c(X,E)\to H^j_c(Y,E)\to H^{j+1}_c(X-Y,E)\to\cdots.</math>

==上积==
对所有''i''、''j''以及拓扑空间''X''上阿贝尔群的任意层''A''、''B''，有双射——'''[[上积]]'''<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.10.1.}}</ref>
:<math>H^i(X,A)\times H^j(X,B)\to H^{i+j}(X,A\otimes B),</math>
当中<math>A\otimes B</math>表示在<math>\Z</math>上的[[张量积]]，但若''A''、''B''是交换环的某层<math>O_X</math>上的模层，则可进一步从<math>H^{i+j}(X,\ A\otimes_{\Z}B)</math>映射到<math>H^{i+j}(X,\ A\otimes_{O_X}B)</math>。特别是，对交换环的层<math>O_X</math>，上积使得[[直和]]
:<math>H^*(X,O_X) = \bigoplus_j H^j(X,O_X)</math>
变为[[分次交换环]]，即对<math>\forall u\in H^i,\ v\in H^j,</math><ref>{{harv|Iversen |1986|loc=II.10.3.}}</ref>
:<math>vu=(-1)^{ij}uv</math>

==层复形==
层上同调是导出函子的定义可进行扩展，定义拓扑空间''X''的上同调，且系数在层的任何[[链复形|复形]]''E''中：
:<math>\cdots\to E_j\to E_{j+1}\to E_{j+2}\to \cdots</math>
特别地，若复形''E''有下界（对足够负的''j''，层<math>E_j</math>为零），则''E''像单层一样有'''单射消解'''''I''（由定义，''I''是有下界的单射层复形，其[[链复形#鏈映射|链映射]]<math>E\to I</math>是[[拟同构]]）。则上同调群<math>H^j(X,\ E)</math>定义为阿贝尔群复形的上同调

:<math>\cdots \to I_j(X)\to I_{j+1}(X)\to I_{j+2}(X)\to\cdots.</math>
空间的系数在层复形中的上同调，早先被称作[[超同调]]，现在一般只叫“上同调”。

更一般地，对空间''X''上层''E''（不必有下界）的任意复形，上同调群<math>H^j(X,\ E)</math>定义为''X''上层的[[导出范畴]]中态射的群：

:<math>H^j(X,E)=\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbf{Z}_X,E[j]),</math>
其中<math>\Z_X</math>是与整数相关联的常层，<math>E[j]</math>表示向左移动''j''步的复形''E''。

==庞加莱对偶性与推广==
'''[[庞加来对偶性]]'''定理是拓扑学的一个核心成果：对''n''维[[闭流形|闭]][[可定向性|有向]][[连通空间|连通]]拓扑流形''X''、[[域 (数学)|域]]''k''，群<math>H^n(X,\ k)</math>同构于''k''，上积
:<math>H^j(X,k)\times H^{n-j}(X,k)\to H^n(X,k)\cong k</math>
是所有整数''j''的[[雙線性形式#不同空間的推廣|完美配对]]。即，从<math>H^j(X,\ k)</math>到[[对偶空间]]<math>H^{n-j}(X,\ k)^*</math>的映射是同构，特别是，向量空间<math>H^j(X,\ k)</math>与<math>H^{n-j}(X,\ k)^*</math>有相同的（有限）[[向量空间的维数|维数]]。

运用层上同调的语言，可以进行很多推广。若''X''是有向''n''维流形（不必紧或连通），''k''是域，则上同调就是有紧支持的上同调的对偶：
:<math>H^j(X,k)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.</math>
对任意流形''X''、域''k''，有''X''上的层<math>o_X</math>——'''[[方向层]]'''，局部（可能不是全局）同构于常层''k''。庞加莱对偶关于任意''n''维流形''X''的一个版本是同构：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem V.3.2.}}</ref>
:<math>H^j(X,o_X)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.</math>
更一般地，若''E''是''n''维流形上''k''维向量空间的局部常层，且''E''的茎有限维，则有同构
:<math>H^j(X,E^*\otimes o_X)\cong H^{n-j}_c(X,E)^*.</math>
系数在任意交换环而非域中时，庞加莱对偶性可以很自然地表述为上同调到[[博雷尔–摩尔同调]]的同构。

'''[[韦迪耶对偶]]'''是很广的推广。对任意有限维局部紧空间''X''与任意域''k''，在''X''上层的导出范畴<math>D(X)</math>中有对象<math>D_X</math>，称作'''对偶化复形'''（dualizing complex，系数位于''k''中）。韦迪耶对偶的一种情形是同构：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=IX.4.1.}}</ref>
:<math>H^j(X,D_X)\cong H^{-j}_c(X,k)^*.</math>
对''n''维流形''X''，对偶化复形<math>D_X</math>同构于方向层的移位<math>o_X[n]</math>。因此，庞加莱对偶是韦迪耶对偶的特例。

'''[[亚历山大对偶]]'''是另一种有用的推广。对有向''n''维流形''M''的任意闭子集''X''与任意域''k''，有同构：<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Theorem IX.4.7 and section IX.1.}}</ref>
:<math>H^j_X(M,k)\cong H^{n-j}_c(X,k)^*.</math>
对<math>M=\R^n</math>的紧子集''X''来说这已经很有趣了，因为它说（粗略地），<math>\R^n-X</math>的上同调是''X''的层上同调的对偶。当中，必须考虑层上同调而非奇异上同调，除非对''X''有额外假设，如局部可收缩性。

==高阶直像与勒雷谱序列==
令<math>f:\ X\to Y</math>维拓扑空间的连续映射，''E''为''X''上阿贝尔群的层。[[前推层]]<math>f_*E</math>是''Y''上的层，对''Y''的任意开子集''U''定义为
:<math>(f_*E)(U) = E(f^{-1}(U))</math>
例如，若''f''是''X''到点的映射，则<math>f_*E</math>是与''E''的全局截面群<math>E(X)</math>对应的点上的层。

''X''上的层到''Y''上的层的函子<math>f_*</math>是左正合的，但一般不是右正合的。''Y''上的[[直像函子|高阶直像]]层<math>R^if_*E</math>定义为函子<math>f_*</math>的右导出函子。另一种描述是，<math>R^if_*E</math>是[[层_(数学)#将预层变为层|与''Y''上预层相关联的层]]<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=Proposition II.5.11.}}</ref>
:<math>U \mapsto H^i(f^{-1}(U),E)</math>
因此，粗略地说，高阶直像层描述了''Y''中小开集的逆像的上同调。

'''[[勒雷谱序列]]'''将''X''上的上同调与''Y''上的上同调相关联，即对任何连续映射<math>f:\ X\to Y</math>、''X''上任何层''E''，有[[谱序列]]
:<math> E_2^{ij} = H^i(Y,R^jf_*E) \Rightarrow H^{i+j}(X,E).</math>
这是一个非常一般的结果。''f''是[[纤维化 (数学)|纤维化]]、''E''是常层的特例在[[同伦论]]中扮演着重要角色，这种情形称作[[塞尔谱序列]]。当中，高阶直像层是局部常的，其茎是''f''的纤维''F''的上同调群，因此塞尔谱序列对阿贝尔群''A''，可写作
:<math> E_2^{ij} = H^i(Y,H^j(F,A)) \Rightarrow H^{i+j}(X,A).</math>

勒雷谱序列的一个简单而有用的情形是，对拓扑空间''Y''的任意闭子集''X''和''X''上任意层''E''，用<math>f:\ X\to Y</math>表示包含，有同构<ref>{{harv|Iversen|1986|loc=II.5.4.}}</ref>
:<math>H^i(Y,f_*E)\cong H^i(X,E).</math>
因此，关于闭子空间上层上同调的问题都可转化为关于环境空间上直像层的问题。

==上同调的有限性==
有个关于层上同调的强有限性结果。令''X''是紧豪斯多夫空间，''R''是[[主理想域]]，例如域或整数环<math>\Z</math>。令''E''为''X''上''R''模的层，并假定''E''有“局部有限生成上同调”，即对''X''中每点''x''、整数''j''、''x''的所有开邻域''U''，都有''x''的开邻域<math>V\subset U</math>，使得<math>H^j(U,\ E)\to H^j(V,\ E)</math>的像是有限生成''R''模，则上同调群<math>H^j(X,\ E)</math>是有限生成''R''模。<ref>{{harv|Bredon|1997|loc=Theorem II.17.4}}, {{harv|Borel|1984|loc=V.3.17.}}</ref>

例如，对局部可收缩紧豪斯多夫空间''X''（在上文所述的弱意义上），层上同调群<math>H^j(X,\ \Z)</math>对整数''j''是有限生成的。

有限性结果适用于[[可构造层]]的一种情形。令''X''为拓扑[[层化空间]]。具体来说，''X''有闭子集序列
:<math>X=X_n\supset X_{n-1}\supset\cdots\supset X_{-1}=\emptyset</math>
使每个差分<math>X_i-X_{i-1}</math>是维数为''i''的拓扑流形。 若''E''对每层<math>X_i-X_{i-1}</math>的限制是局部常的，且茎是有限生成''R''模，则''X''上的层''E''或''R''模在给定分层下是'''可构造的'''。关于给定分层的''X''上可构造层''E''具有局部有限的生成上同调。<ref>{{harv|Borel|1984|loc=Proposition V.3.10.}}</ref>若''X''是紧的，则''X''的上同调群<math>H^j(X,\ E)</math>（系数在可构造层中）是有限生成的。

更一般地，假设''X'是可紧的，即有紧层化空间''W''，包含''X''为开子集，''W''–''X''是层的连通分量的并，则对''X''上''R''模的任意可构造层''E''，''R''模<math>H^j(X,\ E)</math>与<math>H_c^j(X,\ E)</math>都是有限生成的。<ref>{{harv|Borel|1984|loc=Lemma V.10.13.}}</ref>例如，任何具有经典（欧氏）拓扑的复[[代数簇]]''X''在此意义上都是可紧的。

==凝聚层上同调==
{{main|凝聚层上同调}}
代数几何与复解析几何中，[[凝聚层]]是一类有特殊几何意义的层。例如，（局部[[诺特概形]]上的）[[代数向量丛]]或（[[复解析空间]]上的）[[全纯向量丛]]可视作凝聚层，而凝聚层比向量丛更有优势，因为凝聚层构成了阿贝尔范畴。在概形上，考虑准[[凝聚层]]也是有用的，其中包括秩无限的局部自由层。

关于系数在凝聚层中的概形或复解析空间的上同调群，我们已了解了很多。这一理论是代数几何中的重要技术工具，主要定理包括在各种情况下上同调变为零、上同调有限维、凝聚层上同调与奇异上同调的比较（如[[霍奇理论]]）与凝聚层上同调中[[欧拉示性数]]的公式（如[[黎曼-罗赫定理]]）等。
==景上的层==
1960年代，格罗滕迪克定义了'''景'''（site），即具备了[[格罗滕迪克拓扑]]的范畴。景''C''公理化了这样一个概念：''C''中的态射<math>V_{\alpha}\to U</math>集合是''U''的覆盖。拓扑空间''X''以自然的方式确定了景：范畴''C''的对象是''X''的开子集，态射是包含，当且仅当''U''是开子集<math>V_{\alpha}</math>的并时，态射<math>V_{\alpha}\to U</math>的集合称作''U''的覆盖。此外，格罗滕迪克拓扑的激励性例子是概形上的[[平展拓扑]]。此后，[[代数几何]]中还是用了很多其他的格罗滕迪克拓扑：[[fpqc拓扑]]、[[尼斯涅维奇拓扑]]等等。

层的定义适用于任何景，所以可以谈论景上的集合层，景上的阿贝尔群层，等等。层上同调作为导出函子的定义同样适于景，因此，对于景上的任何对象''X''、阿贝尔群的任何层''E''，都有层上同调群<math>H^j(X,\ E)</math>。对于平展拓扑，这给出了[[平展上同调]]的概念，并由此证明了[[韦伊猜想]]。代数几何中[[晶体上同调]]等其他上同调论也被定义为适当的景上的层上同调。

==注释==
{{Reflist|30em}}

==参考文献==
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*{{Citation | author1-last=Borel | author1-first=Armand | author1-link=Armand Borel | title=Intersection Cohomology | publisher=[[Birkhäuser]] | year=1984 | isbn=0-8176-3274-3 | mr=0788171}}
* {{Citation | last1=Bredon | first1=Glen E. | author1-link = Glen Bredon | title=Sheaf Theory | series=Graduate Texts in Mathematics | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94905-5 | mr=1481706  | edition=2nd | orig-year=1967 | year=1997 | volume=170 | doi=10.1007/978-1-4612-0647-7}}
*{{Citation| last1=Godement | first1=Roger | author1-link=Roger Godement | title=Topologie algébrique et théorie des faisceaux | publisher=Hermann | location=Paris | mr=0345092  | orig-year=1958 | year=1973}}
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of Algebraic Geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 |mr=1288523 | orig-year=1978 | year=1994 | doi=10.1002/9781118032527| doi-access=free }}
*{{citation|first=A.|last=Grothendieck|author-link=Alexander Grothendieck|title=Sur quelques points d'algèbre homologique|journal=[[Tôhoku Mathematical Journal]]|volume=9|series=(2)|pages=119–221|year=1957|issue=2|mr=0102537|url=http://projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839|doi=10.2748/tmj/1178244839|doi-access=free|accessdate=2024-02-08|archive-date=2020-08-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20200820025850/https://www.projecteuclid.org/euclid.tmj/1178244839|dead-url=no}}. [http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf English translation] {{Wayback|url=http://www.math.mcgill.ca/barr/papers/gk.pdf |date=20210225081836 }}.
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | oclc=13348052 |mr=0463157 | year=1977}}
* {{Citation | last1=Iversen | first1=Birger | title=Cohomology of Sheaves | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Universitext | isbn=978-3-540-16389-3 |mr=842190 | year=1986 | doi=10.1007/978-3-642-82783-9}}
*{{cite web |last=Miller |first=Haynes |url=http://math.mit.edu/~hrm/papers/ss.pdf |s2cid=13024093 |title=Leray in Oag XVIIA: The origins of sheaf theory, sheaf cohomology, and spectral sequences |year=2000 |access-date=2024-02-08 |archive-date=2024-07-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240709034654/https://math.mit.edu/~hrm/papers/ss.pdf |dead-url=no }}

==外部链接==
* The [https://mathoverflow.net/q/1151 thread "Sheaf cohomology and injective resolutions"] on [[MathOverflow]]
* The [https://math.stackexchange.com/q/54752 "Sheaf cohomology"] on [[Stack Exchange]]

[[Category:同调代数]]
[[Category:层论]]