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在[[数学]]中，'''局部可积函数'''是指在[[定义域]]内的所有[[紧集]]上都[[积分|可积]]的[[函数]]。

== 常见定义 ==
设<math>\Omega</math>为欧几里得空间<math>\mathbb{R}^n</math>中的一个[[开集]]。设<math>\scriptstyle f:\Omega\to\mathbb{C}</math>是一个[[勒贝格测度|勒贝格]][[可测函数]]。如果函数<math>f</math>在任意[[紧集]]<math>K\subset \Omega</math>上的勒贝格积分都存在：

:<math> \int_K | f| \mathrm{d}x <+\infty\,</math>

那么就称函数<math>f</math>为一个<math>\Omega</math>-局部可积的函数<ref>{{cite book | title =''Elements of functional analysis''  | author =Francis Hirsch, Gilles Lacombe | publisher =Springer | year =1999年 | language =en  | isbn =978-0387985244 }}第268页</ref>。所有在<math>\Omega</math>上局部可积的函数的集合一般记为<math>\scriptstyle L^1_{loc}(\Omega)</math>：

:<math>L^1_{loc}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C},\right. </math>可测<math>\left.\left|\ f\in L^1(K),\ \forall K\in {\mathcal{P}_0(\Omega)}\right.\right\}</math>

其中<math>\scriptstyle{\mathcal{P}_0(\Omega)}</math>指<math>\Omega</math>包含的所有的紧集的集合。

===一般测度空间===
对于更一般的测度空间<math>(X, d\mu)</math>，也可以类似地定义其上的局部可积函数<ref>{{cite book | title =''Treatise on Analysis''第2卷 | author =Jean Alexandre Dieudonné | publisher =Academic Press | year =1976年 | language =en  | isbn = }}第181页</ref>。

==性质==
*所有<math>\Omega</math>上的[[连续函数]]与可积函数都是<math>\Omega</math>-局部可积的函数。如果<math>\Omega</math>是有界的，那么<math>\Omega</math>上的[[Lp空间|L<sup>2</sup>函数]]也是<math>\Omega</math>-局部可积的函数<ref name="rassias">{{cite book | title =''Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis'' | author =John Michael Rassias | publisher =World Scientific Publishing Co., Inc. | year =1994年6月 | language =en | isbn =978-981-02-0737-3 }}第25页</ref>。
*局部可积函数都是[[几乎处处]]有界的函数<math>(X, d\mu)</math>，也可以类似地定义其上的局部可积函数<ref name="dieu">{{cite book | title =''Treatise on Analysis''第2卷 | author =Jean Alexandre Dieudonné | publisher =Academic Press | year =1976 | language =en  | isbn = }}第180页</ref>。
*复数值的函数<math>f</math>是局部可积函数，[[当且仅当]]其实部函数  <math>Re(f) : x \to Re \left(f(x)\right)</math>与虚部函数  <math>Im(f) : x \to Im \left(f(x)\right)</math>都是局部可积函数。实数值的函数<math>f</math>是局部可积函数，[[当且仅当]]其正部函数  <math>f_{+} : x \to \left(f(x)\right)_{+}</math>与负部函数  <math>f_{-} : x \to \left(f(x)\right)_{-}</math>都是局部可积函数<ref name="dieu"/>。

==相关条目==
*[[广义函数]]
*[[测试函数]]

==参考来源==
{{reflist}}

[[Category:函数]]
[[Category:测度论]]
[[Category:积分学]]