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{{Refimprove|time=2021-09-20T03:55:09+00:00}}
[[拓撲學]]及[[數學]]的相近分支中，'''局部緊'''[[拓撲空間]]的每小塊，單獨看來，都很類似[[緊空間]]的一小塊。準確而言，其每點周圍都有一個'''緊鄰域'''。

[[數學分析]]尤其關注[[豪斯多夫空間|豪斯多夫]]的局部緊空間，常以「局部緊豪斯多夫」（{{lang-en|'''L'''ocally '''C'''ompact '''H'''ausdorff}}）的首字母簡稱為LCH空間。<ref>{{cite book | last1=Folland | first1=Gerald B. | title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications | trans-title=實分析：現代技巧及應用 | publisher=[[約翰威立|John Wiley & Sons]] | url=https://www.wiley.com/en-us/Real+Analysis%3A+Modern+Techniques+and+Their+Applications%2C+2nd+Edition-p-9780471317166 | year=1999 | edition=2nd | isbn=978-0-471-31716-6 | language=en | access-date=2021-08-21 | archive-date=2021-05-07 | archive-url=https://web.archive.org/web/20210507025622/https://www.wiley.com/en-us/Real+Analysis%3A+Modern+Techniques+and+Their+Applications%2C+2nd+Edition-p-9780471317166 | dead-url=no }}</ref>{{rp|131}}

==嚴格定義==
設<math>X</math>為[[拓撲空間]]。通常稱<math>X</math>'''局部緊'''的意思是，<math>X</math>的每點<math>x</math>，都有緊[[鄰域]]，即開集<math>U</math>和緊集<math>K</math>，令<math>x \in U \subseteq K</math>。

也有其他常見定義。下列定義在<math>X</math>[[豪斯多夫空間|豪斯多夫]]（預正則空間亦然）時皆等價，但一般則不一定：
:1. <math>X</math>的每點皆有緊[[鄰域]]；
:2. <math>X</math>的每點皆有[[閉集|閉]]的緊鄰域；
:2′. <math>X</math>的每點皆有{{le|相對緊|relatively compact}}鄰域；
:2″. <math>X</math>的每點皆有{{le|相對緊|relatively compact}}鄰域組成的[[局部基]]；
:3. <math>X</math>的每點皆有緊鄰域組成的[[局部基]]；
:3′. 對<math>X</math>的每點<math>x</math>，<math>x</math>的每個鄰域都包含其一個緊鄰域；
:4. <math>X</math>為[[豪斯多夫空間|豪斯多夫]]，且滿足前述以上全部條件。

上述條件中的邏輯關係有：
*條件2、2′、2″等價；
*條件3、3′等價；
*條件2、3互不推出對方；
*全部皆推出條件1；
*緊空間必定滿足條件1、2，條件3則不必。

條件1或較常用作定義，因為最易滿足，且當<math>X</math>豪斯多夫時，全部條件皆與條件1等價。要證明等價，用到兩個性質：其一，豪斯多夫空間的緊子集必為閉；其二，緊空間的閉子集必為緊。

由於條件2′、2″用相對緊集定義，滿足該條件的空間可以更明確稱為'''局部相對緊'''，而與局部緊空間區分。<ref>{{cite journal|last = Lowen-Colebunders | first = Eva | title = On the convergence of closed and compact sets | trans-title = 論閉集及緊集的收斂 |url = https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.pjm/1102720477 |language = en}}</ref><ref>{{Cite arXiv|eprint=2002.05943|last1=Bice | first1=Tristan | last2=Kubiś | first2=Wiesław | title=Wallman Duality for Semilattice Subbases |trans-title = 半格準基的沃爾曼對偶|year=2020|class=math.GN}}</ref>斯蒂恩（Steen）及澤巴赫（Seebach）<ref>{{Cite book | last1=Steen | first1=Lynn Arthur | last2=Seebach | first2=J. Arthur Jr. | title=Counterexamples in Topology | url=https://archive.org/details/counterexamplesi0000stee_e8x7 |trans-title = 拓撲學的反例| orig-year=1978 | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=Dover reprint of 1978 | isbn=978-0-486-68735-3 | mr=507446  | year=1995 }}</ref>{{rp|20}}稱條件2、2′、2″為'''強局部緊'''，而稱條件1為'''局部緊'''。

採用條件4的例子有[[布爾巴基]]<ref>{{cite book|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|title=General Topology, Part I|trans-title = 一般拓撲學，第一部|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|isbn=3-540-19374-X|edition=reprint of the 1966}}</ref>。應用中，局部緊空間通常的確豪斯多夫，從而無需區分上述定義。本條目主要討論此種局部緊豪斯多夫（LCH）空間。

== 例子與反例 ==

=== 緊豪斯多夫空間 ===
緊豪斯多夫空間必然局部緊，此種例子見於條目[[緊空間]]，略舉三例如下：

* [[單位區間]]<math>[0, 1]</math>、
* [[康托爾集]]、
* {{le|希爾伯特立方|Hilbert cube}}。

=== 局部緊但不緊的豪斯多夫空間 ===
*[[歐氏空間]]<math>\mathbb R^n</math>（特例有[[數軸]]<math>\mathbb R</math>）為局部緊（[[海涅-博雷尔定理]]的推論）。
*[[拓撲流形]]的局部性質與歐氏空間一樣，故亦為局部緊，甚至[[長直線]]之類的[[仿緊空間|非仿緊]]的流形亦然。
*[[離散空間]]皆局部緊及豪斯多夫（其為零維流形）。僅當離散空間為有限集時，該空間為緊。
*任意局部緊豪斯多夫空間的[[開子集|開]]或[[閉子集]]，在[[子空間拓撲]]的意義下，皆為局部緊。由此有歐氏空間局部緊子集的若干例子，如[[單位圓盤]]（不論開或閉）。
*[[p進數]]空間<math>\mathbb Q_p</math>為局部緊，因為[[同胚]]於[[康托爾集]]刪去一點。因此，局部緊空間不只在古典[[數學分析]]中有用，在[[P進數分析]]亦然。

=== 非局部緊的豪斯多夫空間 ===
若豪斯多夫空間為局部緊，則必為[[吉洪諾夫空間]]，詳見下節。條目[[吉洪諾夫空間]]中，可以找到若干例子，是豪斯多夫空間但非吉洪諾夫，故必不局部緊。

此外，也有吉洪諾夫空間非局部緊，例如：

* [[有理數|有理數空間]]<math>\mathbb Q</math>（配備<math>\mathbb R</math>的子空間拓撲），因為每個鄰域都有[[柯西序列]]收斂到無理數，而不在<math>\mathbb Q</math>中，從而不是緊鄰域。
* <math>\mathbb{R}^2</math>的子空間<math>\{(0, 0)\} \cup ((0, \infty) \times \mathbf{R})</math>，因為原點並無緊鄰域。
* 實數集<math>\mathbb R</math>的[[下限拓撲]]（上限拓撲亦同），適用於研究{{le|單邊極限|one-sided limit}}。
* 任何無窮維[[拓撲向量空間]]，但要[[柯爾莫果洛夫空間|柯爾莫果洛夫]]（T<sub>0</sub>，從而豪斯多夫），例如無窮維的[[希爾伯特空間]]。

首兩個例子說明，局部緊空間的子集不必局部緊，與前節開（或閉）子集的情況相對。末一個例子，則與前節歐氏空間的情況相對；具體言之，豪斯多夫拓撲向量空間為局部緊，當且僅當其為有限維（等同歐氏空間）。此例亦與{{le|希爾伯特立方|Hilbert cube}}作為緊空間的情況相對，但並無矛盾，因為希爾伯特立方不能是希爾伯特空間某點的鄰域。

===非豪斯多夫的局部緊空間===
* [[有理數|有理數空間]]<math>\mathbb Q</math>的{{le|單點緊化|one-point compactification}}是緊空間，從而在意義1及2下是局部緊，但在意義3下則不然。
* 任何無窮集上的{{le|特定點拓撲|particular point topology}}在意義1及3下是局部緊，但在意義2下則不然，因為任何鄰域的[[閉包 (拓撲學)|閉包]]皆是整個空間，故不為緊集。實軸上的{{le|上拓撲|upper topology}}也同樣。
* 所以，若取前兩項例子的{{le|不交並 (拓撲)|disjoint union (topology)|不交並}}，則在意義1下局部緊，但在意義2及3下不然。
* [[謝爾賓斯基空間]]在意義1、2、3下皆局部緊，且是緊空間，但不是豪斯多夫空間（甚至並不預正則），故不是意義4下的局部緊空間。可數多個謝爾賓斯基空間的不交並（[[同胚]]於[[亞爾馬·埃克達爾拓撲]]（Hjalmar Ekdal topology）<!--依[[亞爾馬·塞德克羅納]]及[[阿爾賓·埃克達爾]]之先例--><ref>{{cite web | title = Hjalmar Ekdal Topology | trans-title = 亞爾馬·埃克達爾拓撲 | website = π-base | url = https://topology.jdabbs.com/spaces/S000047 | language = en | access-date = 2021-08-21 | archive-date = 2021-08-21 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210821195351/https://topology.jdabbs.com/spaces/S000047 | dead-url = no }}</ref>）非緊，但仍是意義1、2、3下的局部緊空間，而不是意義4下的局部緊空間。

== 性質 ==
局部緊的{{le|預正則空間|preregular space}}必為[[吉洪諾夫空間]]（完全正則）。由此推論，局部緊的豪斯多夫空間亦為[[吉洪諾夫空間]]。由於「正則」比「預正則」（通常稍弱）或「完全正則」（通常稍強）更常用，文獻一般稱此類空間為'''局部緊正則空間'''。同理，局部緊的吉洪諾夫空間一般稱'''局部緊豪斯多夫空間'''。

局部緊豪斯多夫空間必為{{le|貝爾空間|Baire space}}。換言之，[[貝爾綱定理]]適用於此類空間：取任意[[可數集|可數多]]個[[無處稠密集]]，其[[並集]]的[[內部]]必為[[空集]]。

局部緊豪斯多夫空間<math>Y</math>的[[子空間拓撲|拓撲子空間]]<math>X</math>也是局部緊，當且僅當<math>X</math>是<math>Y</math>某兩個[[閉子集]]之[[差集|差]]。由此推論，局部緊豪斯多夫空間<math>Y</math>的子空間<math>X</math>為局部緊當且僅當<math>X</math>是[[開子集]]。若將<math>Y</math>放寬成'''任意'''豪斯多夫空間，則由子空間<math>X</math>局部緊，仍能推出<math>X</math>為<math>Y</math>某兩個閉子集之差，[[逆命題|反之]]則不然。

局部緊空間的[[商空間]]必為[[緊生成空間|緊生成]]。反之，緊生成空間必為某個局部緊豪斯多夫空間的商。

對局部緊空間而言，{{le|局部均勻收斂|local uniform convergence}}與[[緊緻收斂|緊收斂]]等價。

=== 無窮遠點 ===
設<math>X</math>為局部緊豪斯多夫空間，則<math>X</math>作為吉洪諾夫空間，固然能藉[[斯通-切赫緊化|斯通－切赫緊化]]，[[嵌入 (數學)|嵌入]]到緊豪斯多夫空間<math>b(X)</math>，但有了局部緊的特殊性質，則有更簡單的方法嵌入到緊豪斯多夫空間，稱為'''{{le|單點緊化|one-point compactification}}'''。新空間<math>a(X)</math>僅比<math>X</math>多一點。（單點緊化適用於其他空間，但所得的<math>a(X)</math>為豪斯多夫，當且僅當<math>X</math>本身是局部緊且豪斯多夫。）所以，局部緊豪斯多夫空間也可以刻劃成緊豪斯多夫空間的[[開子集]]。

<math>a(X)</math>多出的一點可直觀視為'''無窮遠點'''，此點不在<math>X</math>的任何緊子集中。因此，所謂趨向無窮之事，有一些可藉此以局部緊豪斯多夫空間闡明。
舉例，[[定義域|定義]]在<math>X</math>上的[[連續函數 (拓撲學)|連續]]{{le|實值函數|real-valued function|實值}}或{{le|複值函數|complex-valued function}}<math>f</math>稱為'''[[在無窮遠處消失|消失於無窮遠]]'''，是指給定任意正實數<math>\varepsilon</math>，<math>X</math>皆有緊子集<math>K</math>，使<math>|f(x)| < \varepsilon</math>對<math>K</math>'''外'''的一切點<math>x</math>成立。前述定義適用於任意拓撲空間<math>X</math>，而在<math>X</math>為局部緊豪斯多夫的特例，等價於<math>f</math>能延拓成單點緊化<math>a(X) = X \cup \{ \infty \}</math>上的連續函數<math>g</math>，使<math>g(\infty) = 0</math>。 

消失於無窮遠的連續複值函數之集合<math>C_0(X)</math>是[[C*-代數|C*代數]]。反之，[[可交換|可交換的]]C*代數必[[同構]]於某個局部緊豪斯多夫空間<math>X</math>的<math>C_0(X)</math>，其中<math>X</math>在[[同胚]][[up to|意義下]]唯一。以[[範疇論|範疇]]言之，局部緊空間範疇與交換C*代數範疇{{le|對偶 (範疇論)|Duality (category theory)|對偶}}，其證法用到{{le|蓋爾范德表示|Gelfand representation}}<ref>{{nlab|id = Gelfand+duality|title = 蓋爾范德表示}}</ref>。前一範疇中，<math>X</math>加入無窮遠點，變成<math>a(X)</math>之事，在後一範疇對應向<math>C_0(X)</math>添加[[單位元]]。

=== 局部緊群 ===
{{main|{{le|局部緊群|locally compact group}}}}
[[拓撲群|拓撲群論]]中，局部緊是重要概念，因為每個豪斯多夫{{le|局部緊群|locally compact group}}<math>G</math>都自然配備[[哈爾測度]]，因而在<math>G</math>上定義[[可測函數]]的[[積分]]。[[實數|實數軸]]<math>\R</math>的[[勒貝格測度]]為其特例。

{{le|拓撲交換群|Topological abelian group}}<math>A</math>的[[龐特里亞金對偶性|龐特里亞金對偶]]為局部緊，當且僅當<math>A</math>是局部緊。又以[[範疇論|範疇]]言之，龐特里亞金對偶是局部緊交換群範疇的{{le|對偶 (範疇論)|Duality (category theory)|自對偶}}。研究局部緊交換群，為[[調和分析]]奠下基礎。此領域現也研究非交換的局部緊群。

== 參見 ==

* {{le|F. 里斯定理|F. Riesz's theorem}}

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

{{點集拓撲}}

[[Category:拓扑空间性质]]