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{{unreferenced|time=2013-10-15T14:35:23+00:00}}
[[File:cusp.svg|thumb|right|200px|[[半立方拋物線]]''x''<sup>3</sup>–''y''<sup>2</sup>=0在(0,0)處有一尖點]]

'''尖點'''（{{lang-en|Cusp}}）是[[曲線]]中的一種[[奇点 (几何)|奇點]]。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動，右圖是一個典型的例子。
給定一個以解析參數式定義的平面曲線：
:<math>\begin{align}
x&=f(t)\\
y&=g(t),
\end{align}
</math>
尖點即為函數{{math|''f''}}及{{math|''g''}}之導數為零之點，同時方向導數在切線方向會變號（切線方向之斜率為<math> \lim (g'(t)/f'(t))</math>）。尖點是局部的奇點，只牽涉到參數{{math|''t''}}的一個值，不像自交點牽涉到{{math|''t''}}的許多值。在某些時候，方向導數變號的條件會省去，此時奇點有可能看起來像一般的點。

以一個[[光滑]][[隱函數]]定義的曲線來說，
:<math>F(x,y)=0,</math>
將{{math|''F''}}以[[泰勒級數]]展開，當其最低階項可表為一次多項式的次方時，即為尖點所在處。但是並非所有擁有此性質的奇點都是尖點，由{{le|皮瑟級數|Puiseux series}}相關定理可知，若{{math|''F''}}是[[解析函數]]，則在座標線性變換後，在尖點附近可將曲線參數化成以下形式：
:<math>\begin{align}
x&=at^m\\
y&=S(t),
\end{align}
</math>
其中{{math|''a''}}是實數，{{math|''m''}}是正偶數，{{math|''S''(''t'')}}是{{math|''k''}}階的冪級數且{{math|1=''k''>''m''}}。{{math|''m''}}也是{{math|''F''}}最低階項中非零部份的階數。這些定義已被[[勒内·托姆]]及[[弗拉基米爾·阿諾爾德]]推廣至以[[可微函數]]定義的曲線，若某點鄰域存在[[微分同胚]]，將曲線映至以上定義的尖點，則該曲線有尖點。在某些時候，以及以下文章，尖點被限定為二階尖點，也就是說{{math|''m''=2}}。一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表為{{math|1=''x''<sup>2</sup> – ''y''<sup>2''k''+1</sup> = 0}}，其中{{math|''k''}}是正整數。

==相關條目==
*[[奇点 (几何)]]
*[[孤立點]]
*[[叉點]]
*{{le|Tacnode|Tacnode}}
*[[心脏线]]

{{幾何小作品}}

[[分類:代數曲線]]
[[分類:曲線]]