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在[[调和分析]]、[[拓扑学]]与[[数论]]等[[数学]]领域中，'''局部紧阿贝尔群'''是具有特别方便拓扑的[[阿贝尔群]]。例如整数群（具有[[离散拓扑]]）、[[圆]]或实数（都具有通常拓扑）都是局部紧阿贝尔群。

==定义与例子==
有[[拓扑空间]]，若其底拓扑空间是[[局部紧]][[豪斯多夫空间]]，则称拓扑空间是[[局部紧群|局部紧]]的；若底群的[[阿贝尔群]]，则称拓扑群是阿贝尔的。

局部紧[[阿贝尔群]]的例子有：
* <math>\R^n</math>，其中''n''是正整数，向量加法为群作用。
*  正实数<math>\R^+</math>，乘法为群作用。由指数映射与<math>(\R, +)</math>同构。
* 任意具有[[离散拓扑]]的有限阿贝尔群。由[[有限生成阿貝爾群的基本定理]]，所有此种群都是循环群之积。
* 具有[[离散拓扑]]的整数<math>\Z</math>，加法为群作用。
* [[圆群]]，对[[环面]]记作<math>\mathbb{T}</math>。这是[[绝对值|模]]为1的[[复数 (数学)|复数]]群。<math>\mathbb{T}</math>作为拓扑群同构于[[商群]]<math>\R/\Z</math>。
* [[P进数]]域<math>\Q_p</math>，加法为群作用，具有通常的P进拓扑。

==对偶群==
若''G''的局部紧阿贝尔群，则''G''的[[特征 (数学)|特征]]是''G''到[[圆群]]<math>\mathbb{T}</math>的[[连续函数 (拓扑学)|连续]][[群同态]]。''G''上的特征集可组成局部紧阿贝尔群，称作''G''的对偶群，记作<math>\widehat G</math>；其群作用是特征的逐点乘，特征的逆是其复共轭，特征空间的[[拓扑]]是[[紧集]]上的[[一致收敛]]拓扑（即[[紧致开拓扑]]，将<math>\widehat{G}</math>视作''G''到<math>\mathbb{T}</math>的所有连续函数空间的子集）。这种拓扑一般来说是不可度量的，但若''G''是[[可分空间|可分]]局部紧阿贝尔群，则其对偶群可度量。
这类似于线性代数中的[[对偶空间]]：正如对域''K''上的向量空间''V''，对偶空间是<math>\mathrm{Hom}(V, K)</math>，对偶群<math>\mathrm{Hom}(G, \mathbb{T})</math>也如此。更抽象地说，它们都是[[可表函子]]，分别表为'''K''、<math>\mathbb{T}</math>。

同构于对偶群的群（作为拓扑群）自对偶。实数与有限[[循环群]]是自对偶的，而实数群与对偶群并不自然同构，应视作两个不同的群。

===对偶群的例子===
<math>\Z</math>的对偶群与圆群<math>\mathbb{T}</math>同构。加法下的整数<math>\Z</math>的[[有限循环群]]上的特征由其在生成子1上的值决定。因此，对<math>\Z</math>上的特征<math>\chi</math>，<math>\chi(n) = \chi(1)^n</math>。此外，这个公式为<math>\mathbb{T}</math>中任意选择的<math>\chi(1)</math>定义了一个特征。这种情况下，紧集上的一致收敛拓扑就是[[逐点收敛]]拓扑，这是从复数继承来的圆群拓扑。

<math>\mathbb{T}</math>的对偶规范同构于<math>\Z</math>。事实上，<math>\mathbb{T}</math>上的特征具有形式<math>z\mapsto z^n</math>，其中''n''是整数。由于<math>\mathbb{T}</math>是紧的，所以其对偶群的拓扑是一致收敛拓扑，也就是[[离散拓扑]]。

实数群<math>\R</math>是自对偶的，其上的特征具有形式<math>r\mapsto e^{i\theta r}</math>，其中<math>\theta</math>是实数。有了这些对偶性，下面介绍的[[傅里叶变换]]就与<math>\R</math>上的经典傅里叶变换重合了。

同样，''p''-进数群<math>\Q_p</math>是自对偶的（实际上，<math>\Q_p</math>的任意有限扩张也是自对偶的）。由此可见，[[赋值向量环]]是自对偶的。
==庞特里亚金对偶性==
[[庞特里亚金对偶性]]断言，[[函子]]
:<math>G \mapsto \hat G</math>
在局部紧阿贝尔群范畴（具有连续态射）的[[对偶范畴]]与它本身之间诱导出一个[[范畴的等价|等价关系]]：
:<math>LCA^{op} \stackrel \cong \longrightarrow LCA.</math>

==范畴论性质==
{{harvtxt|Clausen|2017}}证明，局部紧阿贝尔群范畴LCA大致可以度量整数和实数之间的差别。更确切地说，局部紧阿贝尔群范畴的[[代数K-理论]]谱，以及'''Z'''、'''R'''的都位于同一个[[同伦纤维]]序列中：
:<math>K(\mathbf Z) \to K(\mathbf R) \to K(LCA).</math>

==参考文献==
*{{Citation|first=Dustin|last=Clausen|year=2017|arxiv=1703.07842v2|title=A K-theoretic approach to Artin maps}}

[[Category:阿贝尔群论]]
[[Category:拓扑群]]