查看“︁尺规作图”︁的源代码

[[File:Pentagon.png|thumb|正五邊形的作圖]]
[[File:Anonymous-Fuxi and Nüwa3.jpg|thumb|right|伏羲和女娲手里分别拿着[[折尺]]和圆规]]
{{General geometry}}
'''尺规作图'''（英语：Compass-and-straightedge 或 ruler-and-compass construction）是起源于[[古希腊]]的[[数学]]课题。只使用[[圆规]]和[[直尺]]，并且只准许使用有限次，来解决不同的[[平面几何]]作图题。

值得注意的是，以上的“直尺”和“圆规”是抽象意义的，跟現實中的並非完全相同，具体而言，有以下的限制：
* '''直尺'''必須沒有刻度，[[無窮|無限]]長，只可以做過兩點之直線。
* '''圆规'''可以開至[[無窮|無限]]寬，但上面亦不能有刻度。它只可以拉開成你之前構造過的長度或一個任意的長度。

尺规作图的研究，促成数学上多个领域的发展。有些数学结果就是为解决[[#古希臘三大難題|古希腊三大名题]]而得出的副产品，对尺规作图的探索推动了对[[圆锥曲线]]的研究，并发现了一批著名的曲线。

若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能的例子是利用了19世纪出现的[[伽罗瓦理論]]以证明。尽管如此，仍有很多业余者尝试这些不可能的题目，当中以[[化圆为方]]及[[三等分角|三等分任意角]]（Angle trisection）最受注意。

== 原理 ==

=== 作圖公法 ===
[[File:Basic-construction-demo_vector.svg|thumb|作圖公法]]
以下是尺規作圖中可用的基本方法，也稱為作圖公法，任何尺規作圖的步驟均可分解為以下五種方法：
* 通過兩個已知點可作一直線。
* 已知圓心和半徑可作一個圓。
* 若兩已知直線相交，可得其交點。
* 若已知直線和一已知圓相交，可得其交點。
* 若兩已知圓相交，可得其交點。

== 問題 ==
=== 古希臘三大難题 ===
{{anchor|古希臘三大難題}}
[[古希臘]]三大難题是早期希臘数学家特别感兴趣的三个问题。由于我们的现代几何学知识是从[[希臘]]发源的，因此这三个古典几何问题在[[几何学]]中有着很高的地位。它们分别是：
;[[化圆为方]]問題
:求一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的相等。
;[[三等分角]]問題
:求一角，使其角度是一已知角度的三分之一（可以用只有一點刻度的直尺與圓規作出）
;[[倍立方]]問題。
:求一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍（可以用木工的角尺作出）。

在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决。

=== [[正多边形]]作法 ===
{{main|可作图多边形}}
* 只使用直尺和圆规，作[[正五边形]]。
* 只使用直尺和圆规，作[[正六边形]]。
* 只使用直尺和圆规，作[[正七边形]]——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，而現在正七边形已被證明是不能由尺规作出的。
* 只使用直尺和圆规，作[[正九边形]]，此图也不能作出来，因為單用直尺和圓規，是不足以把一个角分成三等份的。
* 问题的解决：[[高斯]]大学二年级时得出[[正十七边形]]的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的[[充分条件]]：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非負整數次方乘以任意个（可为0个）不同的[[费马素数]]的积，解决了兩千年来悬而未决的难题。
* 1832年，Richelot與Schwendewein給出[[正257邊形]]的尺規作法。
* 1900年左右，[[约翰·古斯塔夫·爱马仕]]花費十年的功夫用尺規作圖作出[[正65537邊形]]，他的手稿裝滿一大皮箱，可以說是最複雜的尺規作圖。

=== [[拿破崙問題|四等分圆周]] ===
這道題只准许使用圆规，要求參與者将一个已知圆心的圆周4等分。這道題传言是[[拿破仑·波拿巴]]擬出，向全法国数学家挑战的。這道題已被證明有解。

== 延伸 ==
=== 圓規作圖 ===
* 1672年，[[喬治·莫爾]]（Georg Mohr）证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出，[[拿破崙問題]]就是一個例子。

=== 直尺作圖 ===
* 只用直尺所能作的圖其實不多，但在已知一个圆和其圆心的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出。

=== [[生鏽圓规]]（即半径固定的圆规）作图 ===
* [[生锈]][[圆规]]作图，已知两点<math>A</math>、<math>B</math>，找出一点<math>C</math>使得<math>AB=BC=CA</math>。
* 已知两点<math>A</math>、<math>B</math>，只用半径固定的圆规，求作<math>C</math>使<math>C</math>是线段<math>AB</math>的中点。
* 尺规作图，是[[古希腊数学|古希臘人]]按“盡可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表达。
** 10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图。
*從給定的兩點出發時，生鏽圓規作圖完全等價於尺規作圖。
*但是，「從給定的兩點出發」這一條件必不可少，在有多個已知點的條件下，鏽規作圖的能力還有待研究。

=== [[二刻尺作图]] ===
* 將條件放寬，允許使用有刻度的直尺，可以[[三等分角]]或做出[[正七邊形]]等一般尺規做圖所做不到的事。

=== 允许使用长度等于1的线段 ===
* 已知两条线段AB、AC，可以作出一条线段的长度等于两条线段长度之乘积AB×AC。

== 外部連結 ==
* [http://songshuhui.net/archives/48518 方程的解] {{Wayback|url=http://songshuhui.net/archives/48518 |date=20110127131805 }} 
=== 尺規作圖的程式 ===
* [http://car.rene-grothmann.de/ C.a.R.] {{Wayback|url=http://car.rene-grothmann.de/ |date=20131127020624 }} -Java程式
* [http://www.cs.rice.edu/~jwarren/grace/ GRACE] {{Wayback|url=http://www.cs.rice.edu/~jwarren/grace/ |date=20041011064004 }} -在線Java程式
* [https://web.archive.org/web/20041109013033/http://db.math.ust.hk/geomlab/c_geomlab.htm Geometric Drawing Pad]-在線Java程式
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/geometry/rulecomp.fr Ruler &amp; compass] {{Wayback|url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool%2Fgeometry%2Frulecomp.fr |date=20200316230639 }} -在線程式

{{-}}
{{几何术语}}

[[Category:平面幾何]]

[[eo:Geometrio#Klasikaj problemoj]]