查看“︁尼姆数”︁的源代码

{{NoteTA
|G1 = Math
|1 = zh-cn:域; zh-tw:體;
|2=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
[[组合博弈论]]引入了一[[类_(数学)|类]][[数学对象]]，称为'''尼姆数'''，它们被定义为'''[[尼姆游戏|尼姆]]堆'''的值。但是由于[[斯普莱格–格隆第定理]]，它们可以用于一大类游戏的研究。事实上，尼姆数是在[[序数]]的真类上赋予'''尼姆加法'''和'''尼姆乘法'''的运算之后形成的概念。这些运算和通常施行于序数类上的加法和乘法并不相同。

==尼姆数的特点==
斯普莱格–格隆第定理指出：每个[[无偏博弈]]等价于一个特定大小的尼姆堆。尼姆数的加法运算（叫做'''尼姆加法'''）可以用于计算等价于多个堆的单一尼姆堆大小。这被定义为

:<math>\alpha + \beta = \operatorname{mex}(\{\,\alpha' + \beta : \alpha' < \alpha\,\} \cup \{\, \alpha + \beta' : \beta' < \beta \,\}),</math>

对于一个序数的[[集合 (数学)|集合]]<math>S</math>，<math>\operatorname{mex}(S)</math>定义为“局外最小序数”，也就是说不是<math>S</math>的元素的最小一个序数。对于有限序数，'''尼姆和'''即是两个数进行异或运算的结果，这个结果也可以简单地通过将相加的各个数字的[[二进制]]表示逐位进行不进位的加法而得到（例如，100010＋110010＝10000）。

尼姆数的乘法运算（尼姆乘法）可以递归地定义如下：

:<math>\alpha \beta = \operatorname{mex}(\{\,\alpha' \beta + \alpha \beta' + \alpha' \beta' : \alpha' < \alpha , \beta' < \beta \,\}).</math>

全体尼姆数不能组成普通[[集合 (数学)|集合]]，而只是[[类_(数学)|真类]]。要是把它当作普通集合，或者考虑其任意的一个对尼姆加法和乘法封闭的[[子集]]，那么尼姆数的类可以构成一个[[特征_(代数)|特征]]为2的[[代数封闭域]]。尼姆加法的单位元是序数0，而尼姆乘法的单位元则是序数1。由于特征为2，<math>\alpha</math>的尼姆加法逆元是<math>\alpha</math>自身。非零序数<math>\alpha</math>的尼姆乘法逆元是<math>\operatorname{mex}(S)</math>，这里<math>S</math>是满足以下条件的序数集合：

# 0是<math>S</math>的元素；
# 如果<math>0 < \alpha' < \alpha</math>且<math>\beta'</math>是<math>S</math>的元素，那么<math>\left(1 + (\alpha' - \alpha) \beta'\right) / \alpha'</math>也是<math>S</math>的元素。

若<math>n</math>是自然数，小于<math>2^{2^n}</math>的尼姆数组成一个<math>2^{2^n}</math>阶的[[有限域]]<math>GF(2^{2^n})</math>。

正如尼姆加法，有限序数的尼姆积也有一些有意思的结果：

# 2的不同费马幂（形如<math>2^{2^n}</math>）的尼姆积等于其序数积；
# 2的某个费马幂<math>x</math>的平方等于<math>3 x / 2</math>在通常的序数乘法下的结果。

尼姆数组成的最小代数封闭域是由小于<math>\omega^{\omega^\omega}</math>的序数构成的，这里&omega;是最小的无限序数。因此，作为尼姆数的<math>\omega^{\omega^\omega}</math>是尼姆数“域”上最小的[[超越数]]。

==加法和乘法表==
以下表格列出了最小16个尼姆数的加法和乘法表。因为16是一个费马幂（形如<math>2^{2^n}</math>），因此这个子集是封闭的。

{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 尼姆加法
|-
!  +
!  0 !!  1 !!  2 !!  3 !!  4 !!  5 !!  6 !!  7 !!  8 !!  9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15
|-
!  0
|  0 ||  1 ||  2 ||  3 ||  4 ||  5 ||  6 ||  7 ||  8 ||  9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15
|-
!  1
|  1 ||  0 ||  3 ||  2 ||  5 ||  4 ||  7 ||  6 ||  9 ||  8 || 11 || 10 || 13 || 12 || 15 || 14
|-
!  2
|  2 ||  3 ||  0 ||  1 ||  6 ||  7 ||  4 ||  5 || 10 || 11 ||  8 ||  9 || 14 || 15 || 12 || 13
|-
!  3
|  3 ||  2 ||  1 ||  0 ||  7 ||  6 ||  5 ||  4 || 11 || 10 ||  9 ||  8 || 15 || 14 || 13 || 12
|-
!  4
|  4 ||  5 ||  6 ||  7 ||  0 ||  1 ||  2 ||  3 || 12 || 13 || 14 || 15 ||  8 ||  9 || 10 || 11
|-
!  5
|  5 ||  4 ||  7 ||  6 ||  1 ||  0 ||  3 ||  2 || 13 || 12 || 15 || 14 ||  9 ||  8 || 11 || 10
|-
!  6
|  6 ||  7 ||  4 ||  5 ||  2 ||  3 ||  0 ||  1 || 14 || 15 || 12 || 13 || 10 || 11 ||  8 ||  9
|-
!  7
|  7 ||  6 ||  5 ||  4 ||  3 ||  2 ||  1 ||  0 || 15 || 14 || 13 || 12 || 11 || 10 ||  9 ||  8
|-
!  8
|  8 ||  9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15 ||  0 ||  1 ||  2 ||  3 ||  4 ||  5 ||  6 ||  7
|-
!  9
|  9 ||  8 || 11 || 10 || 13 || 12 || 15 || 14 ||  1 ||  0 ||  3 ||  2 ||  5 ||  4 ||  7 ||  6
|-
! 10
| 10 || 11 ||  8 ||  9 || 14 || 15 || 12 || 13 ||  2 ||  3 ||  0 ||  1 ||  6 ||  7 ||  4 ||  5
|-
! 11
| 11 || 10 ||  9 ||  8 || 15 || 14 || 13 || 12 ||  3 ||  2 ||  1 ||  0 ||  7 ||  6 ||  5 ||  4
|-
! 12
| 12 || 13 || 14 || 15 ||  8 ||  9 || 10 || 11 ||  4 ||  5 ||  6 ||  7 ||  0 ||  1 ||  2 ||  3
|-
! 13
| 13 || 12 || 15 || 14 ||  9 ||  8 || 11 || 10 ||  5 ||  4 ||  7 ||  6 ||  1 ||  0 ||  3 ||  2
|-
! 14
| 14 || 15 || 12 || 13 || 10 || 11 ||  8 ||  9 ||  6 ||  7 ||  4 ||  5 ||  2 ||  3 ||  0 ||  1
|-
! 15
| 15 || 14 || 13 || 12 || 11 || 10 ||  9 ||  8 ||  7 ||  6 ||  5 ||  4 ||  3 ||  2 ||  1 ||  0
|}


{| class="wikitable" style="text-align:right"
|+ 尼姆乘法
|-
! &times;
!  0 !!  1 !!  2 !!  3 !!  4 !!  5 !!  6 !!  7 !!  8 !!  9 !! 10 !! 11 !! 12 !! 13 !! 14 !! 15
|-
!  0
|  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0 ||  0
|-
!  1
|  0 ||  1 ||  2 ||  3 ||  4 ||  5 ||  6 ||  7 ||  8 ||  9 || 10 || 11 || 12 || 13 || 14 || 15
|-
!  2
|  0 ||  2 ||  3 ||  1 ||  8 || 10 || 11 ||  9 || 12 || 14 || 15 || 13 ||  4 ||  6 ||  7 ||  5
|-
!  3
|  0 ||  3 ||  1 ||  2 || 12 || 15 || 13 || 14 ||  4 ||  7 ||  5 ||  6 ||  8 || 11 ||  9 || 10
|-
!  4
|  0 ||  4 ||  8 || 12 ||  6 ||  2 || 14 || 10 || 11 || 15 ||  3 ||  7 || 13 ||  9 ||  5 ||  1
|-
!  5
|  0 ||  5 || 10 || 15 ||  2 ||  7 ||  8 || 13 ||  3 ||  6 ||  9 || 12 ||  1 ||  4 || 11 || 14
|-
!  6
|  0 ||  6 || 11 || 13 || 14 ||  8 ||  5 ||  3 ||  7 ||  1 || 12 || 10 ||  9 || 15 ||  2 ||  4
|-
!  7
|  0 ||  7 ||  9 || 14 || 10 || 13 ||  3 ||  4 || 15 ||  8 ||  6 ||  1 ||  5 ||  2 || 12 || 11
|-
!  8
|  0 ||  8 || 12 ||  4 || 11 ||  3 ||  7 || 15 || 13 ||  5 ||  1 ||  9 ||  6 || 14 || 10 ||  2
|-
!  9
|  0 ||  9 || 14 ||  7 || 15 ||  6 ||  1 ||  8 ||  5 || 12 || 11 ||  2 || 10 ||  3 ||  4 || 13
|-
! 10
|  0 || 10 || 15 ||  5 ||  3 ||  9 || 12 ||  6 ||  1 || 11 || 14 ||  4 ||  2 ||  8 || 13 ||  7
|-
! 11
|  0 || 11 || 13 ||  6 ||  7 || 12 || 10 ||  1 ||  9 ||  2 ||  4 || 15 || 14 ||  5 ||  3 ||  8
|-
! 12
|  0 || 12 ||  4 ||  8 || 13 ||  1 ||  9 ||  5 ||  6 || 10 ||  2 || 14 || 11 ||  7 || 15 ||  3
|-
! 13
|  0 || 13 ||  6 || 11 ||  9 ||  4 || 15 ||  2 || 14 ||  3 ||  8 ||  5 ||  7 || 10 ||  1 || 12
|-
! 14
|  0 || 14 ||  7 ||  9 ||  5 || 11 ||  2 || 12 || 10 ||  4 || 13 ||  3 || 15 ||  1 ||  8 ||  6
|-
! 15
|  0 || 15 ||  5 || 10 ||  1 || 14 ||  4 || 11 ||  2 || 13 ||  7 ||  8 ||  3 || 12 ||  6 ||  9
|}

==参考文献==
<div class="references-small">
*{{en}}[[John Horton Conway|Conway, J. H.]], ''[[On Numbers and Games]],'' [[Academic Press]] Inc. (London) Ltd., 1976
*{{en}} Dierk Schleicher and Michael Stoll, [http://arxiv.org/abs/math.CO/0410026 An Introduction to Conway's Games and Numbers, math.CO/0410026] {{Wayback|url=http://arxiv.org/abs/math.CO/0410026 |date=20141123131306 }} – which discusses games, [[surreal number]]s, and nimbers.
*{{zh}}{{Cite book zh | author = 谈祥伯 译 | title = 稳操胜券 | publisher = 上海世纪出版集团 上海教育出版社 | date = 2003年 |isbn= 7532092208}}
</div>

{{博弈论}}

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[[Category:有限域]]
[[Category:博弈论]]
[[Category:组合博弈论]]