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{{Expand language|en|page=Scale analysis (mathematics)}}
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'''尺度分析'''（Scale analysis），或稱'''量级分析'''（order-of-magnitude analysis），是一个應用于[[数学|数学科学]]的工具，用于简化含有多项式的[[方程|公式]]。首先确定方程中的某一项的量级。然后一些小到可以忽略不计的项可能会被忽略。

== 例：綜觀尺度气象学垂直动量 ==
考虑大气中[[纳维-斯托克斯方程|纳维–斯托克斯的方程式]]中的垂直坐标方向上的 动量方程式

:<math>{{\partial w }\over{\partial t }} + u {\frac{\partial w}{\partial x}} + v {\frac{\partial w}{\partial y}} + w {\frac{\partial w}{\partial z}} - {\frac{u^2 + v^2}{R}}= - { { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} - g +2{\Omega u \cos \varphi} + \nu \left({\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}}+{\frac{\partial^2 w}{\partial z^2}}\right),\qquad(1)  </math>

其中''R''是[[地球]]半径，Ω是地球旋转[[頻率 (物理學)|频率]]，''g'' 是[[重力加速度]]，φ是纬度，ρ是空气[[密度]]以及ν是空气的 [[运动粘性系数]]（我们可以忽视湍流在[[大气]]中的影响）。

在綜觀尺度中，我們可以預期''U'' = 10<sup>1</sup> m.s<sup>-1</sup>的水平速度和''W'' = 10<sup>-2</sup> m.s<sup>-1</sup>的垂直速度。 水平刻度''L'' = 10<sup>6</sup>米，垂直刻度''H'' = 10<sup>4</sup>米。 典型的時標是''T'' = ''L'' / ''U'' = 10<sup>5</sup>秒。 對流層的壓差為''ΔP''= 10<sup>4</sup>Pa，空氣密度ρ= 10<sup>0</sup> kg·m<sup>-3</sup>。 其他物理屬性約為：

:''R'' = 6.378 &times; 10<sup>6</sup> m;

:&Omega; = 7.292 &times; 10<sup>−5</sup> rad&middot;s<sup>&minus;1;</sup>

:&nu; = 1.46 &times; 10<sup>&minus;5</sup> m<sup>2</sup>&middot;s<sup>&minus;1;</sup>

:''g'' = 9.81 m&middot;s<sup>&minus;2.</sup>

等式（1）中不同項的估計可以使用它們的尺度來進行：

:<math>
\begin{align}
{{\partial w }\over{\partial t }} &\sim \frac{W}{T} \\[1.2ex]
u {\frac{\partial w}{\partial x}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad
v {\frac{\partial w}{\partial y}} &\sim U\frac{W}{L} &\qquad
w {\frac{\partial w}{\partial z}} &\sim W\frac{W}{H} \\[1.2ex]
{\frac{u^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} &\qquad
{\frac{v^2}{R}} &\sim \frac{U^2}{R} \\[1.2ex]
\frac{1}{\varrho}\frac{\partial p}{\partial z} &\sim \frac{1}{\varrho}\frac{\Delta P}{H} &\qquad
\Omega u \cos \varphi &\sim \Omega U \\[1.2ex]
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} &\sim \nu \frac{W}{L^2} &\qquad
\nu \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} &\sim \nu \frac{W}{H^2}
\end{align}
</math>

現在我們可以將這些尺度及其值引入等式（1）：

:<math>
{\frac{10^{-2}}{10^5}}+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}
+10{\frac{10^{-2}}{10^6}}
+10^{-2}{\frac{10^{-2}}{10^4}}
-{\frac{10^2+10^2}{10^6}}</math>


:<math>
= - {{\frac{1}{1}} {\frac{10^4}{10^4}} } - 10 + 2 \times 10^{-4} \times 10 + 10^{-5} \left({\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{12}}} + {\frac{10^{-2}}{10^{8}}}  \right).
\qquad (2)</math>

我們可以看到所有項次（除了右側的第一個和第二個）都可以忽略不計。因此，我們可以將垂直動量方程式簡化為[[流體靜力平衡]]方程式：

:<math>{ { \frac{1}{\varrho}}{\frac{\partial p}{\partial z}}} = - g. \qquad (3)</math>

==相關條目==
*[[近似]]

==外部連結==
{{wikibooks|Partial Differential Equations|Scale Analysis}}
*[https://web.archive.org/web/20060410082050/http://www.env.leeds.ac.uk/envi2210/notes/node7.html Scale analysis and Reynolds numbers]

[[Category:應用數學]]