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在广义相对论中，'''尘埃解'''（英文：'''dust solution'''）是[[爱因斯坦场方程]]的一个[[广义相对论的精确解|精确解]]。这一解所对应的[[引力场]]完全由[[质量]]、[[动量]]和拥有正的[[密度]]但[[压强]]为零的[[理想流体]]的[[應力|应力密度]]所产生。尘埃解是[[广义相对论的流体解]]中最为重要的特殊情形。

尘埃解中零压强的理想流体可以理解成一组互相之间只有[[引力相互作用]]的尘埃粒子的[[模型]]。因此，尘埃解常被用于[[宇宙学]]中的一些理想宇宙模型中，在其中尘埃粒子可作为[[星系]]、[[星系团]]和[[超星系团]]的高度理想化模型。在[[天体物理学]]中，尘埃解被用于[[引力坍缩]]的模型。此外，如果将恒星抽象成真空中的一个流体球，则尘埃解可以用于描述大质量物体周围的[[吸积盘]]。

== 数学定义 ==
相对论性零压强流体的[[应力-能量张量]]可以写成
: <math>T^{\mu\nu} = \rho U^\mu U^\nu</math>
其中
* 尘埃粒子的[[世界线]]是[[4-速度]]<math>U^\mu</math>的积分曲线
* 质量密度由[[标量 (数学)|标量]]函数<math>\rho</math>给出

== 特征值 ==
尘埃解中爱因斯坦张量的[[特征多项式]]
: <math>\chi(\lambda) = \lambda^4 + a_3 \, \lambda^3 + a_2 \, \lambda^2 + a_1 \, \lambda + a_0</math>
必须具有以下形式
: <math> \chi(\lambda) = \left( \lambda - 8 \pi \mu \right) \, \lambda^3 </math>
将上式展开，我们可以发现，特征多项式的[[系数]]必须满足以下三个[[代數獨立|代数独立]]（且不变）的条件
: <math> a_0 \, = a_1 = a_2 = 0 </math>
使用[[牛顿恒等式]]，考虑其根（也就是[[特征值]]）的幂次之和，也即爱因斯坦张量的幂次的迹，这些条件便变成
: <math> t_2 = t_1^2, \; \; t_3 = t_1^3, \; \; t_4 = t_1^4</math>
在张量记号（tensor gymnastics notation）下，利用[[数量曲率]]，这可以被写成
: <math> {G^a}_a = -R</math>
: <math> {G^a}_b \, {G^b}_a = R^2</math>
: <math> {G^a}_b \, {G^b}_c \, {G^c}_a = -R^3</math>
: <math> {G^a}_b \, {G^b}_c \, {G^c}_d \, {G^d}_a = R^4</math>
这一特征值判别法有时在寻找尘埃解时非常有用，因为它显示，只有极少的[[伪黎曼流形]]可能承认尘埃解作为一个解释。

== 另见 ==
* [[广义相对论的精确解]]
* [[广义相对论的流体解]]
* [[洛伦兹群]]

== 参考资料 ==
* {{Citation|last=Schutz|first=Bernard F.|chapter=4. Perfect fluids in special relativity|title=A first course in general relativity|publisher=Cambridge University Press|edition=2|year=2009|isbn=0-521-88705-4}}
* {{Cite book|title=Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.)|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=0-521-46136-7|location=Cambridge|author=Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; & Herlt, E.}}  Gives many examples of exact dust solutions.

{{Relativity}}

{{廣義相對論}}
{{物理宇宙学}}

[[Category:廣義相對論的精確解]]