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在[[數學]]的[[同調代數]]中，'''尚努埃爾（Schanuel）引理'''是一條簡易的基本結果，可用來比較一個[[模]]離[[投射模|投射性]]有多遠。

==敘述==
設''R''是[[環 (代數)|環]]，
: 0  →  ''K''  → ''P'' →  ''M'' →  0
: 0  → ''K'''  →  ''P'' '  →  ''M''  → 0
是兩條左''R''-模的[[短正合序列]]，''P''和''P'' '是[[投射模]]，則''K'' ⊕ ''P'' '[[同構]]於''K'' ' ⊕ ''P''。

==證明==
定義''P'' ⊕ ''P'' '的子模如下，其中φ : ''P'' → ''M''，φ' : ''P'' ' → ''M''：
:<math> X = \{ (p,q) \in P \oplus P^\prime : \phi(p) = \phi^\prime(q) \}. </math>
定義映射 π : ''X'' → ''P''為自''X''投射第一個座標至''P''。φ' 是[[滿射]]，所以對任何''p'' ∈ ''X''，都有''q'' ∈ ''P'' ' 使得φ(''p'') = φ'(''q'')。故有(''p'',''q'') ∈ ''X''，得 π (''p'',''q'') = ''p''。因此π 是[[滿射]]。

考慮π 的[[核 (代數)|核]]：

<math>
\begin{align}
\text{ker} \; \pi &= \{ (0,q): (0,q) \in X \} \\
& = \{ (0,q): \phi^\prime(q) =0 \} \\
& \cong \; \text{ker} \; \phi^\prime \cong K^\prime.
\end{align} </math>

由此可知有短正合序列
:<math> 0 \rightarrow K^\prime \rightarrow X \rightarrow P \rightarrow 0. </math>
因為''P''是投射的，所以序列[[分裂引理|分裂]]，故有''X'' ≅ ''K'' ' ⊕ ''P''。

同理可得
:<math> 0 \rightarrow K \rightarrow X \rightarrow P^\prime \rightarrow 0, </math>
因此''X'' ≅ ''P'' ' ⊕ ''K''。結合''X''的兩等價式，結果得證。

==長正合序列==

以上證明也可推廣至[[長正合序列]]。<ref>{{cite book | author = Lam, T.Y. | title = Lectures on Modules and Rings | publisher = Springer | year = 1999 | id =  ISBN 0-387-98428-3}} pgs. 165–167.</ref>

==應用==
設
<math>\ldots \rightarrow P_1\rightarrow P_0 \xrightarrow{f_0} M \rightarrow 0</math>
是''M''的一個[[投射分解]]，使得<math>\mathrm{ker}(f_0)</math>是投射的，則''M''的每個投射分解都是如此。
===證明===
設<math>\ldots \rightarrow Q_1\rightarrow Q_0 \xrightarrow{g_0} M \rightarrow 0</math>是另一個投射分解。考慮短正合序列
:<math>0\rightarrow \mathrm{ker}(f_0)  \rightarrow P_0 \rightarrow M\rightarrow 0</math>
:<math>0\rightarrow \mathrm{ker}(g_0) \rightarrow Q_0 \rightarrow M\rightarrow 0</math>
從尚努埃爾引理可知<math>P_0\oplus \mathrm{ker}(g_0) \cong Q_0\oplus \mathrm{ker}(f_0) </math>，而從假設知<math>Q_0\oplus \mathrm{ker}(f_0) </math>是投射的，故<math>\mathrm{ker}(g_0)</math>是投射模的直和項，因此也是投射的。

==起源==
斯蒂芬·尚努埃爾在[[歐文·卡普蘭斯基]]1958年秋季學期[[芝加哥大學]]的同調代數課上發現這個證法。卡普蘭斯基在書上說：他在課上給出了一個模的投射分解的一步，並指出若在一個分解中這個核是投射的，則在所有分解中都是投射的，又說雖然命題簡單，但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證，於是描述了大概，就是後來以其命名的引理。他們討論了幾天後，得到了完整的證明。<ref>{{cite book | author = Kaplansky, Irving. | title = Fields and Rings | publisher = University Of Chicago Press | year = 1972 | id = ISBN 0-226-42451-0}} pgs. 165–168.</ref>

==參考==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:S尚努埃爾引理}}
[[分類:同調代數]]
[[分類:模論]]